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三个重要不等式及应用目的要求：掌握排序不等式，平均不等式，柯西不等式及其应用重点：三个不等式的应用难点：排序不等式的证明及综合应用1排序不等式设有两组数，满足，则有（顺序和）

（乱序和）

（逆序和）其中是的一个排列，当且仅当或时等号成立证明：先证左端设乱序和为

Ｓ，要Ｓ最大我们证明必须配，配，，配设配，配某个，则有这是因为同理可证必配，必配，，必配所以再证右端又由以上证明结论(乱同)可得，于是有当且仅当或时，等号成立．证毕．例1（1935年匈牙利奥林匹克）假设是正数的某个排列，证明：证明不妨设，则由排序不等式(乱序逆序)得，

即在不等式证明中，柯西不等式与排序不等式往往相结合，证题时可能一题多解，也可能同时应用以上两个不等式.例2（第20届IMO试题）设是个互不相等的自然数，证明：证明设是的一个排序，且又由逆序和＜乱序和得，又因为所以当，时，等号成立.即2.均值不等式设是正实数，则即，等号当且仅当时成立证明设，则为内的上凸函数由琴生不等式，得：所以对于这N个正数，应用得所以所以成立，故证毕.

此外，均值不等式还可用排序不等式、数学归纳法等其它方法证明。例1设为正整数，且，满足求证：，并确立等号成立的条件?证明：令由均值不等式，得：由均值不等式，得：从而不等式成立从而不等式成立故，当且时不等式成立.例2是一给定三角形的三个内角，求证：证明：由均值不等式，有其中等号当且仅当时成立再由均值不等式及琴生不等式有：其中等号当且仅当时成立证毕.3.柯西不等式设，则，当且仅当时等号成立

证明（数学归纳法）（1）当全为零时，命题显然成立.

(2)当数组不全为零时，采用数学归纳法.

当n=1时不等式成立2）设当时，不等式成立.令则有3）那么当n=k时

当且仅当时等号成立综上述，对例1设都是正数，且

求证

：证明由柯西不等式有又例2给定正数n与正数M，对于满足条件的等差数列

试求的最大值解设等差数列的公差为d，则

（1）（2）所以由（1）知代入（2）得由柯西不等式当且仅当都满足时，上式等号成立由此得时，例3设（）都是正数，且求证：证明：由柯西不等式，有：由于对n个整数，，所以

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