立体几何解答题100题

立体几何解答题题库1.如图，在三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA=AB=AC=3，平面平面PAB，且与棱PC，AC，BC分别交于P1，A1，B1三点．（1）过A作直线l，使得，，请写出作法并加以证明；（2）若将三棱锥P-ABC分成体积之比为8:19的两部分（其中，四面体P1A1B1C的体积更小），D为线段B1C的中点，求四棱锥A1-PP1DB1的体积．2.如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图(其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形，尺寸如图所示)．(1)求四棱锥P-ABCD的体积；(2)证明：BD∥平面PEC；(3)线段BC上是否存在点M，使得AE⊥PM？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．3.如图1所示，平面多边形CDEF中，四边形ABCD为正方形，EF∥AB，AB=2EF=2,沿着AB将图形折成图2，其中为AD的中点.（Ⅰ）求证：EH⊥BD；（Ⅱ）求四棱锥D-ABFE的体积.4.如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形，且平面底面ABCD，，.（1）证明：：；（2）点M在棱PC上，且，若三棱锥的体积为，求实数的值.5.已知ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=a，，M、N分别是AD、PB的中点。（Ⅰ）求证：平面MNC⊥平面PBC；（Ⅱ）求点A到平面MNC的距离。6.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=AC，E是BC的中点.（1）求证：平面AB1E⊥平面B1BCC1；（2）求证：A1C∥平面AB1E．7.如图，ABCD为矩形，点A、E、B、F共面，且和均为等腰直角三角形，且90°．（Ⅰ）若平面ABCD⊥平面AEBF，证明平面BCF⊥平面ADF；（Ⅱ）问在线段EC上是否存在一点G，使得BG∥平面CDF，若存在，求出此时三棱锥G-ABE与三棱锥G-ADF的体积之比．8.如图，四边形ABCD为菱形，ACEF为平行四边形，且平面ACEF⊥平面ABCD，设BD与AC相交于点G，H为FG的中点.（Ⅰ）证明：BD⊥CH；（Ⅱ）若AB=BD=2，AE=，CH=，求三棱锥F-BDC的体积.9.如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2,BC=EF=1,,DE=3,，G为BC的中点.（1）求证：FG∥平面BED；（2）求证：BD⊥平面AED；（3）求点F到平面BED的距离.10.如图，在底面为梯形的四棱锥S-ABCD中，已知，，，.（1）求证：；（2）求三棱锥B-SAD的体积.11.如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，，∠BAD＝∠CDA＝90°，．（1）求证：平面PAD⊥平面PBC；（2）求直线PB与平面PAD所成的角；（3）在棱PC上是否存在一点E使得直线BE∥平面PAD，若存在求PE的长，并证明你的结论．12.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C是菱形，其对角线的交点为O，且AB=AC1，.（1）求证：AO⊥平面BB1C1C；（2）若，且，求三棱锥C1-ABC的体积.13.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，．（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；（2）若，M为线段PC的中点，求三棱锥C-MBD的体积。14.如图，在五面体ABCDFE中，底面ABCD为矩形，EF∥AB，BC⊥FD，过BC的平面交棱FD于P，交棱FA于Q．（1）证明：PQ∥平面ABCD；（2）若CD⊥BE，EF＝EC＝1，，求五面体ABCDFE的体积．15.如图所示，四棱锥S-ABCD中，SA⊥底面ABCD，，，BC=1，，，E为CD的中点.（1）求证：BC∥平面SAE；（2）求三棱锥S-BCE与四棱锥S-BEDA的体积比.16.如图示，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，，E、F分别CD、PB的中点.（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：EF⊥平面PAB；（Ⅲ）设,求三棱锥P-AEF的体积.17.如图所示的几何体QPABCDSKIPIF1<0为一简单组合体，在底面ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，QD⊥平面ABCDSKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求证：平面PAB⊥平面QBCSKIPIF1<0；（2）求该组合体QPABCD的体积.18.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为矩形，△PAD为等腰三角形，∠APD＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，且AB＝1，AD＝2，E，F分别为PC，BD的中点．(1)证明：EF∥平面PAD；(2)证明：平面PDC⊥平面PAD；(3)求四棱锥P—ABCD的体积．19.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，D是AC的中点.(Ⅰ)求证：B1C∥平面A1BD；(Ⅱ)若，求三棱锥A1-ABD的体积.20.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,PA⊥平面ABCD,E为PB中点,.(1).求证:PD∥平面ACE;(2).求三棱锥E-ABC的体积。21.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PBC⊥平面ABCD，PB⊥PD．（1）证明：平面PAB⊥平面PCD；（2）若，E为棱CD的中点，，BC=2，求四面体A-PED的体积．22.如图所示，在四棱锥S—ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，其中AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝AS＝2，AB＝1，CD＝3，点E在棱CS上，且CE＝λCS．（1）若，证明：BE⊥CD；（2）若，求点E到平面SBD的距离．23.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AD=2AB=2BC，M为边AD的中点，CB1⊥底面ABCD.⑴求证：C1M∥平面A1ABB1；⑵平面B1BM⊥平面ACB1.24.如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，.(Ⅰ)求证：平面平面；(Ⅱ)若,求点到平面的距离.25.四棱锥S-ABCD的底面ABCD为直角梯形，，，，△SAD为正三角形．（1）点M为棱AB上一点，若平面，，求实数的值；（2）若，求点B到平面SAD的距离．26.（本小题满分12分）已知四棱锥P-ABCD的三视图如下图所示，其中正视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条对角线的正方形，E是侧棱PC上的动点（1）求证：平面PAC⊥平面BDE．（2）若E为PC的中点，求直线BE与平面PBD所成角的正弦值．27.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°（1）证明：平面PAB⊥平面PAD．（2）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，四棱锥P－ABCD的体积为9，求四棱锥P－ABCD的侧面积.28.如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，，点E，F分别为棱AB，PD的中点。（1）求证：AE∥平面PCE；（2）求证：平面PCE⊥平面PCD29.（本题满分12分）如图1，已知直角梯形ABCD中，，AB//DC，AB⊥AD，E为CD的中点，沿AE把△DAE折起到△PAE的位置（D折后变为P），使得PB=2，如图2．（Ⅰ）求证：平面PAE⊥平面ABCE；（Ⅱ）求点B到平面PCE的距离．30.如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，其对角线的交点为O，且.（1）求证：SO⊥平面ABCD；（2）设是侧棱SD上的一点，且SB∥平面APC，求三棱锥A-PCD的体积.31.如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．

