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第2章点、直线、平面的投影2.1点的投影2.2直

线

的

投

影

2.3平

面

的

投

影

2.4直线与平面及两平面之间的相对位置

2.5换面法1整理ppt2.1点的投影2.1.1点在两投影面体系中的投影

2.1.2点在三面投影体系中的投影

2.1.3特殊位置点的投影

2.1.4两点的相对位置和重影点

2整理ppt2.1.1点在两投影面体系中的投影1、两投影面体系的组成HV(1)两个互相垂直的投影面◆正立投影面（简称正投影面或V面）◆水平投影面（简称水平面或H面）(2)投影轴OXOX轴:V面与H面的交线两个投影面互相直V面和H面把空间分成四个部分，依次用I、II、III、IV表示,，分别称它们为第一、二、三、四分角。

(3)分角3整理ppt2.1.1点在两投影面体系中的投影2、点的两面投影图

HVOXa点A的正面投影a

点A的水平投影注意：空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。a●a●

A●立体图ax4整理ppt投影面展开●●●XOVHAaaxa向下翻不动H●aV●axaXO2、点的两面投影图

3、点的两面投影特性

（1）点的投影连线垂直于投影轴。即a´a⊥OX.

（2）点的投影与投影轴的距离,等于该点与相邻投影面的距离。即axa′=aAaxa=a'A●aXO●a2.1.1点在两投影面体系中的投影5整理ppt

2.1.2点在三面投影体系中的投影

1、三投影面体系的组成W投影面◆正立投影面（简称正投影面或V面）◆水平投影面（简称水平面或H面）◆侧立投影面（简称侧面或W面）投影轴HVOXZOX轴V面与H面的交线OZ轴V面与W面的交线OY轴H面与W面的交线三个投影面互相垂直Y分角H、V、W把空间分为8个区域，分别称为8个分角。

6整理ppt2、点的三面投影图WHVOXZYa点A的正面投影a

点A的水平投影a

点A的侧面投影注意：空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。a●a●a●

A●立体图axazaY7整理ppt2、点的三面投影图●●●●XYZOVHWAaaaxaazay向右翻向下翻不动投影面展开VWHaYHa●x●●azZaaaYWaXYH

YWO

8整理ppt2、点的三面投影●●●●XYZOVHWAaaaxaazayWVHaa●x●●azZaaYHaYWaXYHYWO

●●●aZaaXYH

YWO

投影面展开投影图9整理ppt2、点的三面投影图●●●●XYZOVHWAaaaxaazayZaa●x●●azZaaYHaYWaXYH

YWO

(xA,yA,zA)xAyAzAyA3、点的投影规律①aa⊥OX轴yA(oayH=oayw)=aax=

zA(oaz)=aax=②xA(oax)=aayH=

aa⊥OZ轴=Aa（A到V面的距离）aaz=Aa（A到W面的距离）aayw=Aa（A到H面的距离）aazz10整理ppt3、点的投影规律●●●●XYZOVHWAaaaxaazayZaa●x●●azZaaYHaYWaXYH

YWO

(xA,yA,zA)xAyAzAyA（1）点的投影连线垂直于投影轴。(注意aa“)（2）点的投影到投影轴的距离，等于点的坐标，也就是该点与对应的相邻投影面的距离。11整理ppt【例2.1】

已知点的正面投影和水平投影,试求其侧面投影

【例2.2】

已知点A（10、8、12），求点A的三面投影。

12整理pptZXOa'a"aYHYWb’’b’’bb’c’cc’’练习1已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影13整理ppt

