微分学基本定理及应用

第六章

微分学基本定理及应用

§6.1中值定理

§6.2洛必达法则

§6.3泰勒公式

§6.4导数在研究函数上的应用§6.1

中值定理一、罗尔定理定义:设函数在区间有定义,若且存在的某个邻域有,则称是函数的极大点(极小点).是函数的极大值(极小值)极大点与极小点统称为极值点,极大值与极小值统称为极值.

引理：费马定理.设函数在区间有定义.若函数在可导,且是函数的极值点,则几何意义：若曲线上一点(,)存在切线,且是它的极值点.则曲线在点(,)的切线平行于轴.

洛尔定理：若函数满足下列条件:

（1）在闭区间[]连续.

（2）在开区间()可导.

（3）则在()内至少存在一点,使.

二、拉格朗日定理1拉格朗日定理.若函数满足下列条件:（1）在闭区间[]连续.（2）在开区间()可导.则在开区间()内至少存在一点使.(1)

例1:若函数在区间可导,且有(常数).即是常数函数.2推论:若(区间),有.则有,其中是常数.

例2:证明:,例3:证明:当时,有不等式:

例4:若函数在的邻域.且则函数在可导.且

三、柯西中值定理.

若函数与满足下列条件:(1)在闭区间连续.(2)在开区间可导.且有.则在内至少存在一点.使

(1)§6.2洛必达法则

一、型洛必达法则1：若函数与满足下列条件：（1）在的某去心邻域可导且.（2）（3）则

洛必达法则2：若函数与满足下列条件：（1）（2）（3）则

例1:

求极限例2:

求极限

例3:

求极限例4:

求极限二、()型洛必达法则3：若函数与满足下列条件：（1）在的某去心邻域可导且.（2）（3）则

例5.求极限例6.求极限例7.求极限§6.3泰勒公式

一、泰勒公式若任意一个函数，只要函数在存在阶导数，总能形式地写出一个相应的次多项式称为函数在的次泰勒多项式

将函数与它的次泰勒多项式的差表为：或称为函数在的次泰勒余项，简称泰勒余项

定理1:（泰勒定理）若函数在存在阶导数，则有其中证法：由高阶无穷小的定义.只须证明：.这是的待定理.应用次洛比达法则.

马克劳林公式：

当时

定理2（泰勒中值定理）若函数在存在阶导数..函数在以与为端点的闭区间连续，在其开区间可导，且则与之间至少存在一点，使

其中，

取,,

，，在与之间称为拉格朗日余项.

取,有,,,

在与之间称为柯西余项

二、常用的几个展开式

1、拉格朗日余项2、拉格朗日余项

3、拉格朗日余项4、其中柯西余项

§6.4导数在研究函数上的应用一、函数的单调性设函数在区间单调递增

.定理1

设函数在区间可导.函数在区间单调增加(单调减少)

定理2(严格单调的充分条件)若函数在区间可导,,则函数在区间严格增加(严格减少).讨论可导函数严格单调区间步骤(1).确定函数的定义域.(2).求导函数的零点(或方程的根)(3).用零点将定义域分成若个开区间.(4).判别导数在每个开区间的符号根据定理2,确定函数的严格增加或严格减少.

例1:讨论函数的严格单调性.例2:讨论函数的严格单调性.例3:讨论函数的严格单调性.例4:证明二、函数的极值与最小值

若函数在可导.且是函数的极值点.则即可导函数的极值点必是方程的根.定义:可导函数的方程的根()称为函数的稳定点.但是稳定点不一定是极值点.

定理3(第一判别法)若函数在可导，且.有.则是函数的极大点(极小点).是极大值(极小值)

函数在的最值问题归结为：({极值点}{驻点}{不可导点}).

例1:试求函数在区间上的最大值和最小值.例2:求乘积为常数而其和为最小的两个正数.

在解决实际问题的最值问题时,一般遵循以下步骤进行:（1）分析问题,建立目标函数(注意写出定义域),（2）求解得出函数驻点,并写出不可导点.（3）比较各点函数值,根据题意,确定最值.若所求驻点唯一,则驻点值即为最值三、函数的凹凸性与拐点

定义:设函数在可导(从而处的存在切线不垂直于轴)若曲线每一点处的切线都位于该曲线的下方(上方),则称曲线在内是凹(凸)的,称为凹(凸)区间.

定理4设函数在可导,曲线在凸(凹)在单调减少(增加),即:,且有,(或).

推论:设函数在存在二阶导数.（1）.若有则曲线在是凹的.（2）.若有则曲线在是凸的.

定义若函数在可导,且曲线在的一侧是凹的,另一侧是凸的则称是曲线的拐点.

定理5(拐点的必要条件)若函数在处的二阶导数存在且点为曲线的拐点则

定理6若函数在处且在两侧的二阶导数变号.则点为曲线的拐点.

例:设证明其图形没有拐点.

例:讨论曲线的凹凸区间与拐点.例:讨论曲线的凹凸区间与拐点.四、曲线的渐进线

定义：当曲线C上动点P沿着曲线C无限远移时.若动点P在某直线L的距离无限趋近于0,则称直线L是曲线C上的渐进线.曲线的渐进线有两种:一种是垂直渐进线.另一种是斜渐进线(包括水平渐进线).

垂直渐进线：若或.则直线是曲线的垂直渐进线(垂直于轴).斜渐进线：直线是曲线的渐进线与若则直线是曲线的水平渐进线.

例：求曲线的渐进线.

例:求曲线的渐进线.五、描绘函数图象

描绘函数图象的一般步骤：（1）确定函数的定义域.（2）观察函数的否有某