(Ⅰ)求证：EM∥平面ABC；

(Ⅱ)求出该几何体的体积．32.如图，直三棱柱ABC-A′B′C′中，，，D，E分别为AB和BB′上的点，且．（1）当D为AB中点时，求证：A′B⊥CE；（2）当D在AB上运动时，求三棱锥A′-CDE体积的最小值．33.正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，，点M是EC中点.（I）求证：BM∥平面ADEF；（II）求三棱锥M－BDE的体积.34.如图,在底面是正三角形的直三棱柱中,,D是BC的中点．(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积．35.如图，在四棱锥E-ABCD中，,，点F为棱DE的中点.（1）证明：AF∥平面BCE；（2）若，求三棱锥B-CEF的体积.36.如图，在矩形ABCD中，，PA⊥平面ABCD，，F为PA的中点.（1）求证：DF∥平面PEC；（2）记四棱锥C-PABE的体积为V1，三棱锥P-ACD的体积为V2，求.37.如图，在三棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，，点P在底面ABCD内的正投影为点M，且M为AD的中点.（1）证明：AB⊥平面PAD；（2）若，求四棱锥P-ABCD的体积.38.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=AD，CD=BC.（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；（2）若∠BAD=120°，∠BCD=60°，且PB⊥PD，求二面角B-PC-D的平面角的大小.39.如图，在各棱长均为4的直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∠BAD=60°，E为棱BB1上一点.（1）证明：平面ACE⊥平面BDD1B1；（2）在图中作出点A在平面A1BD内的正投影H（说明作法及理由），并求三棱锥B-CDH的体积.40.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，，，M，N分别为线段PC，AD的中点.（Ⅰ）求证：AD⊥面PNB；（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥P-NBM的体积.41.在如图所示的几何体中，PB∥EC，PB=2CE=2，PB⊥平面ABCD，在平行四边形ABCD中，AB=1，AD=2，∠BAD=60°．（1）求证：AC∥平面PDE；（2）求CD与平面PDE所成角的正弦值．42.在四棱锥P-ABCD中，AB∥DC，AB⊥AD，PA=AD=DC=2AB=2，PD=AC，E是棱PC的中点，且BE⊥CD.（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求点P到平面BDE的距离.43.已知平面四边形PABC中，中，，现沿AC进行翻折，得到三棱锥P-ABC，点D，E分别是线段BC，AC上的点，且DE∥平面PAB.求证：（1）直线平面；（2）当D是BC中点时，求证：平面ABC⊥平面PDE.44.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，点M在线段PC上，且PM=2MC，O为AD的中点.（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面POB⊥平面PAD；（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，且AB=2，求三棱锥P-OBM的体积.45.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，.（Ⅰ）证明：直线AC⊥平面PBD；（Ⅱ）若=1，，求四棱锥P-ABCD的体积.46.（本小题满分14分）如图，已知直三棱柱SKIPIF1<0的侧面SKIPIF1<0是正方形，点SKIPIF1<0是侧面SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中点.（1）求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.47.（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点.（Ⅰ）求证：PE⊥BC；（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD；（Ⅲ）求证：EF∥平面PCD.48.（本小题满分13分）如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=，∠BAD=90°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．49.（12分）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．50.如图，在多边形中，，，，，是线段上的一点，且，若将沿折起，得到几何体.（1）试问：直线与平面是否有公共点？并说明理由；（2）若，且平面平面，求三棱锥的体积．51.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面四边形ABCD是菱形，∠BAD=600，AB=PD=2，O为AC与BD的交点.（Ⅰ）求证：AC⊥PB；（Ⅱ）若点E是PB的中点，求三棱锥E—ABC的体积.52.如图，在三棱锥P-ABC中，为AC的中点.（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且，求点C到平面POM的距离.53.如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，为的中点．（Ⅰ）证明：∥平面；（Ⅱ）设，，三棱锥的体积，求到平面的距离．54.（12分）如图，在三棱锥P-ABC中，，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离．55.已知直角梯形ABCD中，，∥，，，E为AB的中点，过E作EF∥AD，将四边形AEFD沿EF折起使面AEFD⊥面EBCF.（1）若为的中点，求证：∥面；

（2）若，试求多面体的体积.

