2021-2022学年湖北省荆州市石首城南高级中学高三数学文下学期期末试卷含解析

2021-2022学年湖北省荆州市石首城南高级中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.

B.

C.

D.参考答案：B【知识点】由三视图求面积、体积．BG2

解析：几何体是一个简单组合体，是一个圆柱里挖去一个圆锥，所以体积为,故选B.【思路点拨】几何体是一个简单组合体，是一个圆柱里挖去一个圆锥，用圆柱的体积减去圆锥的体积即可．2.设满足约束条件，则的最大值是（

）A.

5

B.

6

C.

8

D.

10参考答案：D略3.设复数在（）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：答案：C

4.取棱长为的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，依次进行下去，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则此多面体：①有12个顶点；②有24条棱；③有12个面；④表面积为；⑤体积为。以上结论正确的是

(

)A．①②⑤

B．①②③C．②④⑤

D．②③④⑤参考答案：A略5.下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）= B．f（x）= C．f（x）=2﹣x﹣2x D．f（x）=﹣tanx参考答案：C【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数的解析式及基本初等函数的性质，逐一分析出四个函数的单调性和奇偶性，即可得到答案．【解答】解：A中，f（x）=是奇函数，但在定义域内不单调；B中，f（x）=是减函数，但不具备奇偶性；C中，f（x）2﹣x﹣2x既是奇函数又是减函数；D中，f（x）=﹣tanx是奇函数，但在定义域内不单调；故选C．6.已知命题p：?x0∈R，lnx0≥x0﹣1．命题q：?θ∈R，sinθ+cosθ＜1，．则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．（￢p）∧（￢q） D．p∧（￢q）参考答案：D【考点】复合命题的真假．【分析】先判断命题p和命题q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，得到答案．【解答】解：?x0=1∈R，使lnx0=x0﹣1=0．故命题p：?x0∈R，lnx0≥x0﹣1为真命题，当θ=时，sinθ+cosθ=＞1，故命题q：?θ∈R，sinθ+cosθ＜1为假命题，故命题p∧（?q）为真命题，命题（?p）∧q，（?p）∧（?q），p∧q为假命题，故选：D．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，全称命题和特称命题等知识点，难度中档．7.已知集合A={1,2,3},集合B={x|x2－5x+4＜0},则集合A∩B的子集的个数为(

)A.4

B.3

C.2

D.1参考答案：A8.若函数f(x)＝2x2－lnx在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是()A．[1，＋∞)

B．[1，)

C．[1,2) D．[，2)参考答案：B9.若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，+∞） B．[﹣2，+∞） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，﹣2]参考答案：A【考点】7C：简单线性规划．【分析】要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，画出可行域，求出y=2x与x+y+6=0的交点坐标，然后求解m即可．【解答】解：由题意，约束条件，的可行域如图，由，可求得A交点坐标为（﹣2，﹣4）．要使直线y=2x上存在点（x，y）满足，如图所示．可得m＞﹣2．则实数m的取值范围（﹣2，+∞）故选：A．10.设不等式组表示的平面区域为D．若直线ax-y=0上存在区域D上的点，则实数a的取值范围是（）A. B. C.[1,2] D.[2,3]参考答案：B【分析】由题意作出可行域，利用直线过定点，结合直线的斜率，求得满足直线ax-y=0上存在区域D上的点时的a的范围．【详解】解：由不等式组作出可行域如图，∵直线ax-y=0过定点O（0，0），要使直线ax-y=0上存在区域D上的点，则直线ax-y=0的斜率a∈[kOB，kOA]，联立，得A（1，3），联立，得B（2，1），∴．∴a，故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设m∈R，过定点A的动直线x+my﹣1=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣2m+3=0交于点P（x，y），则|PA|?|PB|的最大值是．参考答案：5【考点】点到直线的距离公式．【专题】直线与圆．【分析】由直线系方程求得两动直线所过定点坐标，且知道两直线垂直，则结合|PA|2+|PB|2=|AB|2=10≥2|PA‖PB|求得|PA|?|PB|的最大值．【解答】解：由题意可得：A（1，0），B（2，3），且两直线斜率之积等于﹣1，∴直线x+my﹣1=0和直线mx﹣y﹣2m+3=0垂直，则|PA|2+|PB|2=|AB|2=10≥2|PA‖PB|．∴|PA|?|PB|≤5．故答案为：5．【点评】本题考查了直线系方程，考查了基本不等式的应用，是基础题．12.已知是定义在上的奇函数.当时，，则不等式的解集用区间表示为

参考答案：13.已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数，则的值为

．参考答案：16

14.C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A,B分别在曲线（为参数）和曲线上，则的最小值为________．参考答案：1本题考查了极坐标和参数方程问题以及有关的计算问题，难度中等。

曲线表示圆心（3，0）、半径=1的圆；曲线表示圆心（0，0），半径=1的圆，|AB|的最小值为15.在中，内角的对边分别是，若，，则=

参考答案：30°16.已知函数，则

.参考答案：17.已知向量，若，则的最小值为

▲

．参考答案：因为，所以，即的最小值为.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知向量，设函数．（1）若函数的图像关于直线对称，且时，求函数的单调增区间；（2）在（1）的条件下，当时，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．参考答案：（1）向量，函数（1）∵函数f（x）图象关于直线对称，（k∈Z），.…………3分解得：（k∈Z），所以函数f（x）的单调增区间为（k∈Z）．.…………5分（2）由（1）知（2）由（1）知，∴函数单调递增；.…………7分函数单调递减..…………8分又，∴当时函数f（x）有且只有一个零点．即.…………10分｛｝.…………12分19.已知向量，记函数.求：（I）函数的最小值及取得小值时的集合；（II）函数的单调递增区间.参考答案：解：（Ⅰ）

…………3分

=，

…………5分

当且仅当,即时，，此时的集合是.

