不定积分换元法

第四章微分法:积分法:互逆运算不定积分二、基本积分表三、不定积分的性质一、原函数与不定积分的概念第一节不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念引例:一个质量为m

的质点,下沿直线运动,因此问题转化为:已知求在变力试求质点的运动速度根据牛顿第二定律,加速度定义1.

若在区间I

上定义的两个函数F(x)及f(x)满足则称F(x)为f(x)在区间

I

上的一个原函数.如引例中,的原函数有问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?

定理1.

存在原函数.(下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数若函数,上连续在区间I)(xf上在则Ixf)(定理2.原函数都在函数族(C为任意常数)内.证:1)又知故即属于函数族即,)()(的一个原函数是若xfxF的所有则)(xfCxF+)())((¢+CxFQ)(xF¢=)(xf=的原函数是)()(xfCxF+\，的任一原函数是设)()()2xfxF)()(xfx=F¢)()(xfxF=¢)()(xFx¢-F¢=])()([¢-F\xFx0)()(=-=xfxf0)()(CxFx+=F)(0为某个常数C0)()(CxFx+=F.)(CxF+定义2.在区间

I上的原函数全体称为上的不定积分,其中—积分号;—被积函数;—被积表达式.—积分变量;若则(C为任意常数)C

称为积分常数不可丢!例如,记作不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.的积分曲线

.例1.设曲线通过点(1,2),

且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解:所求曲线过点(1,2),故有因此所求曲线为例2.质点在距地面处以初速力,求它的运动规律.解:

取质点运动轨迹为坐标轴,原点在地面,指向朝上,质点抛出时刻为此时质点位置为初速为设时刻

t

质点所在位置为则(运动速度)(加速度)垂直上抛,不计阻

先由此求

再由此求先求由知再求于是所求运动规律为由知故二、基本积分表从不定积分定义可知:或或利用逆向思维(k

为常数)或或例3.求解:

原式=例4.

求解:

原式=三、不定积分的性质推论:

若则例5.求解:

原式=例6.

求解:

原式=例7.

求解:

原式=例8.

求解:

原式=小结1.不定积分的概念•原函数与不定积分的定义•不定积分的性质•基本积分表2.直接积分法:利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质练习1.

证明2.

若提示:提示:3.

若是的原函数,则提示:已知4.

若的导函数为则的一个原函数是().提示:已知求即B??或由题意其原函数为5.

求下列积分:提示:6.求不定积分解：)1(2+-xxeeCxeexx++-=221)1(2+-xxee二、第二类换元法第二节一、第一类换元法换元积分法第二类换元法第一类换元法基本思路设可导,则有一、第一类换元法定理1.则有换元公式(也称配元法即,凑微分法)例1.求解:

令则故原式

=注:

当时例2.求解:令则想到公式例3.求想到解:(直接配元)例4.

求解:类似例5.求解:∴原式

=常用的几种配元形式:万能凑幂法例6.求解:

原式=例7.求解:

原式=例8.

求解:

原式=例9.

求解法1解法2两法结果一样例10.

求解法1解法2同样可证或例11.

求解:

原式=例12.求解:例13.

求解:∴原式=x41=x8sin641-x2sin361-x4sin321-C+例14.求解:原式=分析:

ò++xexxxxd)1()1(例15.

求解:原式小结常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元万能凑幂法利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如练习1.下列各题求积方法有何不同?ò++=xx