56.（本小题满分12分）如图，直三棱柱中，，，是的中点，△是等腰三角形，为的中点，为上一点．（Ⅰ）若∥平面，求；（Ⅱ）平面将三棱柱分成两个部分，求较小部分与较大部分的体积之比．57.多面体ABCDEF中，，，△ABC是边长为2的等边三角形，四边形ACDF是菱形，，M，N分别是AB，DF的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.58.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，,平面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是边长为2的等边三角形，，M是AD中点．(1)求证：平面PMB⊥平面PAD；(2)证明：∠PDC>∠PAB，且△PDC与△PAB的面积相等.59.如图，三棱锥中，，，是等边三角形且以为轴转动.（1）求证：；（2）当三棱锥体积最大时，求它的表面积.60.如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为边长为2的等边三角形，∠BAC=90°，O为BC中点.(I)证明:AC⊥SO;(Ⅱ)求点C到平面SAB的距离.61.中秋节即将到来，为了做好中秋节商场促销活动，某商场打算将进行促销活动的礼品盒重新设计．方案如下：将一块边长为10的正方形纸片剪去四个全等的等腰三角形，，，再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒，其中重合于点，与重合，与重合，与重合，与重合（如图所示）．（1）求证：平面平面；（2）已知，过作交于点，求的值．62.如图1，是边长为3的等边三角形，在边上，在边上，且.将沿直线折起，得四棱锥，如图2.（1）求证：；（2）若平面底面，求三棱锥的体积.63.如图所示，和所在平面互相垂直，且，，，分别为，的中点.（1）求证：；（2）求二面角的正弦值.64.如图，四棱柱的底面为菱形，且.（1）证明：四边形为矩形；（2）若，平面，求四棱柱的体积.65.如图（1）所示，长方形ABCD中，AB=2AD，M是DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得AD⊥BM，如图（2）所示，在图（2）中，（1）求证：BM⊥平面ADM；（2）若AD=1，求三棱锥B-MCD的体积.66.如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的高为2，点D是A1B的中点，点E是B1C1的中点.（1）证明：DE∥平面ACC1A1；（2）若三棱锥E-DBC的体积为，求该正三棱柱的底面边长.67.如图，已知四棱锥，底面为菱形，，,平面，分别是的中点。（1）证明：；（2）若为的中点时，与平面所成的角最大，且所成角的正切值为，求点A到平面的距离。68.如图，在四棱锥P—ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，点E在棱PA上，且PE=2EA．（Ⅰ）证明PC∥平面EBD；（Ⅱ）求二面角A—BE—D的正切值．69.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，且AD=2BC=2CD，PA=PB=PD．（1）求证：平面PAD丄平面ABCD；（2）若∠PAD=45°且PA=，E，F分别是PA，PC的中点，求多面体PEBFD的体积．70.如图，在三棱锥中，，点为边的中点.（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求三棱柱的体积.71.如图，已知四边形ABCD为矩形，四边形ABEF为直角梯形，FA⊥AB，AD=AF=FE=1，AB=2，AD⊥BE.（Ⅰ）求证：BE⊥DE；（Ⅱ）求点F到平面CBE的距离.72.如图，直三棱柱中，M是AB的中点.（1）证明：BC1∥平面MCA1；（2）若，，求点C1到平面MCA1的距离.73.在四棱锥P—ABCD中，AD⊥AB，AD∥BC，△PDA，△PAB都是边长为1的正三角形.（1）证明：平面PDB⊥平面ABCD；（2）求点C到平面PAD的距离.74.已知多面体ABCDEF中，四边形ABFE为正方形，为AB的中点，．（1）求证：AE⊥平面CDEF；（2）求六面体ABCDEF的体积．75.如图，平面平面，四边形是菱形，，，，.（Ⅰ）求四棱锥的体积；（Ⅱ）在上有一点，使得，求的值.76.如图，直三棱柱中，，，分别是的中点．（1）证明：平面平面；（2）求三棱锥的高．77.如图，垂直于菱形所在平面，且，，点、分别为边、的中点，点是线段上的动点.（I）求证：；（II）当三棱锥的体积最大时，求点到面的距离.78.如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，为的中点，侧棱，点在上，点在上，且，.（1）证明：平面平面；（2）求点到平面的距离.79.如图所示的几何体中，平面平面,为直角三角形，，四边形为直角梯形，，，，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.80.如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E在DC边上，且DE=1，将△ADE沿AE折到△AD'E的位置，使得平面AD'E⊥平面ABCE．（Ⅰ）求证：AE⊥BD'；（Ⅱ）求三棱锥A﹣BCD'的体积．81.如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，∠BAD=.（1）求证：平面BCF∥平面AED；（2）若BF=BD=a，求四棱锥A-BDEF的体积.82.如图，ABCD是边长为a的正方形，EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，EB=2FD=a．（Ⅰ）求证：EF⊥AC；（Ⅱ）求三棱锥E﹣FAC的体积．83.如图，在底面为矩形的四棱锥中，.（1）证明：平面平面；（2）若，平面平面，求三棱锥与三棱锥的表面积之差.84.如图，是圆柱的上、下底面圆的直径，是边长为2的正方形，是底面圆周上不同于两点的一点，.(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值.85.如图，将菱形沿对角线折叠，分别过，作所在平面的垂线，，垂足分别为，，四边形为菱形，且.（1）求证：平面；（2）若，求该几何体的体积.86.如图，在等腰梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，.（1）求证：BC⊥平面ACFE；（2）求多面体ABCDEF的体积.87.在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求点到平面的距离．88.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，CD∥AB,AB⊥BC,AB=BC=2CD=2,侧棱AA1⊥平面ABCD.且点M是AB1的中点.(1)证明:CM∥平面ADD1A1；(2)求点M到平面ADD1A1的距离.89.如图所示，已知圆的直径长度为4，点为线段上一点，且，点为圆上一点，且．点在圆所在平面上的正投影为点，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求点D到平面PBC的距离.90.如图，在四棱锥中，为钝角三角形，侧面垂直于底面，，点是的中点，，，.（1）求证：平面平面；（2）若直线与底面所成的角为60°，求二面角余弦值．91.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．设M，N分别为PD，AD的中点．（1）求证：平面CMN∥平面PAB；（2）求三棱锥P﹣ABM的体积．92.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥面ABCD，PA=AD=4，AB=2，以AC中点O为球心，AC为直径的球面交线段PD（不含端点）于M．（1）求证：面ABM⊥面PCD；（2）求三棱锥P﹣AMC的体积．93.如图，边长为2的正方形ABFC和高为2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直，AF∩BC=O，DE=，ED∥AF且∠DAF=90°（1）求证：DE⊥平面BCE（2）过O作OH⊥平面BEF，垂足为H，求二面角H﹣AE﹣O的余弦值．94.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=1，PA=2，E为PB的中点，点F在棱PC上，且PF=λPC．（1）求直线CE与直线PD所成角的余弦值；（2）当直线BF与平面CDE所成的角最大时，求此时λ的值．95.如图所示，该几何体是由一个直角三棱柱和一个正四棱锥组合而成，，.(1)证明：平面平面；(2)求正四棱锥的高，使得该四棱锥的体积是三棱锥体积的4倍.96.已知：平行四边形ABCD中，∠DAB=45°，AB=AD=2，平面AED⊥平面ABCD，△AED为等边三角形，EF∥AB，EF=，M为线段BC的中点。（I）求证：直线MF∥平面BED；（II）求平面BED与平面FBC所成角的正弦值；（III）求直线BF与平面BED所成角的正弦值。