2014年高考数学试卷,江苏高考理科数学试卷

【全国高考数学试卷】绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：.本试卷共4页，均为非选择题（第1题〜第20题，共20题）。本卷满分为160分。考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。.作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。参考公式：圆柱的侧面积公式：S圆柱侧=cl，其中c是圆柱底面的周长，l为母线长.圆柱的体积公式：V圆柱=Sh,其中S是圆柱的底面积,h为高.一、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上〔开始:n—0n—n+1/输出n/I结束）（第3题）.已知集合A={-2,-1,3,4}〔开始:n—0n—n+1/输出n/I结束）（第3题）【答案】L3）【解析】由题意得＜=1,3}.【考点】集合的运算.已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为▲.【答案】21【解析】由题意？=（5+2］）口=+ 父才+（为了=21+20］，其实部为21.【考点】复数的概念..右图是一个算法流程图，则输出的n的值是一1答案】51解析】本题实质上就是求不等式2H>20的最小整数解.2H>20整数解为篦>5,因此输出的腔二51考点】程序框图..从1,236这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是▲.【答案】；【解析】从1,2,3,6这4个数中任取2个数共有=5种取法，其中乘积为6的有1,6和2,3两种取法，因此所求概率为f=2=1.63【考点】古典概型..已知函数j=cos%与y=sin(2%+①)(0W①〈兀)，它们的图象有一个横坐标为-的交点,则少的值是3▲.【答案】|【解析】由题意8吟=$皿2吟+如即注口号+效=”告+/二碗+(一1)彳，(keZ),因为0<^<7T,所以*二,.【考点】三角函数图象的交点与已知三角函数值求角..设抽测的树木的底部周长均在区间［80,130］上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有▲株树木的底部周长小于100cm.【答案】24【解析】由题意在抽测的四株树木中，底部周长小于10加阿的株数为®015+0.025)x10x60=24.【考点】频率分布直方图.

.在各项均为正数的等比数列｛〈｝中,a2=1,a8="+2a/则a6的值是▲.【答案】4【解析】设公比为守，因为的=1,则由&=0+2%得=/+2就，t^4-1^2-2=0,解得1=2,所g=4.【考点】等比薮列的通项公式..设甲、乙两个圆柱的底面分别为S,S，体积分别为V,V，若它们的侧面积相等，且号=9，则1 2 1 2 S24匕的值是▲.3【答案】-【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为小囱，弓、囱，则2g囱=2肛尾，—=—>X闻4当=宵=2,所以则五.良=*.鱼=a=3.巴双4弓2匕冠％W%/。以2【考点】圆柱的侧面积与体■积..在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y-3=0被圆(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦长为。一.【答案】咨5【解析】扇(犬—2尸+0+4=4的扇心为半径为〃=2,点C到直线x+2y-3=0的距离为一工专所求弦长为』E=2一工专所求弦长为』E=292y/55【考点】直线与圆相交的弦长问题..已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意xe[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是

【答案】(—?◎【解析】据题意y(陶二信+陶工1父口, 解得一理＜：喇＜：o.J(m+X)-(m+1)12.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，12.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AP-BP=2，则AB-AD的值是▲. ，I， ，I， ，I， ，I，I，I，【解析】由题意，AP=AD+DP=AD+-AB,所以运•乐二(AD+^AB)(AD-^AB)=^^2=25--A5-AB--x64f解得而.近=22. 16【考点】向量的线性运算与数量积.13.已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当xe［0,3)时,f(x)=1x2-2x+'.若函数y=f(x)-a在区

21间［-3,4］上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是 ▲.【考点】二次函数的性质..在平面直角坐标系xQy中，若曲线y=ax2+bg,b为常数)过点P(2,-5)，且该曲线在点P处的切线

x与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是▲.LVVfJ-1【答案】22416已修.4j十彳=—SrJtt；.i"=Nur――-r■'1 ™ ,京樗*——J,a"一I

【答案】22416【答案】(0,32【解析】作出函数J")?-2x+-2=y方程-2=0在工E[-3,4]上有10个零点，即函数y=/(x)和图冢与直线y=s在[-§4]上有、个交点，由于函数的周期为3,【答案】(0,32【解析】作出函数J")?-2x+-2=y方程-2=0在工E[-3,4]上有10个零点，即函数y=/(x)和图冢与直线y=s在[-§4]上有、个交点，由于函数的周期为3,因此直线y二厘与函数/(>)是4个交点，则有厘£(0,；).【考点】函数的零点，周期函数的性质，函数图象的交点问题.，工曰0,3)的图象，可见」(0)=1的应该14.若^ABC的内角满足sinA+22sinB=2sinC，则cosC的最小值是喀案】中【解析】由已知smj4+^2sin5=2smC及正弦定理可得a+ =2c，当且2 ,2_产+厘十白一〔2 '_/+2及-2缶S、2&就-2忑%b_&-呢4〜cosC= 2ab仅当如口=为口即色=吗时等号成立，所以cosC的最小值为而一虚b75 4【考点】正弦定理与余弦定理.二、解答题：本大题用小题，共计90分.请在答题卡指定区域I作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤..（本小题满分14分） _已知ae（—,兀）,sina='、2 5⑴求sin（4+a）的值;

