第八章 非正弦周期电路的分析

第八章非正弦周期电流电路的分析产生非正弦周期电流的原因：1、激励本身为非正弦周期函数；2、几个不同频率的正弦激励作用于同一线性电路；3、单一频率的正弦激励作用于非线性电路。对于周期性的激励，若满足狄里赫利条件，可以利用傅里叶级数分解为一系列不同频率的谐波分量。根据叠加定理，线性电路对非正弦周期性激励的稳态响应，等于组成激励信号的各谐波分量分别作用于电路时所产生的响应的叠加。而响应的每一谐波分量可用正弦稳态分析的相量法求得。

谐波分析法主要内容：

周期函数分解为傅里叶级数非正弦周期电流电路的计算非正弦周期量的有效值、平均功率§81周期函数的傅里叶级数展开式周期函数

f(t)=f(t+kT)(k=1,2,3,…)方波(a)0f(t)tTf(t)t0(b)T锯齿波(c)f(t)0t周期函数f(t)若满足狄里赫利条件:则f(t)可展开为傅里叶级数

(2)函数f(t)在任一周期内只有有限个极大值和极小值；

(3)函数f(t)在任一周期内只有有限个不连续点。

(1)函数f(t)在任一周期内绝对可积，即对于任意时刻t0，积分存在；

傅里叶级数展开基波(fundamentalwave)或一次谐波(firstharmonic)

n次谐波(n-thharmonic)常数项（直流分量）一次谐波二次谐波三次谐波具有对称性的周期函数的傅里叶级数展开式的特点：

(1)奇函数(oddfunction)：f(t)=

f(t)波形关于坐标原点对称(2)偶函数(evenfunction)：

f(t)=f(t)波形关于纵轴对称(3)奇谐波函数(oddharmonicfunction)：后半周对横轴的镜象是前半周的重复

奇谐波函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波值得指出：

一个周期函数是否具有半波对称性，仅决定于该函数的波形。但是，一个周期函数是否为奇函数或偶函数则不仅与该函数的波形有关，而且和时间起点的选择有关。§72线性电路对周期性激励的

稳态响应

步骤：1、将周期性激励分解为傅里叶级数；2、根据叠加定理，求每一谐波源单独作用于电路的响应；3、将各谐波激励所引起的时域响应叠加，即得线性电路对非正弦周期性激励的稳态响应。例1.图a为一个周期性矩形脉冲电流源，用它来激励图b所示电路已知：电路的参数为R=20,L=1mH,C=1000pF，求此电路的端电压u(t)。T=6.28

s，。解：(1)对周期激励电流进行谐波分析此函数波形具有偶函数对称性，故bn=0电流i(t)的傅里叶级数展开式为···0nω1Inω13ω15ω17ω1幅值频谱nω1ψn0π/2-π/2ω13ω15ω17ω1相角频谱1(2)计算电路对各次谐波的端口等效阻抗(3)求激励源的直流分量及各谐波分量单独作用时的电压响应基波电流单独作用时：直流分量单独作用时：当3次、5次、7次谐波单独作用时：(4)将响应的直流分量及各谐波分量的时间函数式相叠加，求出电压响应例2下图所示电路，已知ω=314rad/s,R1=R2=10,L1=0.106H，L2=0.0133H，C1=95.6μF，C2=159F，求i1(t)及i2(t)。解：1）直流分量电压单独作用2）基波分量电压单独作用L1与C1并联的等效导纳为L1与C1发生并联谐振，并联处相当于开路3）三次谐波分量电压单独作用L1与C1并联后与L2串联的等效阻抗为该串联支路发生串联谐振，相当于短路4）当直流分量和各次谐波分量共同作用时：注意

(1)当激励函数中的直流分量单独作用时，电容相当于开路，电感相当于短路。(2)当激励函数中的各谐波分量分别作用时，由于感抗与谐波次数成正比（XLn=nω1L），容抗与谐波次数成反比（XCn=1/nω1C）

，因而电路对不同频率的谐波所呈现的阻抗(或导纳)也必然不同。判断电路是否发生谐振(3)激励函数中各次谐波分别作用时求得的频域响应，必须变成时域响应才能进行叠加。也就是说，只能用各次谐波的时域函数进行加减，而不可用它们的相量进行加减。

谐波分析法所涉及的理论

1.傅里叶级数展开

2.相量分析

3.叠加原理

谐波分析法的注意事项电路中的感抗、容抗是频率的函数，应注意分析电路在某次谐波作用下是否发生谐振；2.应用叠加定理，响应的直流分量和各次谐波分量应在时域中进行叠加

§83非正弦周期电流和电压的有效值·平均功率

一.有效值

周期电流i(t)的有效值为（方均根）

二.非正弦周期电流电路中的平均功率

二端网络吸收的平均功率

非正弦周期电流电路的功率因数（λ）仍定义为平均功率（P）与视在功率（UI）之比，即非正弦周期电流和电压的有效值·平均功率类别定义式计算式有效值平均功率例1.

已知一无源二端口网络的端口电压和电流分别为

试求：(1)电压、电流的有效值；

(2)网络消耗的平均功率和网络的功率因数。解：

例2图示电路中，已知ω=10rad/s

(1)求电流源的端电压u(t)及其有效值；(2)求电流源发出的平均功率。解：

A）直流分量作用时B）基波分量作用时C）

二次谐波分量作用时（2）（1）例3图（a）所示电路中，已知电源u(t)是周期函数，波形如图（b）所示，L=1/2πmH，C=125/πμF。求：理想变压器原边电流i1(t)、输出电压u2及它们的有效值，电源发出的功率。(a)(b)解：

由图（b）知A）直流分量作用时B）基波分量作用时发生LC并联谐振课堂练习：求下图所示电路中各表读数(有效值)及电路吸收的功率。已知：

解：

A）直流分量作用时B）基波分量作用时L1、C1对基波发生并联谐振C）

二次谐波分量作用时L2、C2对二次谐波发生串联谐振*§86对称三相电路中的高次谐波

一、非正弦对称三相电压三相非正弦周期电压的波形相同，但在时间上依次滞后T/3周期。二、傅里叶级数展开由于三相发电机具有对称结构，所产生的电压属奇谐波函数，仅含有奇次谐波。当n＝1时，当n＝7、13、…、6k+1时，形成一组正序谐波当n＝3时，当n＝9、15、…、6k+3时，形成一组零序谐波当n＝5时，当n＝11、17、…、6k+5时，形成一组负序谐波正序谐波零序谐波负序谐波三、电路分析（注：三相对称电路）1.Y-Y三相四线制联接电路正序组分量零序组分量负序组分量线电压中无零序谐波相电压有效值线电压有效值电路求解思路：正序、零序、负序分量可取一相计算，推出其余两相

中线电流：2.Y-Y三相三线制联接电路中点电压即电源零序谐波，负载中不含零序谐波电流，也不含零序相电压和线电压就负载而言电源的各正序组和负序组相电压对称电路求解思路：正序、负序分量可取一相计算，推出其余两相

3.三相电源Δ联接各正序谐波及负序谐波电位升之和均等于零，而零序谐波电位升之和为每相三次谐波电位升的三倍，导致沿电源回路产生三次谐波电流