典型输入信号

§3-1典型输入信号§3-2线性定常系统的时域响应§3-3控制系统暂态响应的性能指标§3-4一阶系统的暂态响应§3-5二阶系统的暂态响应§3-6高阶系统的暂态响应§3-8线性系统的稳定性§3-9劳斯稳定性判椐§3-11控制系统的稳态误差§3-12给定稳态误差与扰动稳态误差第三章线性系统的时域分析

使用典型的输入信号只是为了分析和设计的方便。采用典型的输入信号，可以使问题的数学处理系统化，可以由此去推知更复杂输入下的系统响应。单位阶跃函数近似

单位斜坡函数

δ-函数A=1—

单位δ-函数R(s)=1单位抛物线函数r(t)=δ(t)=r(t)=r(t)=r(t)=R(s)=1/SR(s)=1/S2

R(s)=1/S3

§3-1典型输入信号正弦函数典型信号之间的关系r(t)=Asin（t+F0）

正弦函数输入下系统的稳态响应称系统的频率响应，由此形成了一整套控制系统的频率响应分析和设计方法S=1线性定常系统的描述线性常系数微分方程的解：

输出=任一特解+对应齐次方程的通解特解：电网络中常常用稳态响应作为一个特解（稳态分量）通解：齐次解（方程右边=0）

零输入响应、也称自由分量、相应稳态分量称暂态分量特解：若系统稳定，稳态时输出中所有暂态分量将衰减到零，即 稳态分量与系统初始状态无关—零状态响应§3-2线性定常系统的时域响应由传递函数用拉普拉斯变换工具可以使求解更加简单得输出的拉普拉斯变换将输出进行拉普拉斯反变换得输出的时域形式(单位阶跃响应)步骤：1、求G(s)；2、求C(s)；3、求C(t)=L-1(C(s))控制系统的时域性能指标，是根据系统在单位阶跃函数作用下的时间响应——单位阶跃响应确定的，通常以h（t）表示。实际应用的控制系统，多数具有阻尼振荡的阶跃响应，如图3-1所示：

所谓时域分析法，就是在时间域内研究控制系统性能的方法，它是通过拉氏变换直接求解系统的微分方程，得到系统的时间响应，然后根据响应表达式和响应曲线分析系统的动态性能和稳态性能。§3-3控制系统时域响应的性能指标1.上升时间tr

响应曲线从零首次上升到稳态值h(∞)所需的时间，称为上升时间。对于响应曲线无振荡的系统，tr是响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。2.峰值时间tp

响应曲线超过稳态值h(∞)达到第一个峰值所需的时间。3.调节时间ts

在稳态值h(∞)附近取一误差带，通常取响应曲线开始进入并保持在误差带内所需的最小时间，称为调节时间。ts越小，说明系统从一个平衡状态过渡到另一个平衡状态所需的时间越短。4.超调量σ%

响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态值之比。即一、暂态性能：超调量表示系统响应过冲的程度，超调量大，不仅使系统中的各个元件处于恶劣的工作条件下，而且使调节时间加长。5.振荡次数N

在调节时间以内，响应曲线穿越其稳态值次数的一半。

tr,tp和ts表示控制系统反映输入信号的快速性，而σ%和N反映系统动态过程的平稳性。即系统的阻尼程度。其中ts和σ%是最重要的两个动态性能的指标。性能指标的衡量：（一）阶跃响应