2.1.3特殊位置点的投影

1.投影面上的点的投影

2.投影轴上的点的投影14整理ppt练习2：已知点的坐标求三面投影15整理ppt练习2：题解c"16整理ppt

2.1.4两点的相对位置和重影点

1.两点的相对位置（1）绝对座标法：空间点对原点的坐标。（2）相对座标法：两点的相对坐标，即两点坐标差。XOZYa

a

ab

b

bBAyA-yBxAyAzAxA-xBzA-zBXZYWYHOaa

axAyAzA17整理ppt2.1.3特殊位置点的投影（1）绝对座标法：空间点对原点的坐标。（2）相对座标法：两点的相对坐标，即两点坐标差。XZYWYHOaa

ab

bb

xA-xByA-yBzA-zB两点中X值大的点——在左两点中Y值大的点——在前两点中Z值大的点——在上XOZYa

a

ab

b

bBAyA-yBxAyAzAxA-xBzA-zB18整理ppt2.1.3特殊位置点的投影XZYWYHOaa

ab

bb

xA-xByA-yBzA-zB需要注意的是：

XOZYa

a

ab

b

bBAyA-yBxAyAzAxA-xBzA-zB1）对水平投影而言，由ox轴向下就代表向前；对侧面投影而言，由oz轴向右也代表向前。2）已知两点的相对位置，只要知道其中一点的位置，另一点的位置随之就能确定。

19整理ppt

2.1.4两点的相对位置和重影点

2.重影点及其可见性当两点的某两个坐标相同时，该两点将处于同一投影线上，因而对某一投影面具有重合的投影，则这两点称为对该投影面的重影点。重影点的可见性判别方法：对于V–––前遮后；对于H–––上遮下,对于W–––左遮右。20整理ppta'a"aXZYWYHOb'bb"895练习3已知A点在B点前方5毫米，上方9毫米，右方8毫米，求A点的投影。21整理ppt练习4：两点的相对位置22整理ppt练习4：题解23整理ppt练习5：重影点及投影可见性24整理ppt练习5：题解25整理ppt2.2直线的投影2.2.1直线及直线上点的投影特性

2.2.2各种位置直线的投影特性2.2.3

两直线的相对位置2.2.4直角投影定理2.2.5用直角三角形法求直线实长及其对投影面的倾角26整理ppt2.2.1直线及直线上点的投影特性

1、直线的投影：

可以看做是直线上所有点的投影集合。

aa

abbb●●●●●●

将直线上两点的同名投影用直线连接就得到直线的同名投影。

2、直线的投影特性

BA●●●●ab直线垂直于投影面投影重合为一点积聚性直线平行于投影面投影反映线段实长

ab=AB直线倾斜于投影面投影比空间线段短

ab=AB.cos●●AB●●abAMB●a≡b≡m●●●从几何角度看，直线的投影：是过直线上各点向投影面作投射线，其诸投射线所形成的平面与投影面的交线。

27整理ppt2.2.1

直线及直线上点的投影特性

3、直线上点的投影特性cacXabcYYbOaZb′″′′″″cAHacaVbBabcCbW′′′″″″

（1）若点在直线上,则点的投影必在直线的同面投影上。

（2）直线上的点分割直线段之比，等于投影后分割直线段之比。即：AC:CB=ac:cb=ac:cb=ac:cb定比定理28整理ppt【例2.4】已知线段AB的投影图，作出分线段AB为AC:CB=1:4的点的两面投影。cc’1.任作一直线并五等分2.作相似形定出C点的水平投影c3.求出C点的正面投影c’xoa’b’abB。c。29整理ppt2.2.2各种位置直线的投影特性直线按与投影面相对位置分为三类：

投影面平行线只平行于一个投影面投影面垂直线正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面）正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面30整理ppt2.2.2各种位置直线的投影特性1、投影面的平行线投影特性：γβXZ″baaabbOYHYW′′″水平线实长（1）在它所平行投影面上的投影反映真长，它与相应投影轴的夹角，分别反映与相应的投影面的夹角。（2）另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，且小于真长。VHabAaaγβBbbWβγ′′″″直线与投影面夹角的表示法：与H面的夹角:

与V面的夹角:β与W面的夹角:γ31整理pptWHVOXZY1、投影面平行线正平线Xabab

baOZYHYW

投影特性：1．ab=AB。反映、角的真实大小

2．ab平行于

OX;ab平行于

OZ。

aababbAB32整理ppt1、投影面平行线侧平线aa

b

a

bbABWHVOXZY投影特性：1．ab

=AB;反映、角的真实大小

2．ab平行于

OZ;ab平行于

OYH。aa

b

a

bbABXZa

b

bbaOYHYWa33整理ppt练习判断下列直线是什么位置的直线？侧平线正平线实长β实长γbaababbaabba34整理ppt2、投影面垂直线

铅垂线正垂线侧垂线（2）另外两个投影，平行于相应投影轴,且反映真长。（1）在其垂直的投影面上积聚成一点。投影特性:●aba(b)ab●c(d)cddc●efefe(f)注：“相应”可理解为：是指与该垂线平行的投影轴或坐标轴。35整理ppt3、一般位置直线（投影面倾斜线）