97.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，点分别为的中点.(1)求证：直线∥平面；(2)求点到平面的距离.98.如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，，，点是上一点.(1)求证：平面平面；(2)若是中點，求三棱椎的体积.99.如图，直棱柱的棱长都为，点为棱的中点，点在棱上，且.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.100.如图,在四棱锥中,棱底面,且,,,是的中点.(1)求证:平面；(2)求三棱锥的体积.立体几何解答题题库答案1.（1）作法：取的中点，连接，则直线即为要求作的直线．证明如下：，且，平面．平面平面，且平面，平面平面．平面，．又，为的中点，则，从而直线即为要求作的直线．（2）将三棱锥分成体积之比为的两部分，四面体的体积与三棱锥分成体积之比为，又平面平面，．易证平面，则到平面的距离即为到平面的距离，又为的中点，到平面的距离，故四棱锥的体积．2.(1)由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥EB，且PA＝4，BE＝2，AB＝AD＝CD＝CB＝4，∴VP－ABCD＝PA×SABCD＝×4×4×4＝.┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分（2）证明：连结AC交BD于O点，取PC中点F，连结OF，∵EB∥PA，且EB＝PA，又OF∥PA，且OF＝PA，∴EB∥OF，且EB＝OF，∴四边形EBOF为平行四边形，∴EF∥BD.又EF⊂平面PEC，BD⊄平面PEC，所以BD∥平面PEC.┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉8分解法二：可取PA的中点Q,证明平面PEC∥平面BDQ.BD⊂平面BDQ.所以BD∥平面PEC.(3)存在，点M为线段BC上任意一点.证明如下：连结BP，∵＝＝，∠EBA＝∠BAP＝90°，∴△EBA∽△BAP，∴∠PBA＝∠BEA，∴∠PBA＋∠BAE＝∠BEA＋∠BAE＝90°，∴PB⊥AE.又∵BC⊥平面APEB，∴BC⊥AE，∴AE⊥平面PBC，∴点M为线段BC上任意一点，均可使得AE⊥PM.┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉12分3.（Ⅰ）在梯形中,∵,,∴,∴,∵.∴,∴,∴.（4分）∵平面平面,平面平面,∴平面.（Ⅱ）在中,,∴.分别以为轴,轴,轴建立平面直角坐标系,设,则,,,,,则,,易知平面的一个法向量为,∵平面的法向量为,∴即令,则,,∴平面的法向量为,∵二面角的平面角的余弦值为,∴,解得,即.（10分）所以六面体的体积为：.（12分）4.（1）证明：取AD的中点O，连OC,OP∵为等边三角形，且O是边AD的中点∴∵平面底面，且它们的交线为AD∴∴∵∴∴（2）设点M到平面ACD的距离为∵∴∴∵∴5.（I）连PM、MB∵PD⊥平面ABCD ∴PD⊥MD∴PM=BM又PN=NB∴MN⊥PB得NC⊥PB∴PB⊥平面MNC平面PBC∴平面MNC⊥平面PBC（II）取BC中点E，连AE，则AE//MC∴AE//平面MNC，A点与E点到平面MNC的距离相等取NC中点F，连EF，则EF平行且等于BN∵BN⊥平面MNC∴EF⊥平面MNC，EF长为E点到平面MNC的距离∵PD⊥平面ABCD，又BC⊥DC面∴BC⊥PC.即点A到平面MNC的距离为6.（2）连接A1B，设A1B∩AB1=F，连接EF．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形AA1B1B为平行四边形，所以F为A1B的中点．又因为E是BC的中点，所以EF∥A1C．因为EF在平面AB1E内，A1C不在平面AB1E内，所以A1C∥平面AB1E．7.证明：（1）∵ABCD为矩形，∴BC⊥AB，又∵平面ABCD⊥平面AEBF，BC平面ABCD，平面ABCD∩平面AEBF=AB，∴BC⊥平面AEBF，……………（2分）又∵AF平面AEBF，∴BC⊥AF.……………（3分）∵∠AFB=90°，即AF⊥BF，且BC、BF平面BCF，BC∩BF=B，∴AF⊥平面BCF.……………（5分）又∵AF平面ADF，∴平面ADF平面BCF.………………（6分）（2）∵BC∥AD，AD平面ADF，∴BC∥平面ADF.∵和均为等腰直角三角形，且90°，∴∠FAB=∠ABE=45°，∴AF∥BE，又AF平面ADF，∴BE∥平面ADF，∵BC∩BE=B，∴平面BCE∥平面ADF.延长EB到点H，使得BH=AF，又BCAD，连CH、HF，易证ABHF是平行四边形，∴HFABCD，∴HFDC是平行四边形，∴CH∥DF.过点B作CH的平行线，交EC于点G，即BG∥CH∥DF，（DF平面CDF）∴BG∥平面CDF，即此点G为所求的G点.………………（9分）又BE=，∴EG=，又，，故..………………（12分）8.（1）证明：四边形为菱形，………………1分又面面=………………2分面面C………………3分,………………4分………………5分………………6分（2）在中，所以,………………6分………………8分，,………………9分………………….10分又,,,∴CH⊥平面BDF.............12分……………14分9.（1）证明：取BD的中点O，连接OE，OG在中，因为G是BC的中点，所以OG∥DC且，……………1分因为EF∥AB，AB∥DC，，所以EF∥OG且，……2分所以四边形是平行四边形，所以∥，………3分又平面，平面，所以∥平面．……………4分（2）证明：在中，，，，由余弦定理得，…………5分因为，所以.…………6分因为平面平面，平面,平面平面，所以平面.……………7分（3）解法1：由（1）∥平面，所以点F到平面的距离等于点G到平面的距离，……8分设点G到平面的距离为，过E作，交的延长线于M，则平面，所以是三棱锥的高．……9分由余弦定理可得，所以,.…………10分.因为，………………11分即，解得.所以点F到平面的距离为．………………12分解法2：因为∥，且,所以点F到平面的距离等于点A到平面的距离的，……………8分由（2）平面.因为平面，所以平面平面．过点作于点，又因为平面平面，故平面.所以为点到平面的距离．…9分在中，，由余弦定理可得所以，…10分因此，……………………11分所以点F到平面BED的距离为．………………12分10.（1）设为的中点，连接，，∵，∴，∵，∴，又平面，且，平面，又平面，∴.（2）连接，在中，∵，，为的中点，∴为正三角形，且，，∵在中，，为的中点，∴，且，∵在中，，∴为直角三角形，且，∴又，且，∴平面.∴.11.证明(1)因为∠BAD＝∠CDA＝90°，所以,四边形ABCD为直角梯形,又满足又又,,所以平面PAD⊥平面PBC……4分(2)30°…………………8分(3)存在E为PC中点,即满足条件……………12分12.（1)证明：∵四边形是菱形，∴,∵,∴平面，又平面，∴．∵,是的中点，∴，∵，∴平面…6分（2）菱形的边长为，又是等边三角形，则.由（1）知，，又是的中点，，又是等边三角形，则.在中，……9分……………12分13.（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴.又∵平面ABCD，平面ABCD，∴．又，平面，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面.（Ⅱ）解：14.（1）证明：因为底面ABCD为矩形，所以AD∥BC．，，．（2）解：由CD⊥BE，CD⊥CB，易证CD⊥CE，由BC⊥CD，BC⊥FD，易证BC⊥平面CDFE，所以CB⊥CE，即CD，CE，CB两两垂直．连接FB，FC，则CD＝2，BC＝3，，，．15.（1）证明：因为，，，所以，，在△ACD中，，，，由余弦定理可得：解得：CD=4所以，所以△ACD是直角三角形，又为的中点，所以又，所以△ACE为等边三角形，所以，所以，又AE平面SAE，平面SAE，所以BC∥平面SAE.（2）解：因为平面，所以同为三棱锥与四棱锥的高.由（1）可得，，所以..所以故：三棱锥与四棱锥的体积比为1:4.16.（Ⅰ）取PA的中点G，连FG，由题可知：BF=FP,则FG//ABFG=AB,又CE=ED，可得：DE//AB且DE=AB，FG//DE且FG=DE,四边形DEFG为平行四边形，则EF//DG且EF=DG,DG平面PAD；EF平面PAD，EF//平面PAD4分（Ⅱ）由PD平面ABCD，PD平面PAD，平面PAD平面ABCD，且交线为AD，又底面ABCD是矩形，BAAD，BA平面PAD，平面PAB平面PAD,其交线为PA，又PD=AD，G为PA的中点，DGPA，DG平面PAB，由（Ⅰ）知：EF//DG,EF平面PAB8分（Ⅲ）由AB=BC=得：BC=1,AB=,AD=PD=1,F为PB的中点，======12分17.(1)见解析；（2）SKIPIF1<0.解：（1）证明：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴平面SKIPIF1<0.--------------------------518.（1）证明：∵平面PAD垂直矩形平面ABCD，∴CD⊥平面PAD