Mp：最大超调量

tp

：最大值时间

tr

：上升时间 第一次达到稳态值

ts

：调整时间第一次进入误差带便于参数寻优及性能比较（二）综合性能指标但它不能使阶跃响应的各参数均最优，甚至某些参数还可能不能用。§3-4一阶系统的暂态响应一、一阶系统的单位阶跃响应：r(t)=1(t)C(s)R(s)方框图微分方程：一阶系统的传递函数用拉普拉斯求取阶跃响应：r(t)=1(t)则R(s)=1/S输出由两部分组成：一部分不随时间变化—稳态分量（1）；另一部分随随时间变化—暂态分量（）。因此，系统的阶跃输出是随时间变化的t=3τ—4τ时,过渡过程基本结束;

t=0处斜率为1/τt→∞时,输出等于输入值（公式中暂态项等于零）;

t=τ时,输出到达稳态的63.2%;二、一阶系统的单位脉冲响应：r(t)=(t)则R(s)=1脉冲响应的积分就是阶跃响应因为阶跃信号是脉冲信号的积分如果将脉冲信号做积分运算三.一阶系统的单位斜坡响应单位斜坡响应曲线如图所示：引入误差的概念：当时间t趋于无穷时，系统单位阶跃响应的实际稳态值与给定值之差。即：tτr(t)=tc(t)0一阶系统单位斜坡响应存在稳态误差ess=t-(t-τ)=τ从曲线上可知，一阶系统单位斜坡响应达到稳态时具有和输入相同的斜率，只要在时间上滞后τ,这就存在着ess=τ的稳态误差。四、一阶系统的单位加速度响应开环传递函数标准传递函数方框图§3-5二阶系统的暂态响应其中ζ

——系统的阻尼比

ωn——系统的无阻尼自然振荡角频率

——系统振荡周期阶跃响应根在根平面上的位置不等负实根1相等负实根2共轭复根3共轭虚根4正（正实部）根5根位置不同（、不同）有不同的阶跃响应特征参数、1.当0<ξ<1时，此时系统特征方程具有一对负实部的共轭复根系统的单位阶跃响应具有衰减振荡特性，称为欠阻尼状态。2.当ξ=1时，特征方程具有两个相等的负实根，称为临界阻尼状态。3.当ξ>1时，特征方程具有两个不相等的负实根，称为过阻尼状态。4.当ξ=0时，系统有一对共轭纯虚根，系统单位阶跃响应作等幅振荡，称为无阻尼或零阻尼状态。

下面，分过阻尼（包括临界阻尼）和欠阻尼（包括零阻尼）两种情况，来研究二阶系统的单位阶跃响应。一、二阶系统的单位阶跃响应（不同参数(

、n)下不同系统（就是不同参数、n）下，二阶系统的阶跃响应有不同的形态，通过分析参数、n与二阶系统的阶跃响应的关系可以很容易揭示其本质暂态分量：响应随t的增加逐渐单调衰减到零；后一个分量衰减更快。输出也是由两部分组成：

—稳态分量=1

—暂态分量两个形如脉冲响应部分，随时间变化的t→∞时,输出等于输入值（=1，暂态项等于零）。无最大超调量，调节时间根分布根分布阶跃响应是随时间单调上升的当t∞响应趋于稳态值临界阻尼（=0）时二阶系统阶跃响应的误差

3、根分布此时根的特点：共轭复数阶跃响应是振荡的，由于根的实部为负，所以，振荡的幅值随时间的增加而衰减，最终趋于零.11

.阶跃响应与极点分布：无阻尼自然振荡频率阻尼自然振荡频率阻尼比临界阻尼当（>=1）时阶跃响应没有超调，此时，上升时间的定义修改如下：1）二阶系统阶跃响应的特征量有：上升时间峰值时间百分比超调量调节时间衰减比二阶系统阶跃响应的特征量第一次达到稳态值时间第一次进入误差带时间误差带：到达最大值时间第二超调量与第一超调量之比二阶系统阶跃响应的特征量的计算：！第一次到达上升时间