……………8分（Ⅱ）由，所以,

所以函数的单调递增区间为.

……………

12分略20.设函数f（x）=ln（x+1）﹣，（a∈R）；g（x）=（1+k）x﹣kx﹣1，k∈（﹣1，+∞）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[0，1]时，求函数g（x）的最大值；（Ⅲ）求证：＜ln（n+1）＜（n∈N*）参考答案：【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【分析】（1）只要x+1≠0即可；（2）先对k进行讨论，然后利用导数求其最值；（3）利用函数f（x）在（0，+∞）上递增证明．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣1，+∞），，…令?f′（x）=0，得x=a﹣1，ⅰ）当a﹣1≤﹣1?a≤0时：在区间（﹣1，+∞）上，f′（x）＞0恒成立，故f（x）的增区间为（﹣1，+∞）；

…ⅱ）当a﹣1＞﹣1?a＞0时：在区间（﹣1，a﹣1）上，f′（x）＜0恒成立，故f（x）的减区间为（﹣1，a﹣1）；

…在区间（a﹣1，+∞）上，f′（x）＞0恒成立，故f（x）的增区间为（a﹣1，+∞）．…（Ⅱ）ⅰ）k=0时，g（x）=0，所以g（x）max=0；

…ⅱ）k≠0时，易知g′（x）=（1+k）xln（1+k）﹣k，于是：g′（1）=（1+k）ln（1+k）﹣k，g′（0）=ln（1+k）﹣k，由（Ⅰ）可知g′（1）＞0，下证g′（0）＜0，即证明不等式ln（1+x）﹣x＜0在x∈（﹣1，0）∪（0，+∞）上恒成立．由上可知：不等式lln（x+1）＞在x∈（﹣1，0）∪（0，+∞）上恒成立，若x∈（﹣1，0）∪（0，+∞），则，故＞，即当x∈（﹣1，0）∪（0，+∞）时，ln（x+1）＞﹣x，从而ln（x+1），故当x∈（﹣1，0）∪（0，+∞）时，ln（x+1）﹣x＜0恒成立，即g′（0）＜0．…又g（0）=g（1）=0，综上，当k∈（﹣1，+∞），g（x）在[0，1]上的最大值为0．．…（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当a=1时，f（x）在（0，+∞）上递增，知f（x）＞0，令，有ln（n+1）﹣lnn＞，得，由（Ⅱ）已证ln（x+1）﹣lnx＜0，得ln（n+1）＜x，令，有ln（n+1）﹣lnn＞得ln（n+1）＜，故，得证．…21.[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点．求证：∠EDC=∠ABD参考答案：证明：在和中，因为为公共角，所以∽，于是.在中，因为是的中点，所以，从而.所以.22.已知函数f（x）=ex+ax（a∈R），g（x）=exlnx（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）设曲线y=f（x）在x=1处的切线为l，点（1，0）到直线l的距离为，求a的值；（Ⅱ）若对于任意实数x≥0，f（x）＞0恒成立，试确定实数a的取值范围；（Ⅲ）当a=﹣1时，函数M（x）=g（x）﹣f（x）在[1，e]上是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，请说明理由．参考答案：考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由导函数求出曲线y=f（x）在x=1处的切线l的方程，再由点（1，0）到直线l的距离为列式求解a的值；[来源:Z§xx§k.Com]（Ⅱ）当x=0时，对任意实数a，f（x）=ex＞0恒成立；当x＞0时，由f（x）＞0恒成立，分离参数a，然后构造辅助函数，由导数求其最大值，则a的范围可求；（Ⅲ）把f（x）和g（x）的解析式代入M（x）=g（x）﹣f（x），整理后求其导函数，由其导函数恒大于0得到M（x）是定义域内的增函数，从而说明函数M（x）=g（x）﹣f（x）在[1，e]上不存在极值．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ex+ax，∴f′（x）=ex+a，f（1）=e+a，y=f（x）在x=1处的切线斜率为f′（1）=e+a，∴切线l的方程为y﹣（e+a）=（e+a）（x﹣1），即（e+a）x﹣y=0．又切线l与点（1，0）距离为，∴，解之得，a=﹣e+1，或a=﹣e﹣1；（Ⅱ）∵对于任意实数x≥0，f（x）＞0恒成立，∴若x=0，则a为任意实数时，f（x）=ex＞0恒成立；

若x＞0，f（x）=ex+ax＞0恒成立，即在x＞0上恒成立，设，则，当x∈（0，1）时，Q′（x）＞0，则Q（x）在（0，1）上单调递增．当x∈（1，+∞）时，Q′（x）＜0，则Q（x）在（1，+∞）上单调递减．∴当x=1时，Q（x）取得最大值，Q（x）max=Q（1）=﹣e，∴a的取值范围为（