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谈核心素养下初中数学关键知识点教学数学核心素养的培养

数学学科核心素养的培养，要通过学科教学和综合实践活动课程来具体实施。数学学科教学活动是数学学科素养培养的主要途径。

在教学研究中，人们讨论较多、较深入的是教学的重、难点。在钻研与处理教材乃至课堂教学中，除了重、难点外，还存在一个关键点的问题。教学就是要在确定与处理关键点上下功夫。只有把握关键，才能抓住重点、突破难点。这是优化教学过程的重要环节，是提高课堂效率的重要途径。关键点教学设计

初中代数数：数的扩充思路（研究问题与研究方法）、数的运算法则式：式的由来与运算（符号意识——符号结构、符号意义、符号表示、符号运算）方程：解方程的思路函数：函数的主要问题与研究方法及用函数解决问题的基本思路与方法

初中代数中的关键数学能力运算能力符号意识（察觉结构——数学抽象）推理能力（确定运算对象和运算法则，明确运算方向，构造运算程序）数学六大核心素养数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析概念引入§2.2.1整式的加减——合并同类项1、计算

300+4+200+5（写出计算过程）2、用简便方法计算：新人教版七年级上结构特征概念引入同类项、合并同类项的概念追问1：观察上述运算的等号左边的多项式，有什么共同特点？概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项（特别地，常数项都是同类项）．

填空：概念生成结构特征概念辨析追问：（1）同类项必须具备几个条件？（2）同类项与什么有关？与什么无关？①“两相同”②“两无关”例题1：判断下列各项是不是同类项？说明理由．①－2x2y3与3x2y3；②x与y；③a2与a3；④－3pq与3qp；⑤abc与ac；⑥2a2b与b2a；⑦－5与3．概念应用（1）－xy2＋3xy2＋xy2（2）7a＋3a2＋2a－a2＋3合并同类项的步骤：“一找，二并，三加减”例题2：根据分配律合并同类项，总结解题步骤，并说出每一步的依据．平方差公式

14.2.1乘法公式（一）新人教版八年级上发现规律公式引入

表示规律公式生成

发现模式公式生成(x＋a)(x－a)＝x2－a2公式结构特征：①等式左边：两数和与两数差的积；②等式右边：两个数的平方差

两数之和与这两数之差的乘积，等于这两个数的平方差．平方差公式问题1某校三年级共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买数量又是去年的2倍，前年这个学校购买了多少台计算机？新人教版七年级上3.2.1解一元一次方程---合并同类项和移项(1)“从古老的代数书说起”：

约公元825年，中亚细亚数学家阿尔—花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程。这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》.“对消”与“还原”是什么意思呢？（1）2x－3x＝______.（2）x＋2x＋4x＝_____.（3）x－－x

－－x

＝____.1241复习：合并同类项：x＋2x＋4x＝1407x＝140x＝20合并同类项

系数化为1解一元一次方程构造运算程序合并同类项的作用：合并同类项起到了简化的作用，即把含有未知数的项合并，从而把方程转化为ax=b（其中a、b是常数a≠0）

．系数化为1的依据是等式的基本性质2（等式两边同乘同一个数，或同除以同一个不为零的数，结果仍相等）,把方程转为ax=b（其中a、b是常数a≠0）.例1解下列方程：7x－2.5x＋3x－1.5x＝－15×4－6×3解：合并同类项，得6x＝-78系数化为1，得x＝-13辩一辩：判断下列方程的部分解题过程是否正确：1、x＋3x＋4x＝5解：合并同类项，得7x＝52、3x＋2x－6x＝3解：合并同类项，得－x＝3所以原方程的解为－x＝33、3x＝4解：系数化为1，得x＝34练一练4解下列方程：（1）23x－5x=9（2）（3）7x＋6x－12x＝5（4）7y－4.5y＋2y－1.5y＝－15×4－6×3x－112x＝５x－问题1某校三年级共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买数量又是去年的2倍，前年这个学校购买了多少台计算机？

设前年这个学校购买了x台计算机，可以表示出：去年购买计算机2x台，今年购买计算机4x台．根据问题中的相等关系为：前年购买量＋去年购买量＋今年购买量＝140台，列方程：x+2x+4x=140“从古老的代数书说起”：

