余弦定理教学文稿

余弦定理(yúxiándìnɡlǐ)第一页，共18页。一、复习(fùxí)回顾：1、直角三角形中的边角(biānjiǎo)关系：2.用勾股定理(ɡōuɡǔdìnɡlǐ)可以解什么样的三角形？CBAcab第二页，共18页。二、创设情境(qíngjìng)，提出问题CBA隧道工程设计，经常需要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当位置(wèizhi)A，量出A到山脚B、C的距离，再利用经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC。第三页，共18页。实际问题转化(zhuǎnhuà)为数学问题已知三角形的两边及它们(tāmen)的夹角，求第三边。在△ABC中，已知角A,边b,c,求边a.CBAbca思考(1)当恰好测得，则=_______,(2)当A是任意角，怎么求边？第四页，共18页。三、定理(dìnglǐ)探究合作探究(tànjiū)一：我们必修四学过向量有关知识，思考并回答下列问题CBAbca问题1、在中，利用向量加法或减法的三角形法则，可以得到=____________

问题2、||=_______________

问题3、由上式可得，=______________________

问题4、你还能得到什么样的结论？在△ABC中，已知角A,边b,c,求边a.第五页，共18页。三、定理(dìnglǐ)探究在△ABC中，已知角A,边b,c,求边a.CBAbacD合作探究二:由于初中平面几何(píngmiànjǐhé)所接触的是解直角三角形问题，所以可以添加辅助线构造直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作,故作CD垂直于AB于D问题1、在Rt△ADC中,

CD=_________,AD=_______,BD=__________问题2、在RtΔCBD中，a2=_____________问题3、你能得到什么样的结论？问题4、当A为直角或钝角时，你的结论还成立吗？第六页，共18页。余弦定理(yúxiándìnɡlǐ)：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们(tāmen)夹角的余弦的积的两倍。CBAbac三、定理探究，形成(xíngchéng)结论余弦定理和勾股定理之间有什么关系？余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特殊情形第七页，共18页。余弦定理(yúxiándìnɡlǐ)三角形任何一边的平方(píngfāng)等于其他两边平方(píngfāng)的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。推论(tuīlùn)：利用余弦定理可以解决什么问题？1.已知两边及一角，求其他边和角2.已知三边，求三个角第八页，共18页。ABC已测得AC=8km,AB=5km,角A=600，求山脚(shānjiǎo)BC的长度小试(xiǎoshì)身手：第九页，共18页。例1：如图,有两条直线(zhíxiàn)AB和CD相交成80O角,交点是O.甲乙两人同时从点O分别沿OA,OC方向出发,速度分别为4km/h和4.5km/h.3时后两人相距多远(结果精确到0.1km)?分析经过(jīngguò)3时,甲到达点P,OP=4×3=12(km),乙到达点Q,OQ=4.5×3=13.5(km),问题转化为在△OPQ中,已知OP=12km,OQ=13.5km,∠POQ=80O,求PQ的长.ABODCQP80O四、理论(lǐlùn)迁移第十页，共18页。解经过(jīngguò)3时后,甲到达点P,OP=4×3=12(km),乙到达点Q,OQ=4.5×3=13.5(km).依余弦定理,知答3时后两人相距(xiāngjù)约16.4km.四、理论(lǐlùn)迁移第十一页，共18页。四、理论(lǐlùn)迁移例2、在ΔABC中，已知a=1，b＝2,c=，求最大内角(nèijiǎo)。思考：如果(rúguǒ)例2已知条件不变，你能判断ΔABC的形状吗？结论：ΔABC中，C为最大角，C是直角c2=a2+b2

C是锐角________

C是钝角________c2<a2+b2c2>a2+b2第十二页，共18页。五、课堂练习2.在∆ABC中，A=600，b=4,c=7,求边a.3.若三条(sāntiáo)线段的长为5,6,7，则用这三条(sāntiáo)线段（）A.能组成直角三角形B.能组成锐角三角形C.能组成钝角三角形D.不能组成三角形第十三页，共18页。六、课堂(kètáng)小结（1）、余弦定理(yúxiándìnɡlǐ)及变形（2）、余弦定理(yúxiándìnɡlǐ)可解决的解三角形问题（1）已知三边，求三个角（2）已知两边及一角，求其他元素1、知识小结第十四页，共18页。六、课堂(kètáng)小结2、数学思想方法小结数形结合思想，转化(zhuǎnhuà)与化归思想；几何法，向量法3、数学(shùxué)核心素养数学(shùxué)建模，逻辑推理，数学(shùxué)运算第十五页，共18页。1、余弦定理(yúxiándìnɡlǐ)还有别的证明方法吗？思考(sīkǎo)：2、如果已知三角形的两角及一边(y