数学：3.4.1《基本不等式-均值不等式》1课件(人教版必修5)

课前练习：3.4.1《基本不等式1.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2.会应用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；教学目标：知识回顾：请尝试用四个全等的直角三角形拼成一个“风车”图案？赵爽弦图问题探究：问题探究：如图，设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为。问题探究：由于4个直角三角形的面积和小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形efgh缩为一个点，这时有。若a,b∈r，那么a2+b2≥2ab

（当且仅当a=b时，取“=”号）如果a，b∈r，那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取“=”）证明：1．指出定理适用范围：2．强调取“=”的条件：定理：

若a,b∈r，那么a2+b2≥2ab

（当且仅当a=b时，取“=”号）如果用去替换a、b,前提是什么？能得到什么结论?那么a2+b2≥2ab那么a+b≥2

（当且仅当a=b时，取“=”号）若a∈r,b∈r若a>0b>0（当且仅当a=b时，取“=”号）基本不等式：

如果a,b∈r+，那么（当且仅当a=b时，式中等号成立）证明：∵

∴即：当且仅当a=b时均值定理：注意：1．适用的范围：a,b

为非负数.

2．语言表述：两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数。称为a，b的算术平均数，3.我们把不等式(a≥0,b≥0)称为基本不等式称的几何平均数。为a，b把看做两个正数a，b的等差中项，看做正数a，b的等比中项，那么上面不等式可以叙述为：

两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。

还有没有其它的证明方法证明上面的基本不等式呢?证法1：

当且仅当即时，取“”。证法2：

要证，

只要证

只要证只要证因为最后一个不等式成立，所以成立，

时，取”。当且仅当证法3：

对于正数有，

我们把不等式叫做基本不等式.当且仅当a=b时取等号“=”.思考：你能给出基本不等式的几何解释吗？

探究：abcde1、如图,ab是圆的直径，c是ab上与a、b不重合的一点，ac=a,cb=b,过点c作垂直于ab的弦de，连ad,bd,则cd=＿＿,半径=＿＿＿＿２、你能用这个图形得出基本不等式几何解释吗?ab半弦不大于半径数学应用：例1、设a,b为正数，证明下列不等式：证明：（1）∵为正数，∴也为正数，

由基本不等式得

∴原不等式成立。（2）∵均为正数，

由基本不等式得

∴原不等式成立。

例2．试判断与2的大小关系？如果将条件“x>0”

去掉，上述结论是否仍然成立？

变式1．试判断与2的大小关系？在结论成立的基础上，条件“a>0,b>0”可以变化吗？变式2．试判断与1的大小关系？

变式3．试判断与7的大小关系？例3.已知

求证：

证：∵

以上三式相加：

∴

当且仅当a=b=c时等号成立例4：证明:当且仅当a=b=c时等号成立变式：已知a、b、c都是正数，a+b+c=1,求证：（1–a）（1–b）（1–c）≥8abc。

思考题：求证:证明：当且仅当即a=5时,等号成立.变式：已知函数求此函数的最小值并求出此时的x的取值。2.给出下列结论：（1）若则（2）若则（3）若，则（4）若其中正确的有巩固练习：1.课本（3）,（4）p