tr依定义有：峰值时间tp！第一次到达令：百分比超调量Mp%用包络线近似来简化计算：取得包络线方程：调节时间ts符合上式答案有多个，如下图当当

0.20.40.50.60.70.8-0.02-0.087-0.144-0.223-0.337-0.51适用其中衰减比振荡次数二、二阶系统的单位脉冲响应可由阶跃响应求导数得到四、传递函数含有零点的二阶系统响应下图表示引入了一个比例微分控制的二阶系统,系统输出量同时受偏差信号和偏差信号微分的双重控制。试分析系统性能。1τsr(t)c(t)-+系统开环传递函数闭环传递函数:等效阻尼比：增大了系统的阻尼比,可以使系统动态过程的超调量下降,调节时间缩短,然而开环增益k保持不变,它的引入并不影响系统的稳态精度,同时也不改变系统的无阻尼振荡频率wn。而且,比例微分控制使系统增加了一个闭环零点s=-1/τ前面给出的计算动态性能指标的公式不再适用。由于稳态误差与开环增益成反比,因此适当选择开环增益和微分器的时间常数Td,即可减小稳态误差,又可获得良好的动态性能。例3.图:

是采用了速度反馈控制的二阶系统。试分析速度反馈校正对系统性能的影响。解:系统的开环传递函数为R(s)c(s)--τs式中τ为速度反馈系数.

为系统的开环增益。

(不引入速度反馈开环增益)k有所减小,增大了稳态误差,因此降低了系统的精度。闭环传递函数

显然，所以速度反馈同样可以增大系统的阻尼比,而不改变无阻尼振荡频率wn,因此,速度反馈可以改善系统的动态性能。等效阻尼比：在应用速度反馈校正时,应适当增大原系统的开环增益,以补偿速度反馈引起的开环增益减小,同时适当选择速度反馈系数kt,使阻尼比ξt增至适当数值,以减小系统的超调量,提高系统的响应速度,使系统满足各项性能指标的要求。§3-8线性系统的稳定性一、稳定性的概念定义：线性系统处于某一平衡状态下，受到干扰的作用而偏离了原来的平衡状态，在干扰消失后，系统能够回到原状态或者回到原平衡点附近，称该系统是稳定的，否则，不稳定。•上述稳定是“渐近稳定”的•“线性”系统通常是线性化的因此，稳定性通常也应在小偏差范围中讨论例如小球平衡位置b点,受外界扰动作用,从b点到点，外力作用去掉后,小球围绕b点作几次反复振荡,最后又回到b点,这时小球的运动是稳定的。如小球的位置在a或c点,在微小扰动下,一旦偏离平衡位置,则无论怎样,小球再也回不到原来位置,则是不稳定的。定义:若系统在初始偏差作用下,其过渡过程随时间的推移,逐渐衰减并趋于零,具有恢复平衡状态的性能,则称该系统为渐近稳定,简称稳定。反之为不稳定。

我们把扰动消失时,系统与平衡位置的偏差看作是系统的初始偏差。线性系统的稳定性只取决于系统本身的结构参数,而与外作用及初始条件无关,是系统的固有特性。齐次解暂态分量零输入响应自由分量二、稳定的充要条件

根据系统的阶跃响应输出表达式•只要Si<0或当它为复数时，其实部-kk<0即：系统所有的闭环特征根在根平面的左半面，系统阶跃响应的暂态分量随时间t趋于无穷而趋于零，此时，系统是渐进稳定的。•如果至少有一个根Si>0或有实部-kk>0的根，即：在根平面的右半面有系统的闭环特征根，那麽，系统阶跃响应的暂态分量中，该输出分量随时间t趋于无穷而趋于无穷大，也就是，系统是不稳定的。