取DC中点H，连接EH，EH⊥CD，连接FH，则FH⊥CD

则CD⊥平面EHF，∴平面EHF//平面PAD，又EF∈平面EHF

∴EF平行PAD；…………4分

（2）证明：∵平面PAD垂直矩形平面ABCD，角CDA=90度，CD⊥平面PAD，又平面PAD∩平面PDC于PD，又DC∈平面PDC，∴平面PDC垂直平面PAD………8分（3）…………12分19.（1）连结AB1交A1B于点O，则O为AB1中点，20.（1）证明:连接,交于,连接.

∵四边形ABCD为正方形

∴F为BD的中点

∵E为PB的中点,

∴EF∥PD又∵面,面,∴PD∥平面.

（2）.取AB中点为G,连接EG.∵E为PB的中点,∴EG∥PA∵平面ABCD,∴平面ABCD,即是三棱锥的高,在中,,,则,,∴三棱锥的体积为.21.（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD⊥BC.∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，CD平面ABCD，∴CD⊥平面PBC，∴CD⊥PB.∵PB⊥PD，CD∩PD=D，CD、PD平面PCD，∴PB⊥平面PCD.∵PB平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD.（Ⅱ）取BC的中点O，连接OP、OE.∵平面，∴，∴，∵，∴．∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，PO平面PBC，∴PO⊥平面ABCD，∵AE平面ABCD,∴PO⊥AE.∵∠PEA=90O,∴PE⊥AE.∵PO∩PE=P，∴AE⊥平面POE，∴AE⊥OE.∵∠C=∠D=90O,∴∠OEC=∠EAD,∴，∴．∵，，，∴，．PCPCBAEDO22.（1）证明：因为，所以，在线段CD上取一点F使，连接EF，BF，则EF∥SD且DF＝1．因为AB＝1，AB∥CD，∠ADC＝90°，所以四边形ABFD为矩形，所以CD⊥BF．又SA⊥平面ABCD，∠ADC＝90°，所以SA⊥CD，AD⊥CD．因为AD∩SA＝A，所以CD⊥平面SAD，所以CD⊥SD，从而CD⊥EF．因为BF∩EF＝F，所以CD⊥平面BEF．又BE平面BEF，所以CD⊥BE．（2）解：由题设得，，又因为，，，所以，设点C到平面SBD的距离为h，则由VS—BCD＝VC—SBD得，因为，所以点E到平面SBD的距离为．23.证明：（1）∵几何体为四棱柱，∴四边形为平行四边形，即∥，且，……………2分又∵底面为等腰梯形，∴∥，即∥，………3分又∵，且为边的中点，∴，即，……………4分则四边形为平行四边形，即∥，………………5分又∵平面，平面，∴∥平面，……………………7分（2）∵∥，且，∴四边形为平行四边形，又∵，∴四边形为茭形，则⊥，……………9分又∵⊥底面，且底面，∴⊥，……………11分又∵，且平面，平面，∴⊥平面，……………………13分又∵底面，∴平面⊥平面……………14分24.（Ⅰ）证明：取中点，连接可知且又,在有又，,即………3分又平面,平面平面，………5分又平面平面平面………6分（Ⅱ）设点到平面的距离为,又平面平面，且平面平面面………8分………9分在中有，…10分，所以点到平面的距离为.………12分25.（1）因为平面SDM，平面ABCD，平面SDM平面ABCD=DM，所以，因为，所以四边形BCDM为平行四边形，又，所以M为AB的中点．因为，．（2）因为，，所以平面，又因为平面，所以平面平面，平面平面，在平面内过点作直线于点，则平面，在Rt△SEA和Rt△SED中，因为，所以，又由题知，所以，由已知求得，所以，连接BD，则，又求得△SAD的面积为，所以由点B到平面的距离为．26.（1）由已知，平面ABCD，∵平面，又∵，∴平面．因平面EBD，则平面平面BDE．（2）法1：记AC交BD于点O，连PO，由（1）得平面平面BDP，且交于直线PO，过点E作于H，则平面PBD，∴为BE与平面PBD所成的角．∵，∴．∴．又，则．于是，直线BE与平面PBD所成角的正弦值是．法2：（等体积法）∵，∴E点到平面PBD的距离为．又，则．于是，直线BE与平面PBD所成角的正弦值是．27.（1）又又（2）设，则.过作,为垂足，为中点....四棱锥P-ABCD的侧面积为：,。28.解：（1）如图，取的中点，连接，，所以为的中位线，所以，.因为四边形为矩形，为的中点，所以，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以.又平面，平面，所以平面.（2）因为底面，所以，.又，，所以平面，又平面，所以.在中，，所以为等腰直角三角形，所以，又是的中点，所以.又，故，又，所以平面.29.解：（Ⅰ）如图，取AE的中点O，连接PO，OB，BE．由于在平面图形中，如题图1，连接BD，BE，易知四边形ABED为正方形，∴在立体图形中，△PAE，△BAE为等腰直角三角形，∴PO⊥AE，OB⊥AE，PO=OB=，∵PB=2，∴，∴PO⊥OB………………3分又，∴平面PO⊥平面ABCE，∵PO平面PAE，∴平面PAE⊥平面ABCD……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，PO⊥AE，OB⊥AE，，故AE⊥平面POB．∵PB平面POB，∴AE⊥PB，又BC//AE，∴BC⊥PB．在Rt△PBC中，在△PEC中，PE=CE=2，∴………………9分设点B到平面PCE的距离为d，由，得…………12分30.（1）证明：底面是棱形，对角线，又平面平面，又为中点，平面.（2）连平面平面，平面平面，，在三角形中，是的中点，是的中点，取的中点，连，则底面，且，在直角三角形中，，在直角三角形中，，，.31.(Ⅰ)证：∵M为DB的中点，取BC中点G，连接EM、MG、AG，则