5冗(2)求cos( 2a)的值.6【答案】(1)5(2)10【考点】同角三角函数的关系，二倍角公式，两角和与差的正弦、ACB【答案】证明见解析.一(2)由(1)sin2o：-2sm^cos^=—【考点】同角三角函数的关系，二倍角公式，两角和与差的正弦、ACB【答案】证明见解析.一.(本小题满分14分)如图，在三棱锥P-ABC中，D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PA±AC,PA=6,BC=8,DF=5.求证:⑴直线PA//平面DEF；⑵平面BDE±平面ABC.E解析】门)由于口石分别是FC, 的中点，则有融又用正平面O酹，匚平面N及巴所以现方平面门旗工(2)由(1】PA/fDE,RPA±AC,所以?且，总(7,又F是中点，所以。以二;巳4=?,EF=^SC=4,又口门二工所以刀月^+区/^二口印二所以0在,酹，ERWD是平面金C内两条相交直线，所以刀£_L平面且3(7,又匚平面3门回，所以平面_1_平面9(7.1考点二缕面平行与面面垂直..(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系l0y中,F1,F2分别是椭圆三+13=1(a>b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为a2b2结BF2并延长交椭圆于点4过点A作x轴的垂线交椭点C，连结F1c.⑴若点C的坐标为(-,1),且BF,=•$，求椭圆的方程；33 2⑵若F1c±AB,求椭圆离心率e的值.(第17题(第17题)(0,b)，连圆于另一.（本小题满分16分）如图，为了保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段0A上并与BC相切的圆.且古桥两端。和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量，点A位于点。正北方向60m处，点C位于点。正东方向170m处（OC为

4河岸）,tan/BCO二—.3⑴求新桥BC的长；⑵当OM多长时，圆形保护区的面积最大？北B（第18题）443v=—x+604口)如图，以CC,CM为工y轴建立直角坐标系，^(7(170,0),.4(0,60),43v=—x+6044 13 . . 3程为y=-―(工一17。).又如b二— 二—，故直线工B方程为y二—工+6。,3 无15cl4 4得尸二"0，即0tMi20),所以忸3=忒80-170『+120口=1$。(明)；\y=120(2)^OM=t,即肠电£)(。qW60),由(1)直线BC的一般方程为4工+3^-鸵口二口，圆战的半径为“但留，由题意要求仁由于口"，因此得最大值130部，此时圆面积最大.10<^<35,得最大值130部，此时圆面积最大.10<^<35,所以当£二1。时,【考点】解析几何的应用，直线方程，直线交点坐标，两点间的距离，点到直线的距离.19.(本小题满分16分)已知函数f(x)=ex+er，其中e是自然对数的底数.(1)证明:/(%)是R上的偶函数；⑵若关于x的不等式mf(x)<e-x+m-1在(0,+s)上恒成立，求实数m的取值范围；(3)已知正数a满足：存在x0e[1,+8)，使得f(x0)<a(-x0+3x0)成立.试比较e。-1与ae-1的大小，并证明你的结论. ° ° ° °【答案】口)证明见解析；(2)(3)当;0+3MSME时，产1：产,当厘二总时，陵T二产1当鼻:厘时，产'>f'.【解析】口)证明：函数/(>)定义域为尺，：丁(―#=厘-+产=/0),，y@)是偶函数.(2)由对⑶Wgf+明一1得明(丁⑶一1)X尸一1,由于当工>。时，€*>1,因此产⑴=中*+尸>2TOC\o"1-5"\h\z召f—1 召f—1 1—F 1-g"即/0)—1>1>口，所以明工一一-=———="S,令"「X，设£=1—F,则/W-1/+尸-1户+1-/户+1-12£<0,1二q一£)+叱"_1,■,-t<o,.\t+-<-2(£=一1时等号成立)，^-<-2-1=-3,ytt £ y--<y<0j所以m<--.3 3(3)由题意，不等式八玲<«#+的在口饮)上有解，由/«<fl(-x3+3x)得值/一弘工+/+尸c0,记应⑴=a/-3笊+/+尸，方⑺=3虱£一1)十君*一君一”,显然血'(1)=0,当工>1时，h'(x)>0(因为。>0),故函数立⑴在［1,+™)上增函数，血(工)最，卜二血(1),于是血(X)cO在［1,-K)o)上有解，等价于我①=□—弓口+厘+工<0,即fl>l(e+l)>l.考察函敷Q 2Qg(x)=(s-l)lnx-(x-1),(x>1)jg'(x)=----1!当二二百一1时，g'(x)=09当1c工C厘一1时，g'(5)>0，当工,厘一1时g'(工)<0，即g(工)在［L胃一1］上是增函数，在9-1,-Ko)上是激函数，又g⑴二口,g(e)=0j+-)>1j所以当—+-)c工c总时，g(工)>0,即(g—1)In工>二一1,工"1>/T,当工>g2 & 2s时，g(x)<0,, -1)Inx<x-1,工"ieg*-1因此当;修+3cscz时，产i 当。=g时，产i=,当.>总时，产1下41.【考点】(1)偶函数的判断；㈡)不等式恒成立问题与函数的交汇；(3)导数与函数的单调性，比较大小.20.(本小题满分16分)设数列｛〈｝的前n项和为Sn.若对任意正整数n，总存在正整数m，使得Sn="m,则称｛<｝是“H数歹『，.n n nm n(1)若数列｛a｝的前n项和S=2n(neN*)，证明：｛"｝是“H数列”；(2)设｛a｝是等差数列,其首项4=1,公差d<0.若｛a｝是“H数列”，求d的值；(3)证明；对任意的等差数列｛an｝，总存在两个“H数列"gn｝和｛cn｝，使得an=bn+cn(neN*)成立.【答案】(1)证明见解析；S)^=-1；(3)证明见解析.［2,n=1,【解析】(1)首先a=S=2，当n>2时，a=S—S=2n-2n-1=2n-1,所以a=<ii nn n-1 n12n-1,n>2,所10以对任意的超应=2”是数列｛%｝中的超+1项，因