下一节中劳斯稳定判据回答了这个问题

根据以上分析， 系统的稳定性判别归结为：

问题：

系统的闭环特征方程： 解高阶微分方程求根困难， 能否不解高阶微分方程可以知道根分布情况？

如果系统的闭环特征根至少有一个根Si>0

或者复根时它的实部-kk>0

即根平面的右半面有闭环特征根，那麽系统闭环是不稳定的。

一、劳斯判据闭环特征方程：劳斯阵列表:1、建立劳斯阵列表3、判别劳斯阵列表第一列系数第一列元素全部同号且不为零时系统稳定；否则，系统不稳定。

§3-9劳斯稳定判据

例3-1已知三阶系统特征方程为劳斯阵列为

故得出三阶系统稳定的充要条件为各系数大于零，且a1a2>a0a3

Roth稳定判据：系统稳定的充要条件是Roth表中第一列各项元素均为正。特征方程具有正实部根的个数等于Roth表第一列中系数改变符号的次数。例(课堂练习)1、闭环特征方程系数全部大于零，系统稳定与否继续第二步；2、建立劳斯阵列表因为第一列中，各元素不同号，故系统不稳定。又：由于第一列的元素变号两次，应有两个极点在S平面的右半面。该系统有五个根：-2.04610.7336±1.1577i-0.7105±0.8922i2、建立劳斯阵列表1、闭环特征方程系数全部大于零，继续第二步；第一列元素等于零时，用ε代替，继续计算；由于第一列元素有等于零的，系统不稳定又：由于2-2/ε<0，故认为变号两次，有两个极点在S平面的右半面。该系统四个根：

-1.8832-0.53100.2071±0.9783i该系统的劳斯阵列中第一列出现等于零的元素，故系统不稳定。由辅助方程可求得：控制系统稳定的充分必要条件是：当a0>0时，各阶赫尔维茨行列式1、2、…、n均大于零。一阶系统二阶系统a0>0时,a1>0(全部系数数同号)a0>0时,a1>0,a2>0(全部系数数同号)a0>0时a0>0时赫尔维茨(Hurwitz)判据三阶系统a0>0时,a1>0,a2>0,a3>0(全部系数数同号)a0>0时a1a2>a0a3一阶系统a1>0(全部系数数同号)a1>0,a2>0(全部系数数同号)a1>0,a2>0,a3>0(全部系数数同号)a1a2>a0a3归纳：a0>0时二阶系统三阶系统（4）S4+2S3+8S2+4S+3=0（5）S4+2S3+S2+4S+2=0（6）S5+S4+3S3+9S2+16S+10=0（7）S6+3S5+5S4+9S3+8S2+6S+4=0二、

劳斯判据的其他应用1、确定系统稳定时的参数取值范围2、确定系统稳定裕量用(S-σ)代替S，如果用ROTH判据判断仍能稳定，则表明该系统至少有稳定裕量σ带参数按步骤列表计算ROTH阵列表第一列元素；令含参数的元素>零，得到系统稳定时的参数取值范围闭环传递函数.劳斯判据的推广及应用

(1).劳斯表不但可判断系统的稳定性,而且能判断特征根的位置分布情况。

(2).可以选择使系统稳定的调节器参数的数值。例:则特征方程则系统才是稳定的,求得k的取值范围。§3-11控制系统的稳态误差一稳态误差的定义

稳态误差的定义

：系统的稳态误差是指在输入加入后，经过足够长的时间，其暂态响应已衰减到微不足道时（指稳定系统，此时系统进入稳态），稳态响应的期望值与实际值之间的误差。稳态：当时间趋于无穷 大时的固定响应。控制系统的稳态误差：给定输入下的误差—给定误差

扰动输入下的误差—扰动误差

恒值控制系统：恒值随动控制系统：跟随输入变化正弦输入下系统响应是正弦波

稳态性能是控制系统的又一重要特性,它表征了系统跟踪输入信号的准确度或抑制扰动信号的能力。而稳态误差的大小,是衡量系统性能的重要指标。

1.定义:e(t)为系统误差,Cr(t)=r(t)为希望输出,c(t)为实际输出。稳态误差系统的静态误差与系统的结构有关,还与输入信号的大小及形式有关。而系统的稳定性的只取决于系统的结构。Gc(s)N(s)R(s)E(s)-C(s)H(s)G0(s)对于扰动信号N(s)而言,理想的情况就是扰动信号引起的输出为0,即希望系统的输出一点都不受扰动的影响。