MG∥DC，且 2分

∴MG∥AE且MG=AE 4分

故四边形AGME为平行四边形，∴EM∥AG 6分

又AG⊂平面ABC，EM平面ABC，∴EM∥平面ABC． 8分(Ⅱ)解：由己知，AE=2，DC=4，AB⊥AC，且AB=AC=2

∵EA⊥平面ABC，∴EA⊥AB

又AB⊥AC，∴AB⊥平面ACDE

∴AB是四棱锥B－ACDE的高 10分

梯形ACDE的面积

∴，即所求几何体的体积为4． 12分32.（1）证明：∵为的中点，故为的中点，三棱柱为直三棱柱，∴平行四边形为正方形，∴，∵，为的中点，∴，∵三棱柱为直三棱柱，∴平面，又平面，∴，又，∴平面，∵平面，∴．...............................6分（2）设，则由已知可得到平面的距离即为的边所对的高，∴∴当，即为的中点时，有最小值18．...............................12分33.34.（1）连接交于点O由题意知O为的中点,D为BC中点，所以，因为平面，平面，所以平面…………6分（2）。…………12分35.解法一：（1）证明：取的中点，连接.因为点为棱的中点，所以且，因为且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）因为，所以.因为，所以，所以，因为,平面，平面,所以平面. 因为点为棱的中点，且，所以点到平面的距离为2. .三棱锥的体积.解法二：（1）证明：在平面内，分别延长，交于点. 因为， 所以为中点. 又因为为的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面.（2）同解法一.解法三：（1）证明：取棱的中点，连接， 因为点为棱的中点，所以，因为平面，平面，所以平面； 因为，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面； 又因为,平面，平面，所以平面平面； 因为平面，所以平面. （2）同解法一. 36.（1）连接EF，∵，∴四边形ABEF为平行四边形，∴，在矩形ABCD中，，∴，∴四边形CDFE为平行四边形，∴.∴平面.（2）连接PB，由题意知，，∴.37.解：（1），由余弦定理得，，故又点在底面内的正投影为点，平面，又平面，又平面，（2）连接平面平面又为的中点，设，则，即，又在等腰中，梯形的面积为.38.解：（1）证明：点在线段的中垂线上，即有又平面，而平面，又平面平面平面（2）设，由（1）可知，可建立如图空间直角坐标系，不妨设，又，易知，，而，，在中，，则设平面的法向量为，则，而，不妨设，则可取同理可得平面的法向量为设二面角的平面角为则二面角的平面角为.39.解：（1）证明：∵底面为菱形，∴.在直四棱柱中，底面，∴.∵，∴平面，又平面，∴平面平面.（2）解：设与交于点，连接，过作，为垂足，即为在平面内的正投影.（若只是作图而不写作法，则不给分）理由如下：∵平面，∴，又，，∴平面，∴，又，∴平面.∵，，∴，由得，过作，垂足为，由得.∴.40.证明：（Ⅰ）连BD，由已知⊿ABD和⊿PAD都是边长为2的正三角形又N为AD的中点，∴AD⊥PN,AD⊥BN,∴AD⊥面PBN（Ⅱ）∵平面PAD⊥平面ABCD，且交于AD,又PN⊥AD,∴PN⊥面ABCD,∴PN⊥NB由⑴知BC//AD,AD⊥面PBN，∴BC⊥面PBN.又M为PC中点，41.（1）证明：连接交于，取中点，连接，，因为，，又，所以，，从而，平面，平面，所以平面．（2）解：连接，可计算得，，，，，设点到平面的距离为，则由，，得，所以由，知，所以，所以与平面所成角的正弦值为．42.（Ⅰ）取中点，连接，由已知,故为平行四边形，所以，因为，故.又，所以，，所以.由已知可求，，所以，所以，又，所以.（Ⅱ）已知是棱的中点，所以点到平面的距离等于点到平面的距离.由（Ⅰ）知，所以在直角三角形中，，，在中，，，又，所以，所以.所以的面积为.三棱锥的体积为，三棱锥的体积，又，所以，，故点到平面的距离为.43.（1）证明：因为平面，平面，平面平面，所以因为平面，平面，所以平面（2）因为是的中点，，所以为的中点.又因为，所以又，，所以，，平面，，所以平面.因为平面，所以平面平面.44.(Ⅰ)∵PA=PD，AO=OD,∴PO⊥AD，又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BO⊥AD，PO∩BO=O，∴AD⊥平面POB又AD⊂平面PAD，∴平面POB⊥平面PAD；（Ⅱ）方法一∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD，∵平面ABCD∴PO⊥OB∵为等边三角形，,∴，∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴∴由(Ⅰ)AD⊥平面POB∴BC⊥平面POB∴方法二∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD，∵为等边三角形，,∴，∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，由(Ⅰ)BO⊥AD∴∵PM=2MC∴45.（Ⅰ）连接交与------1分，------3分,-------4分直线⊥平面-------5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得-------6分-------7分-------8分-------9分-------10分-------11分-------12分46.证明：（1）在SKIPIF1<0中，因为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0...............4分又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0...............6分（2）因为SKIPIF1<0是直三棱柱，所以SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0...............8分而SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是正方形，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0..............12分又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0...............14分47.（Ⅰ）∵，且为的中点，∴.∵底面为矩形，∴，∴.（Ⅱ）∵底面为矩形，∴.∵平面平面，∴平面.∴.又,∵平面，∴平面平面.（Ⅲ）如图，取中点，连接.∵分别为和的中点，∴，且.∵四边形为矩形，且为的中点，∴，∴，且，∴四边形为平行四边形，∴.