第三者微分中值定理与导数的应用

第三章中值定理应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理微分中值定理与导数的应用一、罗尔(Rolle)定理第一节二、拉格朗日(Lagrange)中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理第三章费马(fermat)引理一、罗尔(Rolle)定理且存在证:

设则费马证毕罗尔（Rolle

）定理满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)

f(a)=f(b)使在(a,b)内至少存在一点注意:1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立例如,二、拉格朗日中值定理(1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且证:问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立.拉氏证毕推论:若函数在区间I

上满足则在

I上必为常数.证:

在

I

上任取两点格朗日中值公式,得由的任意性知,在

I

上为常数.三、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使满足:问题转化为证柯西构造辅助函数证:

作辅助函数且使即由罗尔定理知,至少存在一点思考:

柯西定理的下述证法对吗?两个

不一定相同错!上面两式相比即得结论.费马(1601–1665)费马法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好.他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献.他特别爱好数论,他提出的费马大定理:历经358年,直到1993年才由美国普林斯顿大学的安德鲁.怀尔斯教授经过十年的潜心研究才得到解决.引理是后人从他研究解决最值的方法中提炼出来的.拉格朗日(1736–1813)法国数学家.他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来,数学中的许多成就都可直接或间接地追溯到他的工作,他是对分析数学产生全面影响的数学家之一.柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的是为巴黎综合学校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》,《微积分在几何上的应用》等,有思想有创建,广泛而深远.对数学的影响他是经典分析的奠基人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析数学的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书7本,三、其他未定式二、型未定式一、型未定式第二节洛必达法则第三章微分中值定理函数的性态导数的性态函数之商的极限导数之商的极限

转化(或型)本节研究:洛必达法则洛必达一、存在(或为)定理1.型未定式(洛必达法则)例.求解:原式注意:

不是未定式不能用洛必达法则!洛洛二、型未定式存在(或为∞)定理2.证:仅就极限存在的情形加以证明.(洛必达法则)例

求解:原式

若例如,极限不存在不能用洛必达法则!即洛必达(1661–1704)法国数学家,他著有《无穷小分析》(1696),并在该书中提出了求未定式极限的方法,后人将其命名为“洛必达法的摆线难题,以后又解出了伯努利提出的“最速降线”问题,在他去世后的1720年出版了他的关于圆锥曲线的书.则”.他在15岁时就解决了帕斯卡提出第三节一、函数单调性的判定法二、曲线的凹凸与拐点函数的单调性与曲线的凹凸性第三章一、函数单调性的判定法若定理1.

设函数则在I

内单调递增(递减).在开区间I

内可导,例.

确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为例.

确定函数的单调区间.解:令得故的单调减区间为的单调减区间为定义.

设函数在区间

I

上连续,(1)若恒有则称图形是凹的;(2)若恒有则称图形是凸的.二、曲线的凹凸与拐点连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点

.拐点定理2.(凹凸判定法)(1)在

I内则f(x)在I

内图形是凹的;(2)在

I内则f(x)在

I

内图形是凸的.设函数在区间I上有二阶导数例.判断曲线的凹凸性.解:故曲线在上是凹的.说明:1)若在某点二阶导数为0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在两侧异号,则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,对应例5.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得3)