第六章 定积分98362

短号：658122（董雪梅）邮箱：don_anthea@作业：每周周一上交（两个作业本）12定积分第六章3一、问题的提出第一节定积分的概念与性质

由连续曲线y=f(x)(f(x)

0),直线x=a,x=b(a<b)及x轴所围成的平面图形的面积yo实例：求曲边梯形的面积4abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）5观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．播放6曲边梯形如图所示，分割近似7曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为求和取极限（1）分割（3）求和（4）极限（2）近似8二、定积分的定义定义9被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限积分和10说明：1.2.

有界是可积的必要条件,无界函数一定不可积；

3.可积的充分条件：

114.规定:5.由定义不难得到:12三、定积分的几何意义曲边梯形的面积曲边梯形面积的相反数yoyo13若要求阴影部分的面积,则为14例1利用定义计算定积分解xyo11例6-115练习：p6习题6.12.(1)3.画图思考：定积分与不定积分之间的区别与联系.16

在下面的性质中,假定定积分都存在,且不考虑积分上下限的大小．第二节定积分的性质性质1（此性质可以推广到有限多个函数和的情况）性质2(k为常数)性质1,2合称线性性.

17说明：不论a,b,c的相对位置如何,上式总成立.例如,这个性质称为定积分的区间可加性.则性质3证略.18证性质4由极限的保号性可知,

证略19推论1证20推论2证即21性质5（估值定理）证由性质2，有再由性质4推论1，得mm22性质6（定积分中值定理）证估值定理由闭区间上连续函数的介值定理知，即23积分中值公式的几何解释：上的平均值.

24解例1于是25证例2即

f

(x)

单调下降，26练习：p10习题6.23.(2)5.（1）（3）（5）

6.(选)27第四节微积分基本公式用定义求定积分实际上是行不通的,下面介绍计算定积分的新方法.

定理1构造变上限积分函数一、微积分基本定理ya0xxy

=

f(x)Φ(x)28第四节微积分基本公式用定义求定积分实际上是行不通的,下面介绍计算定积分的新方法.

定理1构造变上限积分函数一、微积分基本定理ya0xxy

=

f(x)Φ(x)29第四节微积分基本公式用定义求定积分实际上是行不通的,下面介绍计算定积分的新方法.

定理1构造变上限积分函数一、微积分基本定理ya0xxy

=

f(x)Φ(x)30第四节微积分基本公式用定义求定积分实际上是行不通的,下面介绍计算定积分的新方法.

定理1构造变上限积分函数一、微积分基本定理ya0xxy

=

f(x)Φ(x)31ya0xxy

=

f(x)Φ(x)第四节微积分基本公式用定义求定积分实际上是行不通的,下面介绍计算定积分的新方法.

定理1构造变上限积分函数一、微积分基本定理32ya0xxy

=

f(x)Φ(x)第四节微积分基本公式用定义求定积分实际上是行不通的,下面介绍计算定积分的新方法.

定理1构造变上限积分函数一、微积分基本定理33证34由积分中值定理得35证同上可证同上可证证毕。36原函数存在定理该定理告诉我们,连续函数一定有原函数.原函数.

37变限积分函数的求导：证38更一般地，由即可得结论。39例1求下列变限积分函数的导数.40例2

例6-441例3求下列极限.分析：这是型未定式，应用洛必达法则.解42例3求下列极限.分析：这是型未定式，解等价无穷小替换43例3求下列极限.解分析：这是型未定式，44证例445证例5例6-94647由积分中值定理，

或证例548证令由零点定理可知，另一方面，例6例6-849解例7所以50定理2(微积分基本公式)证二、牛顿—莱布尼茨公式51所以—牛顿—莱布尼茨公式52注意上述公式通常称为微积分基本公式,它揭示了定积分与不定积分之间的关系,给定积分的计算提供了一种简便而有效的方法.

53例8

求

原式解解例9

设

求54例10

求

原式解例6-1555解例1156例12设f(x)是连续函数,且两边在[0,1]上积分,求f(x).即解573.微积分基本公式1.积分上限函数2.积分上限函数的导数小结

牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．58练习：p18习题6.41.(2)(4)3.4.(2)(3)5.双号59第五节定积分的换元积分法定理则有

60证61注意:(1)应用定积分的换元法时,与不定积分比较，多一事：换上下限；少一事：不必回代；

(2)(3)逆用上述公式,即为“凑微分法”,不必换限.

62例1例2例363例4

计算解原式64例5

计算解令原式65例6

计算解令原式例6-1866例7

计算解令原式67例8解所以平均值等于68例9解令原式69证利用函数的对称性简化计算.例6-2370yxoyxo71例10奇函数奇函数奇函数72证例1173例12证(1)74证(2)令例12例6-267576证(3)令并计算

例12例6-267778解例13令则两边求导，即再求导，得79例14解例6-2180练习：p24习题6.51.(3)(4)(5)(7)(12)2.(1)(3)(5)3.6.7.81第六节定积分的分部积分法定理

例1例282例3例483例5

计算分部积分法与换元法结合.解令原式84例6

计算解令原式则解得85例7计算解得到递推公式：

86而若n为正偶数,则

若n为大于1的奇数,则

87即例如，另外，瓦里斯公式88练习：p28习题6.61.(2)(3)(4)(5)(6)(10)(11)89第七节定积分的应用一、平面图形的面积面积元素:(1)由连续曲线y=f(x)(f(x)

