平面与平面垂直的判定定理

2.3.2平面与平面垂直的判定定理空间两个平面有平行、相交两种位置关系.对于两个平面平行，我们已作了全面的研究，对于两个平面相交，我们应从理论上有进一步的认识.在异面直线所成的角、直线与平面所成的角的学习过程中，我们将三维空间的角转化为二维空间的角，即平面角来刻画.接下来，我们同样来研究平面与平面的角度问题.两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的．在生产实践中，有许多问题也涉及到两个平面所成的角．如：修筑水坝时，为了使水坝坚固耐久，必须使水坝面和水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，也要根据需要，使卫星的轨道平面和地球的赤道平面成一定的角度.洪坝水平面(1)半平面的定义1.二面角的概念平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面．半平面半平面(2)二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱面面①平卧式：②直立式：llAB(3)二面角的画法和记法：1.二面角的概念面1－棱－面2点1－棱－点2二面角－l－二面角－AB－二面角C－AB－DABCD1.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？

直线a、b是异面直线,在空间任选一点O,分别引直线a'//a,b'//b,我们把相交直线a'和b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角。

2.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。

AOlB(4)二面角的平面角的定义A'B'O'1.二面角的概念以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.如图，

，则∠AOB成为二面角的平面角.

它的大小与点O的选取无关.二面角的平面角必须满足：③角的边都要垂直于二面角的棱①角的顶点在棱上②角的两边分别在两个面内lOAB[0。，180。](4)二面角的平面角的范围1.二面角的概念二面角的范围为：注1：

①当二面角的两个面合成一个平面时，规定二面角的大小为180°；②平面角是直角的二面角叫做直二面角，此时称两半平面所在的两个平面互相垂直.OAB①定义法②垂线法③作棱的垂面法一个平面垂直于二面角

-l-的棱

l，且与两半平面的交线分别是射线

OA、OB，O为垂足，则∠AOB为二面角

-l-的平面角．(5)二面角的平面角的作法：1.二面角的概念OABlOABoAB补充寻找平面角D端点中点寻找平面角中点EGF练习：指出下列各图中的二面角的平面角：BACDA’AB’C’CD’DB二面角B--B’C--AO二面角A--BC--DOEABCD21二面角B--AD--C11练习：900例正方体ABCD—A1B1C1D1中，

二面角B1-AA1-C1的大小为_____，

二面角B-AA1-D的大小为______，

二面角C1-BD-C的正切值是_______.45°90°练习练如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=2，BC=BB1=1，E为D1C1的中点，求二面角E－BD－C的大小的正切值．AA1BB1CC1DD1E思路分析：①找基面平面BCD②作基面的垂线过E作EF⊥CD于FF③作平面角作FG⊥BD于G，连结EGG解：过E作EF⊥CD于F，于是，∠EGF为二面角E－BD－C的平面角．∵BC=1，CD=2，而EF=1，在△EFG中∵ABCD－A1B1C1D1是长方体，∴EF⊥平面BCD，且F为CD中点，过F作FG⊥BD于G，连结EG，则EG⊥BD．（三垂线定理）∴M练习归纳：求角大小的步骤为：（1）找出或作出；（2）证明其符合定义；（3）计算.如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？思考2.平面与平面垂直的判定(1)定义法：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作(2)面面垂直的判定定理：

若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．②该定理作用：“线面垂直面面垂直”注2：①③应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线.aa例1

如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.PABOC例1

如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.线线垂直→线面垂直→面面垂直PABOC例2、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。求证：平面PAC平面PBD。证明：应用ABDPCO请问哪些平面互相垂直的,为什么?探究1：ABCD练习1.过平面α的一条垂线可作_____个平面与平面α垂直.2.过一点可作_____个平面与已知平面垂直.3.过平面α的一条斜线，可作____个平面与平面α垂直.4.过平面α的一条平行线可作____个平面与α垂直.一无数无数一back三、角度问题名称定义图形两条异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角及它的平面角直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a'、b'，并使a'//a，b'//b，我们把直线a'和b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。LαθoBAAαβLBO平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的