ZYaOXabbaYb"

1、三个投影都倾斜于投影轴；投影特性HaβγaAbVBbWab2、三个投影的长度都小于真长；3、三个投影与投影轴的夹角都不反映直线与投影面倾角。36整理ppt2.2.3两直线的相对位置1、平行两直线投影特性

空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉（异面）。

空间两直线平行，则其各三对同面投影必相互平行，反之亦然。bcdHAdaCcVaDbBacdbcdabOX37整理ppt2.2.3两直线的相对位置2、相交两直线投影特性

若空间两直线相交，则其三对同面投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影特性。交点是两直线的共有点acVXbHDacdkCAkKdbOBcabd

bacdkk38整理ppt2.2.3两直线的相对位置accAaCVbHddDBb′′′′cacabddbOX′′′′1(2)●2●′1●′交叉直线既不符合平行两直线投影特性，又不符合相交两直线投影特性。★“交点”是两直线上的一对重影点的投影。211(2)ⅡⅠ′′●●●●●′′Ⅳ43(4)3Ⅲ●●●●●●3(4)34●●′′3、交叉两直线投影特性39整理ppt

【例2.4】判断两侧平线的相对位置。

40整理ppt2.2.4直角定理

空间两直线成直角(相交或交叉)，若两边都与某一投影面倾斜,则在该投影面上的投影不是直角。如若是一边平行于某一投影面的直角，则在该投影面上的投影仍是直角。此投影特性称为直角投影定理。

需要说明的是：1）空间直线为交叉垂直时，直角投影定理仍然成立。2）当直角的另一边也平行于该投影面时,在该投影面上的投影也是直角；当直角的另一边垂直于该投影面时,在该投影面上的投影成为一直线。是其两个特例。如图3-23所示。已知AB⊥BC，AB∥H面，BC倾斜于H面。∵AB∥H面，Bb⊥H面，∴AB⊥Bb，又∵AB⊥BC，∴AB垂直于BC和Bb所决定的平面BCcb。又∵ab∥AB，∴ab⊥平面BCcb，则有ab⊥bc，即∠abc为直角。41整理ppt2.2.4直角定理

利用直角投影定理可以解决许多有关垂直、求距离的作图问题。【例2.5】如图2.22(a)，求点K到正平线AB的距离KC的投影。

作图:1）如图2.22(b)，由k′作k′c′⊥a′b′，与a′b′相交得C点正面投影c′。

2）C点在AB上，依据点的投影规律求得C点水平面投影c；连接k′c′、kc即为KC的两面投影。42整理ppt2.2.5用直角三角形法求直线实长及其对投影面的倾角特殊位置直线在三面投影中能直接反映其实长及对投影面的倾角,而一般位置直线则不能直接反映。但可用直角三角形法求作一般位置直线的实长和倾角。如图2.23(a)所示，已知一般位置直线AB的两面投影，确定AB的实长和倾角α，其作图过程如图2.23(b)所示：

作图:1）在正面投影中，由b′作水平线,作出直线AB两端点与H面的距离差ZA-ZB。

2）以ab为一直角边，由a作ab的垂线，在此垂线上量取am=ZA-ZB。3)连b和m，bm即为直线AB的实长，∠abm即为AB的真实倾角α。

43整理ppt2.2.5用直角三角形法求直线实长及其对投影面的倾角因此，用直角三角形法求直线实长与倾角的方法是：以直线在某一投影面上的投影为底边,以直线的两端点与这个投影面的距离差为高,形成一个直角三角形。其斜边是直线的实长,斜边与底边的夹角就是该直线对这个投影面的倾角。44整理ppt2.2.5用直角三角形法求直线实长及其对投影面的倾角【例2.6】如图2.24(a)，求点K到正平线AB的距离。作图：1）作K点到正平线AB的距离KC的两面投影如【例2.5】，得图2.24(b)。2）如图2.24(c)在图2.24(b)基础上，过c′作k′k垂线c′m′交k′k于m′。3）由c作kc的垂线，并在其上截取cm0，使cm0=k′m′，连接k和m0，km0即为点K到正平线AB的距离。45整理ppt2.3平面的投影2.3.1平面的投影表示法

