特征值和特征向量教学提纲

特征值和特征向量

定义6.2设A是n阶方阵,是参数,则行列式

称为方阵A的特征多项式.称det(EA)=0为方阵A的特征方程.A的特征值就是特征方程的解,n阶方阵A有n个特征值.A的属于特征值＝i的特征向量就是齐次线性方程组(iEA)x=0的所有非零解.的全部特征值和相应的特征向量.

解A的特征多项式为=(-1)[(-2)2-1]=(-1)2(-3)所以A的特征值为1=2=1,3=3.对1=2=1,解方程(E-A)x=0,由于例1求矩阵所以k1(k≠0)是属于1=2=1的全部特征向量.对3=3,解方程(3E-A)x=0,由于得同解方程:,基础解系为2=(-1,1,1)T.所以k2(k≠0)是属于3=3的全部特征向量.,基础解系为1=(0,0,1)T.得同解方程:的全部特征值和特征向量.

解A的特征多项式为=(-1)[(-2)2-1]=(-1)2(-3)所以A的特征值为1=2=1,3=3.对1=2=1,解方程(E-A)x=0,由于例2求矩阵所以属于1=2=1的全部特征向量为K11+k22(k1,k2不同时为0)对3=3,解方程(A-3E)x=0,由于得同解方程:,基础解系为3=(1,-1,1)T.所以k3(k≠0)是属于3=3的全部特征向量.,基础解系为1=(1,1,0)T,2=(0,0,1)T.得同解方程:

设方阵A可逆,且λ是A的特征值,证明λ≠0且1/λ是A-1的特征值.例3证首先证明λ≠0.用反证法:假设λ=0是A的特征值,则

再设是A的属于特征值λ的特征向量,则

A=λ

A-1

=1/λ

所以1/λ是A-1的特征值,而且与A有相同的特征向量.类似地,若λ是A的特征值,则λk是Ak的特征值.0E-A=-A=0,这与A可逆矛盾,故λ≠0.一般地,若λ是A的特征值,则(λ)=a0+a1+…+amm是(A)=a0E+a1A+…+amAm的特征值.解由于由于－1的倒数也是A－1的特征值，因此A*必有特征值：1所以，A*=－A－1

故，应选“B”。二.特征值和特征向量的性质由于=n-(a11+a22+…+ann)n-1+…+(-1)n|A|利用多项式方程根与系数的关系可得:

定理6.1设1,2,…,n是n阶方阵A的全部特征值,则1+2+…+n=a11+a22+…+ann12…n=detA

定理6.2设1,2,…,s是方阵A的互异特征值,1,2,…,s是分别属于它们的特征向量,那么1,2,…,s线性无关.

证明设x11+x22+…+xss=0类似地有:则,A(x11+x22+…+xss)=0,

即1x11+2x22+…+sxss=01kx11+2kx22+…+skxss=0(k=0,1,…,s-1),即所以有(x11,x22,…,xss)=(0,0,…,0)

定理6.3设1,2是A的两个互异特征值,1,2,…,s和1,2,…,t分别是属于1,2的线性无关的特征向量,则1,2,…,s,1,2,…,t线性无关.即,xjj=0,

但j0,故xj=0,(j=1,2,…,s)所以向量组1,2,…,s线性无关.

证明设k11+k22+…+kss+l11+l22+…+ltt=0,=k11+k22+…+kss,=l11+l22+…+ltt。则+=0而,是属于不同特征值1,2的特征向量,根据定理6.2，必有==0,即k1=k2=…=ks=l1=l2=…=lt=0,线性无关.例4解由于A的特征值都不为0,故A可逆.并且|A|=1

2

3=

-2，

A*=AA－1=－2A－1.

设3阶方阵A的特征值为1,-1,2,求|A*+3A-2E|.

A*+3A-2E=-2A-1+3A-2E＝B的3个特征值为μ1＝－21-1+31－21=－1

,μ2＝－3，μ3＝3,于是|A*+3A-2E|=μ1

μ2

μ3=(-1)(-3)3=9例求矩阵A和AT的特征值的关系。解。A的特征值满足|E-A|=0，AT的特征值满足|E-AT|=0,而|E-AT|=|(E-A)T|＝|E-A|=0，所以矩阵A和AT有相同的特征值。对A进行运算P-1AP=B称为对A进行相似变换,可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.§2相似矩阵定义6.3设A,B都是n阶方阵,若存在可逆矩阵P,使

一.相似矩阵的定义和性质矩阵的相似关系具有下述性质:(ⅰ)反身性:A~A;(ⅱ)对称性:若A~B,则B~A;(ⅲ)传递性:若A~B,B~C,则A~C.P-1AP=B则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似.A与B相似记作A~B.定理6.4相似矩阵有相同的特征值.证若矩阵A与B相似,则存在矩阵P,使P-1AP=B,故注意:定理6.4的逆命题不成立.例如矩阵