0),直线x=a,x=b(a<b)及x轴所围成的平面图形的面积yo面积90若f(x)有正有负,则曲边梯形面积为xyoab91xyoab面积元素:

(2)由连续曲线y=f(x),y=g(x),直线x=a,x=b(a<b)所围成的平面图形的面积:92cxyoab一般地，93dcxyo及y轴围成的平面图形的面积为

xyodc一般地，94及y轴围成的平面图形的面积为：

dcxyodcxyo一般地，95解先求两曲线的交点选x为积分变量,例1

例6-3796例2

围成的平面图形的面积.

xoy解

由对称性,交点97解由对称性知,例3

总面积等于第一象限部分面积的4倍,例6-4298xy利用圆面积解由对称性知,例3

总面积等于第一象限部分面积的4倍,99解两曲线的交点例4

此法麻烦。例6-40100此题选y

为积分变量比较好,选择积分变量的原则：

(1)尽量少分块；(2)积分容易.

101例5

解102例6

作草图如右,解y12x103解例7

y=x2t11104练习：p45习题6.71.(3)(5)(6)(7)(8)2.105二、平行截面面积为已知的立体的体积xa(x)dv

=

a(x)

dxxabv106解建立坐标系如图,截面面积所以立体体积例8垂直于

x

轴的截面为直角三角形,

107

旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台三、旋转体的体积108abox

y体积元素:旋转体的体积为109直线op的方程为解例9

110例10

x

yoab解

x

yoab例6-46111例11

解

xy利用圆面积例6-47112x

ycdox

ydc113例12

解

下面再介绍一个新方法.例6-45114ox

yab套筒法:体积微元:115上例:ox

yab116例13

解“套筒法”推广：

ox

yab117解例14

118解例14

119解例15

圆锥体积120解(1)例16

y2xao121解(1)(2)导数左正右负，为极大值点，即为最大值点，122四、经济应用问题举例设总成本函数为c=c(q)，总收益函数为r=r(q)，

其中q为产量，

则总成本函数为则总收益函数为所以总利润函数为称为固定成本123某商品每周产量为q，固定成本为200元，成本函数变化率为

例17

解求成本函数。如果该商品的销售单价为20元，且假设产品可以全部售出，求利润函数l(q)，并问每周产量为多少时，可获得最大利润？

成本函数为

例6-51124某商品每周产量为q，固定成本为200元，成本函数变化率为

销售收入为

所以利润函数为得唯一驻点

所以当每周产量时,利润最大,最大利润为

例17

解如果该商品的销售单价为20元，且假设产品可以全部售出，求利润函数l(q)，并问每周产量为多少时，可获得最大利润？

求成本函数。成本函数为

125例18

解所以需求函数为

例6-52126例19

解所以需求函数为

例6-53127练习：p45习题6.75.6.(2)(3)(4)10.128第八节广义积分在定积分的定义中,有两个限制:无界函数的积分—称为瑕积分.无限区间上的积分—称为无穷限积分；(1)积分区间有限；(2)被积函数有界.当这两个条件至少有一个不满足时,称广义积分(现一般称为反常积分).

129一、无穷限广义积分定义如果上述极限不存在,

即130类似地，注意：上式只有右边两个反常积分均收敛时才有意义。131例1讨论下列无穷限积分的敛散性.解所以xoy132例1讨论下列无穷限积分的敛散性.解所以133例1讨论下列无穷限积分的敛散性.解134135例1讨论下列无穷限积分的敛散性.解136解例2积分发散；

所以例6-59137例3其中洛必达法则例6-60138例4解令原式例6-61139计算反常积分例5解原式140二、无界函数的广义积分定义如果极限

即141存在,则称广义积分收敛,即

142例6讨论下列瑕积分的敛散性.解0为瑕点，原式注？143例6讨论下列瑕积分的敛散性.例6-65144例6讨论下列瑕积分的敛散性.例6-69145例6讨论下列瑕积分的敛散性.例6-71146例7解发散；

所以例6-68147比较：所以例7解发散；

148例8讨论下列瑕积分的敛散性.解0为瑕点，149例8讨论下列瑕积分的敛散性.解？150例8讨论下列瑕积分的敛散性.是瑕点，解151发散.？思考题是瑕点，152积分的瑕点是哪几点？思考题可能的瑕点是不是瑕点,的瑕点是解1532.无界函数的广义积分（瑕积分）1.无穷限的广义积分（注意：不能忽略内部的瑕点）小结154练习：p53习题6.81.(1)(2)(4)(5)(6)(7)(8)(10)(11)2.155习题课习题课156例1计算解原式157例2计算解原式158例3计算解原式159例4计算解所以原式或：原式160例5计算解所以原式利用公式p24,1.(12)161解法1例6计算原式解法2原式与原式相加,得所以原式162p28,1.(11)解例7计算积分其中采用分部积分的方法,163例8设f(x)是连续函数,且两边在[0,1]上积分,求f(x).即解164解例9165计算广义积分例10解原式计算广义积分例11解故广义积分发散.原式166例12证由零点定