2.3.2各种位置的平面及其投影特性

2.3.3平面上的点和直线

46整理ppt2.3.1平面的表示方法1、用几何元素表示不在同一直线上的三个点直线及线外一点abcabc●●●●●●d●d●两平行直线abcabc●●●●●●两相交直线平面图形c●●●abcab●●●c●●●●●●ababcb●●●●●●acabc47整理ppt2.3.1平面的表示方法

2、用迹线表示WHVOXZYP（1）迹线：平面与投影面的交线。（3）迹线平面：

用迹线表示的平面称为迹线平面。（2）迹线分为：

正面迹线PV—与V面交线水平迹线PH—与H面交线侧面迹线PW—与W面交线OXZYWYHPVPWPH（4）一般位置的平面迹线的投影特性：

1）在三个投影面上都有迹线，每条迹线都没有积聚性，都与投影轴倾斜。

2）每两条迹线分别相交于相应的投影轴上的同一点，由其中的任意两条迹线即可表示这个平面。

PVPWPH48整理ppt2、用迹线表示（5）迹线表示平面的优缺点：

1）优点：用迹线表示平面容易想象空间位置。有利于研究问题。

2）缺点:有时也不方便。OXZYWYHPVPWPHWHVOXZYPPVPWPH49整理ppt2.3.2各种位置的平面及其投影特性

平面对于投影面的位置可分为三类：投影面垂直面投影面平行面一般位置平面特殊位置平面只垂直于一个投影面平行于一个投影面的平面与三个投影面都倾斜正垂面侧垂面铅垂面正平面侧平面水平面50整理ppt1、投影面垂直面（1）铅垂面Ｐ垂直面的投影特性是：

（1）在所垂直的投影面上的投影，积聚成直线；该投影与投影轴的夹角，分别反映平面与相应投影面的夹角。

（2）在另两投影面上的投影具有类似性。βγpp″p′WHVOXZYβγ51整理ppt1、投影面垂直面（2）正垂面Ｑ的投影qq″q′WHVOXZYＱq″q′qααγγαγ52整理ppt1、投影面垂直面（3）侧垂面R的投影r″rr′WHVOXZYＲr″r′αββαqβα53整理ppt2、投影面平行面（1）水平面ＱqＱq″q′q′qq″平行面投影特性

（1）在它所平行的投影面上投影反映实形。

（2）其另外两个投影积聚成直线，且平行于相应的投影轴。

54整理ppt2、投影面平行面（2）正平面Ｐ55整理pptWHVOXZY2、投影面平行面（3）侧平面Ｒ的投影r′r″rＲr″r′r56整理ppt3、一般位置的平面投影特性：三个面都是平面图形，且面积缩小YW

c′

cＸOaYHＺb

a′b′

a〞

b〞

c〞WHVOXZY

a′

c′b′a

cb

b〞

a〞

c〞ABC57整理ppt2.3.3平面上的点和直线1、点在平面上的几何条件ABCDEabcabcddee点在平面上的几何条件是：该点在这个平面内的某一条直线上。58整理ppt2.3.3平面上的点和直线2、直线在平面上的几何条件●●MNAB●nbbacacmmnn（1）直线通过这个平面上的两个点；（2）或者直线通过这个平面上的一个点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。adcnnbdacb59整理ppt【例2.7】

如图2.31（a）正方形ABCD处于正垂面，已知其左下边AB的两面投影，α=30º，补全其两面投影。

1)作正方形ABCD的正面投影：如图2.31（b），过AB边的正面投影a′(b′)作与OX轴成30º角的射线，与以a′(b′)为圆心以ab长为半径的圆弧相交于一点，（正方形ABCD处于正垂面位置，且α=30º这样的正垂面有两个）此点即是CD边的正面投影c′(d′)。60整理ppt【例2.7】