又平面，平面，∴平面.48.本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13分．（Ⅰ）由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．（Ⅱ）解：取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC．所以∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．在Rt△DAM中，AM=1，故DM=．因为AD⊥平面ABC，故AD⊥AC．在Rt△DAN中，AN=1，故DN=．在等腰三角形DMN中，MN=1，可得．所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为．（Ⅲ）解：连接CM．因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM=．又因为平面ABC⊥平面ABD，而CM平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．在Rt△CAD中，CD==4．在Rt△CMD中，．所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为．49.解：（1）由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．因为BC⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC．而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．（2）当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．证明如下：连结AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．连结OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP．MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC∥平面PBD．50.解：（1）直线与平面没有公共点，理由如下：连接，交于点，连接．∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵平面，平面，∴平面，即直线与平面没有公共点.（2）∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面，∵，平面，平面，∴平面，∴三棱锥的高等于点到平面的距离，即，∵，∴．51.（Ⅰ）证明：∵在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCDAC∴PD⊥AC………………2分∵四边形ABCD是菱形∴BD⊥AC………………3分又且PD，BD ∴AC⊥面PBD，PB∴AC⊥PB.………………6分（Ⅱ）解：∵O是菱形ABCD对角线的交点∴O是BD的中点∵E是PB的中点∴OE是ΔBPD的中位线，即OE∥PD，且OE=∵PD⊥平面ABCD∴OE⊥平面ABCD∴OE为三棱锥E—ABC的高………………9分∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=600，∴BC=AB=2，∠ABC=1200∴==∴………………12分52.解：（1）因为为的中点，所以，且．连结，因为，所以为等腰直角三角形，且，由知，，由，知平面；（2）作，垂足为，又由（1）可得，所以平面，故的长为点到平面的距离．由题设可知，所以．所以点到平面的距离为．53.（Ⅰ）证明：设BD与AC的交点为O，连结EO，∵ABCD是矩形，∴O为BD的中点∵E为PD的中点，∴EO∥PB．EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC∴PB∥平面AEC；————————————-—————5分（Ⅱ）∵AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，∴V==，∴AB=，PB==．作AH⊥PB交PB于H，由题意可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AH，故AH⊥平面PBC．又在三角形PAB中，由射影定理可得：A到平面PBC的距离．————————————————————————12分54.解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=．连结OB．因为AB=BC=，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．由知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．所以OM=，CH==．所以点C到平面POM的距离为．55.证明：（1）取的中点，连接，，因为∥，，且，所以，且GH∥EB，所以四边形为平行四边形，EG∥BH，面，故∥面.解：（2）因为面面，所以，，两两垂直，连接，所求的几何体分为两部分，四棱锥与三棱锥，，，∴多面体AD-BCFE体积为2×=56.解：（Ⅰ）取中点为，连结， 1分∵分别为中点∴∥∥，∴四点共面， 3分且平面∩平面又平面，且∥平面∴∥ 5分∵为的中点，∴是的中点，∴． 6分（Ⅱ）∵三棱柱为直三棱柱，∴平面，∴，又，则平面设，又三角形是等腰三角形，所以.如图，将几何体补成三棱柱，∴几何体的体积为： 9分又直三棱柱体积为： 10分故剩余的几何体棱台的体积为： 11分∴较小部分的体积与较大部分体积之比为：． 12分57.（1）证明：取的中点，连接因为分别是的中点，所以在菱形中，，在中，又，所以，，所以平面平面，平面，所以平面.（2）证明：连结，是边长为2的等边三角形，所以，，四边形是菱形，∴，∵，∴，∵，∴，∴又，所以平面平面，所以平面平面.58.解：(1)△PAD是边长为2的等边三角形,M是AD中点PM⊥AD,PM平面PAD又平面PAD⊥底面ABCD平面PAD∩底面ABCD=AD∴PM⊥底面ABCD又BM底面ABCD,PM⊥BM,△PMB是直角三角形在等边△PAD中，PM=，又PB=，MB=∠BAD=60○,在△ABM中,由余弦定理：MB2=AM2+AB2-2AM×AB×cos60○得：AB2-AB-2=0,即AB=2，△ABD也是等边三角形，BM⊥AD平面PAD∩底面ABCD=ADBM底面ABCD∴BM⊥平面PAD又BM平面PMB平面PMB⊥平面PAD（Ⅱ）由（Ⅰ）知底面ABCD是菱形.