2022-2023学年福建省德化一中、永安一中、漳平一中三校协作高二年级上册学期12月联考数学试题【含答案】

2022-2023学年福建省德化一中、永安一中、漳平一中三校协作高二上学期12月联考数学试题一、单选题1．直线的一个方向向量是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由直线方程得法向量，从而可得法向量．【详解】由题意直线的一个法向量是，因此是它的一个方向向量，其它都不是方向向量．故选：C．2．抛物线的焦点坐标是A． B． C． D．【答案】D【详解】解：抛物线的标准方程为：，据此可知，抛物线的焦点坐标为：.本题选择D选项.点睛：求抛物线的焦点坐标时，首先要把抛物线方程化为标准方程.抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．3．已知双曲线的两个焦点分别为，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由焦点坐标求得值后可得渐近线方程．【详解】由题意，，双曲线方程为，渐近线方程为，即．故选：A．4．若直线l的一个方向向量，平面的一个法向量，则（

）A． B． C． D．A、B、C都有可能【答案】A【分析】直线的一个方向向量，平面的一个法向量为，可得，即可判断出结论．【详解】解：直线的一个方向向量，平面的一个法向量为，则，故．故选：A．5．等差数列的前项和，，则（

）A．9 B．12 C．30 D．45【答案】D【分析】由等差数列的通项公式与前项和公式求得，然后再由前项和公式结合等差数列的性质计算．【详解】是等差数列，∴，，，，，．故选：D．6．在棱长为的正方体中，为棱中点，异面直线与所成的角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如图建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可.【详解】如图，以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，所以，设异面直线与所成的角为，则，故选：B.7．数列的前项和，则当取最小值时是（