如图2.31（a）正方形ABCD处于正垂面，已知其左下边AB的两面投影，α=30º，补全其两面投影。

2）作正方形ABCD的水平投影：分别过a、b作OX轴的平行线，与过点c′、d′作OX轴的垂直线分别交于c、d。连接ac、cd、db得正方形ABCD水平投影。3）最后，整理作图线，得正方形ABCD的两面投影如图2.31（c）

61整理pptee(1)●abcabkck●

【例2.8】如图2.32（a）判断点K、直线AM是否

在△ABC上。

（1）判断点K是否在△ABC上。作图：如图2.32（b）假设K点在△ABC上，作AK的正面投影，即连接a′k′,并延长之与b′c′交于e′。

2)

由a′e′作出其水平投影ae。由于点K的水平投影k在ae上，说明点K在△ABC的直线AE上，即K点在△ABC上。62整理pptmm’【例2.8】如图2.32（a）判断点K、直线AM是否

在△ABC上。h'h(2)abcabc（2）判断直线AM是否在△ABC上。分析：根据直线在平面上的几何条件，直线在平面上，直线通过这个平面上的两个点。不难看出点A在△ABC面上，只要判断M点是否在△ABC平面上就可判断出AM是否在△ABC面上。于是问题转化为第一问。作图：如图2.32（b）方法同第一问,只是先作AM的水平投影am，由af作a′e′。判断结果是：直线AM不在△ABC上。63整理ppt【例2.9】

如图2.33（a）已知平面四边形ABCD的正面投影及AB、AD边的水平投影，补全其水平投影；并在其上取一点M，使M在H面之上15mm，在V面之前30mm。分析：由图2.33（a）可知，只要作出C点的水平投影c，然后顺次连接bcd即可。由于ABCD是平面四边形，所以，AC、BD必相交一点K，连接AK，C点在AK上，可求C点的水平投影。64整理ppt【例2.9】

如图2.33（a）已知平面四边形ABCD的正面投影及AB、AD边的水平投影，补全其水平投影；并在其上取一点M，使M在H面之上15mm，在V面之前30mm。作图：1）如图2.33（b）分别连接a′c′、b′d′其交点为平面四边形ABCD对角线AC、BD交点K的V面投影k′，2）连接bd,过k′作OX轴垂线，与bd相交，得AC和BD的交点K的水平面投影k。

65整理ppt【例2.9】

如图2.33（a）已知平面四边形ABCD的正面投影及AB、AD边的水平投影，补全其水平投影；并在其上取一点M，使M在H面之上15mm，在V面之前30mm。作图：3）连接ak,并延长，与过c′作OX轴垂线相交，得C点的水平面投影c。

4）顺次连接bcd得平面四边形ABCD水平投影abcd。

66整理ppt【例2.9】

如图2.33（a）已知平面四边形ABCD的正面投影及AB、AD边的水平投影，补全其水平投影；并在其上取一点M，使M在H面之上15mm，在V面之前30mm。(2)在其上取一点M分析：如图2.33（c），M在H面之上15mm，它一定在平面ABCD内距离水平面15mm的水平线EF上；M在V面之前30mm,所以，它也在平面ABCD内距离V面30mm的正平线GH上，直线EF、GH的交点即是所要求的M点。67整理ppt【例2.9】

如图2.33（a）已知平面四边形ABCD的正面投影及AB、AD边的水平投影，补全其水平投影；并在其上取一点M，使M在H面之上15mm，在V面之前30mm。(2)在其上取一点M作图：1）作位于平面ABCD内距离水平面15mm的水平线EF的正面投影e′f′和水平投影ef.68整理ppt【例2.9】

如图2.33（a）已知平面四边形ABCD的正面投影及AB、AD边的水平投影，补全其水平投影；并在其上取一点M，使M在H面之上15mm，在V面之前30mm。(2)在其上取一点M作图：2）作位于平面ABCD内距离正面30mm的正平线GH的水平投影gh和正面投影g′h′.69整理ppt【例2.9】