连接CM,在△DMC中，∠MDC=120○,由余弦定理：MC2=MD2+CD2-2MD×CD×cos120○=12+22-2×1×2×=7得：MC=，在直角形△PMC中，：PC2=PM2+MC2=在△PDC中，由余弦定理：在△PAB中，由余弦定理：,，余弦函数在是减函数∠PDC>∠PAB，而，，即△PDC与△PAB面积相等.(注：没有通过计算出面积，能够说明面积相等原因的，仍然是满分)59.（1）证明：取的中点，连接，，；（2）解：，∴若最大，则最大.∴平面平面.此时.60.证明:(I)由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且，又为等腰三角形，故，且，从而.所以为直角三角形，.又AO∩BO=O.所以平面即.(Ⅱ)设到平面的距离为，则由(I)知:三棱锥即为等腰直角三角形，且腰长为2.的面积为面积为，到平面的距离为.61.证明：(1)∵折后A，B，C，D重合于一点O，∴拼接成底面EFGH的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形，∴底面EFGH是正方形，故EG⊥FH，…2分∵在原平面图形中，等腰三角形△SEE′≌△SGG′，∴SE=SG，∴EG⊥SO，……4分又∵EG⊂平面SEC，∴平面SEG⊥平面SFH．………6分（2）解：依题意，当时，即Rt△SHO中，SO=5，，……………10分Rt△EMO中，，∴．……………12分62.（1）在图1中，由题意知，在中，由余弦定理知所以，所以，，在沿直线折起的过程中，与的垂直关系不变，故在图2中有又，所以平面，所以.（2）如图2，因为平面底面，由（1）知，且平面底面，所以底面，所以为三棱锥的高，且又因为在图1中，所以故三棱锥的体积为.63.（1）证明：过点做，垂足为，连接，由可证出，所以即.又，，所以平面.又平面，所以.（2）在图1中，过点作，垂足为，连接.因为平面平面，所以面，又，所以由三垂线定理知.因此为二面角的平面角.在中，.由知，，因此，从而得，即二面角的正弦值为.64.（1）证明:连接，设，连接.∵，∴.又为的中点，∴.∴平面，∴.∵，∴.又四边形是平行四边形，则四边形为矩形.（2）解：由，可得，∴.由平面，可得平面平面，且交线为.过点作，垂足为点，则平面.因为平面,∴，即.在中，可得.所以四棱柱的体积为.65.（1）在长方形中，因为，是的中点，所以，从而，所以.又因为，，所以平面.（2）因为，所以，因为是的中点，所以，.设点到平面的距离为，由（1）知平面，因为，所以，所以，所以.66.证明（1）：如图，连接，因为是的中点，是的中点，………………1分所以在中，……………3分，………………5分所以………………6分（2）解：由等体积法，得因为是的中点，所以点到平面的距离是点到平面的距离的一半.………………8分如图，作交于点，由正三棱柱的性质可知，平面.设底面正三角形的边长，则三棱锥的高，…………10分所以，解得所以该正三棱柱的底面边长为.……………12分67.（1）证明：由四边形为菱形，，可得，为正三角形.因为M为的中点，所以.………2分又，因此.因为平面，平面，所以.而，所以平面.………………5分（2）连接、.由（Ⅰ）可知：平面.则为与平面所成的角.在中，，所以当最短时，最大，……………7分即当时，最大，此时，因此.又，所以，于是.…10分设点A到平面的距离为d，则由，得，所以，点A到平面的距离为…………12分68.（Ⅰ）证明：连接AC交BD于G，连接EG，∵，又，∴，∴PC∥EG，又EG平面EBD，PC平面EBD，∴PC∥平面EBD.……………6分（Ⅱ）∵PB⊥平面ABCD，∴AD⊥PB.又∵AD⊥AB，∴AD⊥平面EAB.作AH⊥BE于H，连接DH，则DH⊥BE，∴∠AHD是二面角A—BE—D的平面角.在△ABE中，AE=，由余弦定理可得BE=，由△ABE的面积得：AH=，∴tan∠AHD==，故二面角A—BE—D的正切值为.………………12分69.（1）见解析；（2）．试题分析：（1）通过证明平面内的平面，可证得平面平面.（2）利用，可求得所求体积.试题解析：（1）证明：如图，分别取，的中点，，连接，，，，则四边形为正方形，∴，∴，又，∴，∴平面，∴，∵，∴．又∵与为平面内的两条相交直线，∴平面，又平面，∴平面平面．（2）解：∵且，则由，知．∵，分别是，的中点，∴三棱锥与三棱锥的高均等于，∴，，又，∴．70.（1）由题意，平面，平面，可得，又△为等边三角形，点为边的中点，可得，与相交于点，则平面，平面，所以，平面平面．（2）因为△为直角三角形，，所以，由（1）可知，在直角三角形中， ，，可得，故，所以，三棱柱的体积为．71.（Ⅰ）证明：如图，连接.由题设可知，.∵，∴.而，，∴平面.∵平面，∴.（Ⅱ）如图，连接，.∵，又，，∴.又，∴平面，即平面.∴，.设点到平面的距离为，由，得，解得.∴点到平面的距离为.72.解：（1）连接，设与的交点为，则为的中点，连接，又是的中点，所以.又平面，平面，所以平面.（2）由，是的中点，所以，在直三棱柱中，，，所以，又，所以，，所以.设点到平面的距离为，因为的中点在平面上，故到平面的距离也为，三棱锥的体积，的面积，则，得，故点到平面的距离为.73.（Ⅰ）证明：如图，连接∵，都是正三角形，∴，设为的中点，∴，，在Rt中，，∴，∵为的中点，∴，在等腰中，，，∴，在中，，，，∵，∴，又∵，∴平面，又∵平面，∴平面平面．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，设点到平面的距离为，则，即，∴，∴点到平面的距离为．74.（1）取中点，连接，根据题意可知，四边形是边长为2的正方形，所以，易求得，所以，于是；而，所以平面，又因为，所以平面；（2）连接，则，由（1）可知平面平面，所以，所以．75.（Ⅰ）∵四边形是菱形，∴，又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，在中，，，设，计算得，，在梯形中，，，，，梯形的面积，∴四棱锥的体积为.（Ⅱ）在平面内作，且，连接交于，则点满足，证明如下：∵，，∴，且，且，∴四边形是平行四边形，∴，，又菱形中，，，∴，，∴四边形是平行四边形，∴，即，∵，∴，又，∴.76.（1）由已知得：所以∽所以，所以又因为，是的中点，所以所以平面，所以而，所以平面又平面，所以平面平面；（2）设三棱锥的高为，因为,所以，由，得：，所以，所以,由，得：，所以.77.（I）连接、相交于点.∵平面，而平面，∴∵四边形为菱形，∴∵，∴平面∵、分别为、的中点，∴，∴平面，而平面，∴(II）菱形中，，得.∵，∴，∵平面，即平面，∴显然，当点与点重合时，取得最大值2，此时且，，则∵是中点，所有到平面的距离等于到平面的距离，又∴，求得∴到平面的距离为.78.解：（1）∵是等边三角形，为的中点，∴，∴平面，得.①在侧面中，，，∴，∴，∴.②结合①②，又∵，∴平面，又∵平面，∴平面平面（2）中，易求，，得中，易求，得设三棱锥的体积为，点到平面的距离为.则，得，.79.（Ⅰ）因为，，所以四边形是平行四边形.所以因为平面，平面，