则R(s)和N(s)引起的系统误差为二、误差传递函数三系统的“型号”根据随动系统跟踪信号的能力将系统划分为0、I、II型系统开环传递函数H(s)中不含积分环节，=0不含积分环节—0型系统=1含一个积分环节—I型系统=2含二个积分环节—II型系统根据线性系统的可加性，可以分别求给定误差和扰动误差

§3-12给定稳态误差与扰动稳态误差一给定稳态误差终值的计算

位置（阶跃）误差系数

终值定理：

斜坡（速度）误差系数抛物线（加速度）误差系数求系统的给定输入下的稳态误差可以先求稳态误差系数三种典型输入下有三个误差系数的计算公式（由上页），而三个误差系数对应于“0”“I”“II”型系统又分别有三种情况0型系统

0型系统，阶跃输入时，误差系数=K

0型系统，阶跃输入时，输出始终不会等于输入，存在稳态误差

0型系统，斜坡输入时，误差系数=0

稳态误差无穷大（输出不能跟随输入）

0型系统，抛物线输入时，误差系数=0

输出不能跟随输入，稳态误差无穷大系统开环传递函数中不含积分环节I型系统

I型系统，阶跃输入时误差系数无穷大

I型系统，阶跃输入时没有稳态误差输出最终等于输入

I型系统，斜坡输入时，误差系数=K

I型系统，抛物线输入时，误差系数=0

I型系统，斜坡输入时，输出可跟随输入，但存在误差

稳态误差无穷大（输出不能跟随输入）系统开环传递函数中含一个积分环节II型系统

II型系统，阶跃输入时误差系数无穷大

II型系统，阶跃输入时没有稳态误差输出最终等于输入

II型系统，斜坡输入时误差系数无穷大

II型系统，抛物线输入时，误差系数=K

II型系统，斜坡输入时，输出完全跟随输入，没有稳态误差

输出可跟随输入，但存在稳态误差系统开环传递函数中含两个积分环节给定输入 给定稳态误差的终值0型系统I型系统II型系统r(t)1/(1+k)00t∞1/K0t2/2∞∞1/K三种典型输入下对应于“0”“I”“II”型三种系统有九种情况，误差的计算公式列表如下：二给定稳态误差级数的计算

说明：当不能使用终值定理（如：正弦输入下）或很难求的时候，用

稳态误差级数的计算

二、给定稳态误差级数的计算：表达式：三.扰动稳态误差终值的计算

理想情况下,系统对于任意形式的扰动作用,其稳态误差应当为0,但实际上这是不可能的。

如果输入信号R(s)=0,仅有扰动N(s)作用时,系统误差为:四、扰动误差级数计算减少稳态误差的方法提高系统的型号,增大系统的开环增益,都会提高系统的精度,但这样又会降低稳定性,必须综合考虑。例1:某控制系统的结构图为

试分别求出H(s)=1和H(s)=0.5时系统的稳态误差。-解:当H(s)=1时,系统的开环传递函数为则系统稳态误差当H(s)=0.5时,若上列在H(s)=1时,系统的允许误差为0.2,问开环增益k应等于多少?

当时,上例的稳态误差又是多少?

因为0型系统在速度输入和加速度输入下的稳态误差为无穷大,根据叠加原理,ess=∞

扰动作用下的稳态误差,实质上就是扰动引起的稳态输出的负值,它与开环传递函数

G(s)=G1(s)G2(s)H(s)及扰动信号N(s)有关,还与扰动作用点的位置有关。r(t)=0-C(t)(a)r(t)=0-C(t)(b)r(t)=0-C(t)(b)作用点不同,稳态误差也不同。在扰动作用点之前的前向通路中增加一个积分环节用（比例积分调节器）代替提高扰动作用点前的积分环节个数和增益,可以减小或消除扰动引起的稳态误差,但同样会降低系统的稳定性。

综上所述,为了减小输入信号引起的稳态误差，可以提高开环传递函数的积分环节个数和增益例；系统各环节的传递函和输入信号：求