如图2.33（a）已知平面四边形ABCD的正面投影及AB、AD边的水平投影，补全其水平投影；并在其上取一点M，使M在H面之上15mm，在V面之前30mm。(2)在其上取一点M作图：3)e′f′和g′h′交点m′，ef和gh的交点m，分别为所要求的M点的正面投影和水平投影。70整理ppt2.4直线与平面及两平面之间的相对位置2.4.l平行问题

2.4.2相交问题

2.4.3垂直问题

71整理ppt2.4.l平行问题

1.直线与平面平行当直线与垂直于投影面的平面平行时，直线的投影平行于平面的有积聚性的同面投影，或者，直线、平面在同一投影面上的投影都有积聚性。对于一般位置的直线，如平面外的一条直线与平面内的某直线平行，则该直线与平面平行。

72整理ppt2.4.l平行问题

2.平面与平面平行【例2.10】如图2.36（a），已知△ABC所确定平面及平面外一点K的两面投影，（1）过K点作正平线平行于△ABC所确定平面；（2）过K点作一平面平行于△ABC所确定平面。由初等几何可知，若一平面内的两相交直线平行于另一平面内的两相交直线，则两平面相互平行。73整理ppt2.4.l平行问题

【例2.10】如图2.36（a），已知△ABC所确定平面及平面外一点K的两面投影，（1）过K点作正平线平行于△ABC所确定平面；（2）过K点作一平面平行于△ABC所确定平面。（1）过K点作正平线平行于△ABC所确定平面分析：当直线平行于某平面时，该直线必平行于该平面内的一条直线，因此，在△ABC内作正平线BD，然后过K点作BD的平行线KE，KE即为所求。74整理ppt2.4.l平行问题

【例2.10】如图2.36（a），已知△ABC所确定平面及平面外一点K的两面投影，（1）过K点作正平线平行于△ABC所确定平面；（2）过K点作一平面平行于△ABC所确定平面。（1）过K点作正平线平行于△ABC所确定平面作图：

1）如图2.36（b）所示，过b作bd平行于OX轴交ac于d，按投影特性作bd的正面投影b′d′，得△ABC内正平线BD的两面投影。2）作直线ke∥bd，k′e′∥b′d′，得直线KE的两面投影。75整理ppt2.4.l平行问题

【例2.10】如图2.36（a），已知△ABC所确定平面及平面外一点K的两面投影，（1）过K点作正平线平行于△ABC所确定平面；（2）过K点作一平面平行于△ABC所确定平面。（2）过K点作一平面平行于△ABC所确定平面分析：根据两平面平行的几何条件，可过K点作两条直线分别平行于△ABC内两条直线，此两条直线所确定的平面即为所求的平面76整理ppt2.4.l平行问题

【例2.10】如图2.36（a），已知△ABC所确定平面及平面外一点K的两面投影，（1）过K点作正平线平行于△ABC所确定平面；（2）过K点作一平面平行于△ABC所确定平面。（2）过K点作一平面平行于△ABC所确定平面作图：

如图2.36（c）所示，过k分别作kf∥bc，kg∥ac，按投影特性由kf、kg作出其正面投影k′f′∥b′c′,k′g′∥a′c′得过K点的直线KF、KG的两面投影。KF、KG所确定的平面即为所求。77整理ppt2.4.l平行问题

【例2.10】如图2.36（a），已知△ABC所确定平面及平面外一点K的两面投影，（1）过K点作正平线平行于△ABC所确定平面；（2）过K点作一平面平行于△ABC所确定平面。（2）过K点作一平面平行于△ABC所确定平面作图：

如图2.36（c）所示，过k分别作kf∥bc，kg∥ac，按投影特性由kf、kg作出其正面投影k′f′∥b′c′,k′g′∥a′c′得过K点的直线KF、KG的两面投影。KF、KG所确定的平面即为所求。78整理ppt2.4.2相交问题

1.直线与平面相交在直线与平面、平面与平面的相对位置中，凡不符合平行几何条件的，则必然相交。以下讨论直线或平面处于特殊位置，即直线或平面垂直于投影面情况下，此时，直线与平面、平面与平面相交所具有的投影特点。1）直线与垂直于投影面的平面相交79整理ppt2.4.2相交问题

