变换群置换群与循环群

会计学1变换群置换群与循环群一、变换群变换:非空集合S到S的一个映射,当映射是一一对应时,称为一一变换。SS表示S到S的所有映射全体组成的集合,SS={f|f:SS}，[SS;]是半群。是拟群。不是群T(S)表示S上所有一一变换组成的集合。T(S)={f|fSS,且f为一一对应}[T(S);]是群第1页/共20页定义14.5:设GT(S),当[G;]为群时,就称该群为变换群,其中为一一变换的合成(复合)运算,并称为变换的乘法。定理14.9:[T(S);]是一个变换群。变换群不一定是交换群第2页/共20页二、置换群定义14.6:设S,|S|<+,S上的一个一一变换称为置换。S上的某些置换关于乘法运算构成群时,就称为置换群。若|S|=n,设S={1,2,,n},其置换全体组成的集合表示为Sn;[Sn;]是一个置换群,n次对称群。第3页/共20页S上的置换Sn,习惯上写成这里(i)即为i在函数下的象，这里1,2,

,n次序无关，即第4页/共20页第5页/共20页n次对称群Sn是有限群,问|Sn|=?S上的一一变换个数有多少?S上的一一变换个数是n!,即|Sn|=n!。下面以三次对称群S3为例，考察群运算。第6页/共20页第7页/共20页定义14.7:设|S|=n,Sn,形如:其中2≤d≤n。这种形式的置换叫做循环置换,称其循环长度为d。上述可写为=(i1,…,id)，其中在变换下的象是自身的元素就不再写出。特别,当d=2时称为对换。第8页/共20页定理14.10:Sn中的任一个置换均可分解为不含公共元的若干个循环置换的乘积。证明:对n作归纳n=1,成立假设对n>1，|S|n-1,结论成立当|S|=n,任取Sn中的置换由元素1出发取上的循环置换推论14.1:任意一个置换可以分解为若干个对换的乘积。第9页/共20页说明分解不唯一第10页/共20页定理14.11：任意一个置换可分解成对换的乘积,这种分解是不唯一的,但是这些对换的个数是奇数个还是偶数个却完全由置换本身确定。对一个置换，它可能有不同的对换乘积，但它们的对换个数的奇偶性则是一致的。定义14.8：一个置换的对换分解式中,对换因子的个数是偶数时称该置换为偶置换,否则,称它为奇置换。第11页/共20页长度为k的循环置换(i1i2…ik)=(i1i2)(i2i3)…(ik-2ik-1)(ik-1ik)

共k-1个对换所以当k是奇数时，该循环为偶置换当k是偶数时，该循环为奇置换推论14.2：一个长度为k的循环置换,当k为奇数时,它是一个偶置换;当k为偶数时,它是一个奇置换。第12页/共20页推论14.3：每个偶置换均可分解为若干个长度为3的循环置换的乘积,循环置换中可以含有公共元。证明:对任两个对换:(a,b)(c,d)(a,b)(b,c)第13页/共20页推论14.4：Sn中的奇、偶置换在置换的乘法运算下,其奇偶性由下表给出:

偶置换奇置换 偶置换偶置换奇置换奇置换奇置换偶置换

恒等置换看作为偶置换Sn=On∪AnOn∩An=偶置换与偶置换的乘积仍是偶置换，是An上的运算[An;]是代数系统。第14页/共20页1.封闭性2.结合律当然成立3.恒等置换eAn4.对于An,在Sn中有逆元-1,-1也是偶置换推论14.5：对称群Sn中所有偶置换组成的集合,记为An,关于置换的乘法构成群。第15页/共20页定义14.9：称上述[An;]为n次交待群。由于An中每个元素都是置换,因此根据置换群的定义可知[An;]也是置换群.|An|=?若n=1，Sn只有一个置换——恒等置换，它也是An的元素，|An|=1。若n>1,|An|=|On|=第16页/共20页例：G={g1,g2,gn},[G;]是群,对任意gG,定义映射g:GG,使得对任意xG,有g(x)=gx。设={g|gG},则[;]是置换群。这里是关于映射的复合运算.证明:(0)是上的运算(1)是满足结合律的.(2)存在单位元(3)对任意g,存在逆元(4)g是G上的置换第17页/共20页三、循环群1.元素的阶定义14.10:设G为群,e是G的单位元，对于aG,如果存在最小正整数r，