）A．2或 B．2 C．3 D．3或【答案】A【分析】把看成一个二次函数，定义域为正整数集，研究其最小值即可.【详解】将看成一个二次函数，其顶点横坐标为，又离对称轴最近的正整数为；故选：A8．已知椭圆，点是椭圆第一象限上的点，直线是椭圆在点处的切线，直线分别交两坐标轴于点．则面积的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，，，得直线方程为，由直线与椭圆相切可得的关系，由基本不等式求得的最小值，即得面积的最小值．【详解】设，，，直线方程为，由，得，∵直线与椭圆相切，所以，化简得，由椭圆方程知，，当且仅当，即时等号成立．所以取得最小值2.故选：A．二、多选题9．在四面体中，，点在上，，为的中点，则下列四个选项中正确的有（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由空间向量的线性运算求解判断．【详解】是中点，则，A正确；，B错误；，C正确D错误．故选：AC．10．直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】求出当直线与圆相交时实数的取值范围，利用充分不必要条件的定义可得结果.【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为，半径长为，若直线与圆有两个不同交点，则，解得.故选：AB.11．在等差数列中，公差，，则下列一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】由等差数列的公差大于0得数列为递增数列，从而得，再由等差数列的性质得，然后计算后可得结论．【详解】，则是递增数列，因此由得，，，，，又，故选：ABC12．已知抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于点，连接并延长交抛物线的准线于点，且，则（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】由在准线上，得点横坐标，不妨设在第一象限，可得点纵坐标，由此得直线方程，从而求得点坐标，再求得点坐标，得出轴可判断A，由计算出值判断B，利用坐标可得判断C，由相似形得面积比判断D．【详解】，在准线上，，∴，不妨设在第一象限，则，，即，又，∴，所以直线方程为，由得，是此方程的一个解，因此另一解满足，，即，，，于是方程为，从而，∴，，A错；，，B正确；，∴，C正确；，，D正确．故选：BCD．【点睛】结论点睛：抛物线焦点弦性质：是抛物线的焦点弦，则，，则（1），；（2）；（3）以为直径的圆与抛物线的准线相切；（4）；（5）的延长线与准线交于点，则轴．三、填空题13．直线的倾斜角为_____.【答案】【分析】把直线方程化作斜截式，得到斜率，进而可求出倾斜角.【详解】由可得.设斜率为，倾斜角为，则.又，所以.故答案为：.【点睛】本题考查直线的倾斜角，是一道基础题.14．已知数列满足，则等于__________．【答案】##【分析】由递推公式直接计算．【详解】由已知，．故答案为：．15．三棱锥，，且，则该三棱锥外接球的表面积是___________．【答案】##【分析】过的中心作平面的垂线，与同向，,取使得即可证明为该三棱锥外接球的球心，再求出球半径后可得表面积．【详解】如图，设是中心，作平面，面，则，又平面，所以，取，在直角梯形中，可得，是正三角形,到三点距离相等即，所以是三棱锥的外接球的球心，，，所以所求球表面积为．故答案为：．16．已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，连接交轴于点，为的中点且点恰好把椭圆的短半轴三等分，则椭圆的离心率是_______．【答案】##【分析】由为的中点，得轴，从而由通径长得，由中位线得，再由点恰好把椭圆的短半轴三等分得，建立等式后可求得离心率．【详解】为的中点，原点为的中点，则，即轴，∴，从而，又点恰好把椭圆的短半轴三等分，∴，，，∴．故答案为：．四、解答题17．已知等差数列中，，．(1)求的值；(2)若数列满足：，证明：数列是等差数列．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由等差数列的性质易得，由等差数列的通项公式求得公差，再由基本量运算求得结论；（2）由（1）求得通项公式，从而可得，计算可得结论．【详解】（1），，；（2）由（1）可知，∴数列是等差数列，首项是1，公差是2.18．已知空间三点，，，．(1)求以为边的平行四边形的面积；(2)若，且，点是的中点，求的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）写出的坐标，求出模长和夹角，用平行四边形的面积公式即可求解；（2）将分解到上，利用向量数量积的性质即可求解.【详解】（1），，，，.（2）点是的中点，，，.19．已知直线经过点．(1)若原点到直线的距离等于，求直线的方程；(2)圆过点，且截直线所得的弦长为，圆心在直线上，求圆的方程．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）分类讨论，按斜率存在与不存在分类讨论，斜率存在时，利用点到直线的距离公式求解；（2）由圆过两点得圆心在直线上，从而圆心的纵坐标已知，圆心在直线上，且截得弦长，即为圆直径，从而得圆半径，然后再求得圆心横坐标，从而得圆标准方程．【详解】（1）①当直线的斜率不存在，即时，满足题意．②当直线的斜率存在时，令-由得；（2）令圆的方程：，则由圆过点知圆心在直线上，∴，又圆截直线的弦长为，圆心在直线上圆的方程：20．如图，E，F分别是边长为2正方形ABCD边BC，CD的中点，PB⊥平面ABCD，且PB=1．(1)求证：AE⊥平面PBF；(2)求平面APF与平面PBF夹角的余弦【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）证明AE平面PBF上的两条相交直线分别垂直即可；（2）建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，用夹角公式；【详解】（1）证明：平面平面平面平面，平面（2）以为原点建立如图空间直角坐标系，则平面是平面一条法向量令是平面的一条法向量，则由即取则，平面与平面夹角满足平面与平面夹角的余弦值是21．已知数列满足：．(1)求数列的通项公式；(2)，数列的前项和为．对恒有成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）用替换已知式中的得另一式，两式相减可得通项公式，注意是否适合；（2）由裂项相消法求得和后，分离参数，转化为求新数列的最大值，从而是参数范围．【详解】（1）当时，，，当时，满足上式．；（2）由（1）可得，，对恒有成立，，令，则，令得∴，即数列的最大项是，∴．22．已知圆，点是圆外的一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点．(1)求点的轨迹的方程(2)过点的直线交曲线于两点，问在轴是否存在定点使？若存在，求出定点坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)存在；【分析】（1）根据双曲线的定义求轨迹方程；（2）当直线斜率不为0时，设，直线方程代入轨迹方程整理后应用韦达定理得，假设存在定点满足题意，即，把代入可求得，得定点，验证此点对直线斜率为0时也适合．【详解】（1）线段的垂直平分线与直线相交于点．，∴点的轨迹是以为焦点的双曲线，，，又，则，∴轨迹的方程是；（2）当直线斜率不为0时，令，则由得∵直线与双曲线有两个