1.直线与平面相交80整理ppt2.4.2相交问题

1）平面与投影面垂直面相交a′a

bd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′1(2)′′

平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m、n

即为两个共有点的水平投影，故mn即为交线MN的水平投影。①

求交线②

判别可见性

点Ⅰ在MC上，点Ⅱ在FH上，点Ⅰ在前，点Ⅱ在后，故mc

可见。作图2●1●m′●m●n●●n′●2.平面与平面相交81整理ppt2.4.2相交问题

2.平面与平面相交2）两个与投影面垂直的平面相交可通过正面投影直观地进行判别。abcdefcfdbeam(n)空间及投影分析

平面ABC与DEF都为正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX轴。①求交线②判别可见性作图

从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。n●m●●能!如何判别？例：求两平面的交线MN并判别可见性。能否不用重影点判别？82整理ppt2.4.3垂直问题

垂直是相交的特殊情况，本节只讨论直线或平面垂直于投影面时，直线和平面及两平面之间的垂直问题。1.直线与平面垂直1)当直线与垂直于投影面的平面相垂直时，直线一定平行与该平面所垂直的投影面，而且直线的投影垂直于平面的有积聚性的同面投影。如图2.41所示，直线MN垂直于铅垂面△ABC，则MN一定是水平线，且mn⊥abc。83整理ppt2.4.3垂直问题

垂直是相交的特殊情况，本节只讨论直线或平面垂直于投影面时，直线和平面及两平面之间的垂直问题。1.直线与平面垂直2)当平面与投影面垂直线相垂直时，平面一定平行于该直线所垂直的投影面，且在其它投影面的投影垂直于该直线的投影。如图2.42所示，平面△ABC垂直于铅垂线MN，所以，平面△ABC一定平行于水平面，且m′n′⊥a′b′c′。84整理ppt2.4.3垂直问题

2.平面与平面垂直若空间两平面垂直相交，且两平面都垂直与一个投影面时，两平面的积聚性投影一定互相垂直，且交线为该投影面的垂直线。如图2.43所示，铅垂面□ABCD和铅垂面□CDEF互相垂直，因此，它们的水平面有积聚性投影互相垂直，其交线CD为铅垂线。85整理ppt2.5换面法

2.5.1换面法的基本概念

2.5.2点的投影换面规律

2.5.3换面法的基本作图2.5.4换面法的解题举例86整理ppt2.5.1换面法的基本概念

当几何元素在两个互相垂直的投影面体系中对某一投影面处于特殊位置时,可以直接利用一些投影特性求解几何元素的图示和图解问题。但是若几何元素在两投影面体系中不处于这样的特殊位置,则需变换投影面。像上述这样几何元素在两投影面体系中不处于特殊位置时,可以保留一个投影面，用垂直于被保留的投影面的新投影面更换另一投影面,组成一个新的两投影面体系，使几何元素在新投影面体系中对新投影面处于便利解题的特殊位置，在新投影面体系中作图求解，这种方法称为变换投影面法，简称换面法。87整理ppt2.5.1换面法的基本概念

当几何元素在两个互相垂直的投影面体系中对某一投影面处于特殊位置时,可以直接利用一些投影特性求解几何元素的图示和图解问题。但是若几何元素在两投影面体系中不处于这样的特殊位置,则需变换投影面。应用换面法解题时应遵循下列两条原则：（1）新投影面应选择在新投影面体系中使几何元素处于便利解题的位置。

（2）新投影面必须垂直于原投影面体系中的一个投影面,并与它组成新投影面体系。必要时可连续交替变换。88整理ppt2.5.2点的投影换面规律点是最基本的几何元素。要学会运用换面法解决问题，首先应该掌握点的投影变换规律。1.点的一次换面VHXX1a1'ax1V1V1HX1(1)点的新投影和保留的投影面原投影的连线垂直于新的投影轴；(2)点的新投影到新投影轴的距离等于被更换的原投影到原投影轴的距离。a1'a'aXVH立体图b)投影图图2.45

点的一次投影变换（变换V面）Aaxa'a89整理ppt同样也可变换H面VHXH1X1a1ax1a1X1VH1ax1用正垂面H1来代替H面，H1面和V面组成新投影体系V/H1，投影体系由V/H变换为V/H1。新旧两体系具有同一个V面，因此a1ax1=Aa′