E-B=P-1(E)P-P-1AP=P-1(E-A)P=P-1E-AP=E-A的特征多项式都是(-1)2,但它们不相似.二.与对角矩阵相似的条件假设n阶方阵A与对角矩阵相似.也就是存在可逆矩阵P,使得P-1AP=即AP=P记P=(1,2,…,n),则有(A1,A2,…,An)=(11,22,…,nn)即可见,矩阵A与对角矩阵相似,则A有n个线性无关的特征向量.Ai=ii,i=1,2,…,n因为矩阵P可逆,所以1,2,…,n线性无关,故i0,于是i是矩阵A属于特征值i的特征向量.反之,设A有n个线性无关的特征向量1,2,…,n,且Ai=ii,i=1,2,…,n,令P=(1,2,…,n),则P可逆,且

AP=(A1,A2,…,An)=(11,22,…,nn)=P即,P-1AP=,也就是说矩阵A与对角矩阵相似.

定理6.5n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量.可见,前面的分析不但证明了定理6.5,还给出了相似变换矩阵P和对角矩阵的求法：例：在例2中的矩阵由于其3个特征值为1=2=1,3=3.对应的特征向量:1=(1,1,0)T,2=(0,0,1)T,3=(1,-1,1)T线性无关,所以A的n个线性无关的特征向量作为列向量构成的矩阵P为相似变换矩阵A的n个特征值作为对角元构成了相应的对角矩阵。相似变换矩阵P=(1,2,3)=事实上P的逆矩阵为与A相似的对角矩阵为对角矩阵

解由于所以，应选“A”.

推论若n阶矩阵A有n个互异特征值,则A与对角矩阵相似.若A=P-1P,则有:注意,若矩阵A与对角矩阵Λ相似,则Λ的对角线元素恰是A的n个特征值,故如不计对角线上元素的顺序,则与A相似的对角矩阵是唯一的.Ak=P-1ΛkP,(A)=P-1(Λ)P而且有:

例5设求A50.

解矩阵A的特征多项式为=(λ+1)2(λ-2)可见,A的特征值是λ1=λ2=-1,λ3=2.对于特征值λ1=λ2=-1,由于所以,齐次线性方程组(-E-A)x=0的一个基础解系为:1=(1,2,0)T,2=(0,0,1)T.1,2就是属于特征值λ1=λ2=-1的线性无关的特征向量.可见属于特征值λ3=2的一个特征向量为3=(3,3,1)T.对于特征值λ3=2,由于令则有所以有即定理6.6矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是：对A的任意特征值(重数为k),属于的线性无关的特征向量有k个.§3实对称矩阵的相似对角化一.实对称矩阵的特征值和特征向量的性质

设矩阵A=(aij),用aij表示aij的共轭复数,记A=(aij)称A为A的共轭矩阵.显然,A为实矩阵时,A=A.共轭矩阵具有下列性质:其中是常数;定理6.7实对称矩阵的特征值都是实数.证设λ为实对称矩阵A的特征值,是属于λ的特征向量,则有由于AT=A,A=A,故有于是有由于0,所以T0,因此,即是实数.显然,实对称矩阵的特征向量都可以取为实向量.定理6.8实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的.证设1,2是实对称矩阵A的特征值,1,2分别是属于它们的特征向量,则有而且由于12,所以2T1=0,即1,2正交.于是二.实对称矩阵正交相似于对角矩阵定理6.9设A是实对称矩阵,则必存在正交矩阵Q,使得QTAQ＝Q－1AQ为对角矩阵.

证n=1时显然成立,设对n-1阶矩阵定理结论成立.于是有再取2,3,…,n使1,2,…,n为Rn的一组规范正交基.取n阶实对称矩阵A的任一特征值1,和属于1的特征向量1,(取1为单位向量).A(1,2,…,n)=(A1,A2,…,An)

=(11,A2,…,An)

=(1,2,…,n)

记Q1=(1,2,…,n),则Q1为正交矩阵,且有(Q1－1=QT)B是n-1阶实对称矩阵,由假设,存在n-1阶正交矩阵P,使得取n阶正交矩阵Q1TAQ1=＝（利用A的对称性）则有即,Q2T

Q1TAQ1Q2为对角矩阵.显然Q=Q1Q2是正交矩阵,定理结论成立.Q2T

Q1TAQ1Q2＝三.实对称矩阵正交相似对角化的方法

用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的步骤如下:(1)求出A的全部特征值;(2)对每个特征值,若其重数为k,求出其k个线性无关的特征向量.

(5)写出对角矩