=aax。

a'aXVH立体图b)投影图图2.46

点的一次投影变换（变换H面）Aaxa'a90整理ppt

2．点的二次变换在实际应用中，有时变换一次还不能解决问题，必须变换两次，即在第一次换面之后的基础上，以第一次的投影体系V1/H(或V/H1)中的投影面V1(或H1)为不变投影面，用与其垂直的新投影面H2(或V2)进行二次更换投影面，组成新的投影体系V1/H2(或V2/H1)。a2V1X2H2图2.47点的二次投影换面a)立体图b)投影图V1HX1a1'a'aXVH91整理ppt2.5.3换面法的基本作图如何将一般位置直线或平面变换为特殊位置直线或平面，是换面法的基本作图问题，主要有四种情况。1.将一般位置直线变换为投影面平行线92整理ppt2.5.3换面法的基本作图2.将投影面平行线变换为投影面垂直线新轴与新的水平投影垂直；新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离。1c'(d1')图2.49投影面平行线变换成投影面垂直线a)立体图b)投影图X1HV1O193整理ppt2.5.3换面法的基本作图一般位置直线变换为正垂线一般位置直线一次变换平行线二次变换垂直线V1H1X2垂直a2(b2)图4-8一般位置直线变换成垂直线V1HX1aa'b'bVXHa1'实长平行b1'94整理ppt2.5.3换面法的基本作图3.将一般位置平面变为投影面的垂直面分析：将一般位置平面变换为投影面垂直面，可在新投影面上求得该平面对原投影面的倾角.如图2.51所示。其方法是让所作的新投影面同时垂直于给定的一般位置平面△ABC和原体系中保留的投影面，则平面△ABC与保留的投影面在新投影面上的投影积聚为两条直线，它们之间的夹角即为两平面之间的二面角，亦即该平面△ABC对保留的投影面的倾角。图2.51一般位置平面变换为投影面铅垂面a)立体图b)投影图95整理ppt2.5.3换面法的基本作图VHXaxa'b'X1V1c’ck'kBK新投影面应垂直于平面内的平行线！图4-10一般位置平面变换为正垂面直观图ax1cx1bx1abbxACa1'(k1')b1'c1'3.将一般位置平面变为投影面的垂直面96整理ppt2.5.3换面法的基本作图k'kb1'c1'HV1X1垂直平面有积聚性的投影步骤：①找平面内的水平线;③平面变成垂直面，有积聚性，反映平面与H面的夹角。②建新轴V1/H垂直于ak，AK变成正垂线;图4-11一般位置平面变换为正垂面投影图作图:将一般位置平面变为正垂面的投影图。a'aXVHcbc'b'a1'(k1')97整理ppt2.5.3换面法的基本作图4.将投影面垂直面变为投影面的平行面将投影面垂直面变换为投影面平行面，可在新投影面上得到该平面的实形。如图2.52(a)所示，欲求作铅垂面△ABC的实形，须保留H面，作新投影面V1平行于△ABC。显然，此时V1也同时垂直于H面，并与H面组成了一个新的投影体系V1/H，△ABC则变换成了该体系中的正平面。作图时如图2.52(b)所示，首先作X1轴平行于△ABC的水平积聚性投影abc，然后应用投影换面规律求出△ABC各顶点在新投影面的新投影a1′、b1′、c1′，最后连成△a1′b1′c1′即是△ABC的实形。图2..52铅垂面变换为正平面a)立体图b)投影图98整理ppt2.5.3换面法的基本作图

一般位置平面变换为投影面的平行面，必须经过二次换面。V1H2X2a2b2c2平行实形图2.53一般位置平面变换为水平面a'aXVHcbc'b'k'kb1'c1'HV1X1a1'(k1')99整理ppt2.5.4换面法的解题举例

掌握了换面法，我们在图解、图示几何问题时，就可以利用它把一般位置的直线或平面变换成特殊位置的，从而达到解题的目的。【例2.11】如图2.54所示，求一般位置直线MN与△ABC平面的交点K，并判断MN的可见性。分析:由图2.54(a)所示,直线