约公元825年，中亚细亚数学家阿尔—花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程。这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》.“对消”与“还原”是什么意思呢？

一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体的盒子的全部外表，你能算出盒子的棱长吗？新人教版九年级上21.2.1解一元二次方程---配方法你还认识“老朋友”吗1.解下列方程（1）x2=2(2)(x-2)2=2

(3)(x-2)2-2=0

(4)x2-4x+4=2

回顾与复习

你能解:x2–4x=-2吗？x2–4x+2=0呢？构造运算程序观察下面几个方程的异同(1)(x-2)2=2(2)x2-4x+4

=2.(3)x2-4x=-2你能把方程:x2-4x+2=0化为方程（2）吗？(3)(3)(2)4这种通过添项使表达式变成完全平方式的方法，我们称之为配方法移项配方探索新知对你解形如x2+px+q=0（p,q为常数）的方程有启发吗？1.移项:把常数项移到方程的右边;2.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;方程左边写成完全平方形式,右边合并同类项;4.求解：求出原方程的解.配方法解形如+p+q=0（p,q为常数），即

二次项系数为1的一元二次方程的步骤：3.开方：利用直接开平方法降次；探索新知从特殊到一般§19.2.2

一次函数的图象与性质新人教版八年级下1、观式画图：y＝xy＝3xy＝－0.5xy＝－10xxoy数学建模直观想象2、看图写式：xoyxoy一种思维方式数形正比例函数y＝k·x一条直线一种思维方式BA以形助数B以数定形Ay＝2xxOy正比例函数y＝kx一次函数y＝kx＋b知识的发展特殊一般从特殊到一般的思考正比例函数一次函数“数”“形”y＝kxy＝kx＋b一条过原点的直线？从“数”探“形”！y＝2x＋1y＝2x观察：猜想：y＝2x＋1的图象是一条直线?直观验证：请在同一坐标系内，画出函数y＝2x与y＝2x＋1的图象.从“数”探“形”！x…－2－1012…y＝2x…－4－2024…y＝2x＋1…-3-1135…－3－1135梳理：函数y＝2x＋1的图象1、一条直线，与直线y＝2x平行；2、可以看作由直线y＝2x向上平移1个单位长度得到；3、过一、二、三象限，与y轴交于点（0，1），与x轴交于（－0.5，1）.k都为2b由0到1从“数”探“形”！特殊的点

图象与性质14.3.3因式分解

（复习课）新人教版八年级上问题1课前小测问题1课前小测结构特征问题2针对训练提公因式的方法：①公因式的系数取各项整数系数的绝对值的最大公约数；②取各项中相同的整式，且取相同整式的最低次数.问题2针对训练问题3综合提高2.活动二：几何验证我们知道，用平面几何图形的面积可表示一些代数的恒等变形式.如平方差公式、完全平方公式.请小组内同学合作，根据要求用几何图形的面积验证一些因式分解的恒等变形式.小结反思1.必做题：活页P101-102课后作业2.选做题：

初中几何中的关键数学能力培养空间观念直观想象（变换）发展逻辑推理能力

(证明)数学六大核心素养数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析初中几何证明（图形性质证明）变换（图形及其性质的认识）几何语言规范教学，培养学生识图、画图的能力符号书写规范教学，培养学生逻辑推理的能力几何变式教学，培养学生创造性发散思维能力

三个阶段新人教版九年级上4.2直线、射线、线段（1）新人教版七年级上名称线段射线直线图形端点个数长度表示方法直线、射线、线段的联系和区别有两个端点有一个端点无端点有无无线段AB（BA)或线段直线AB（BA）或直线射线AB或射线1.下列给线段取名正确的是：()（A）线段M(B)线段m（C)线段Mn(D)线段mnB

2、如图，若射线AB上有一点C,下列与射线AB是同一条射线的是()（A)射线BA(B)射线AC(C)射线BC(D)射线CBABCB【做一做想一想】3.用两种方式表示图中的两条直线：oAB第一种：直线AO，直线BO第二种：直线m

，直线n【思考】O点和直线m、n有何位置关系？O点在直线m、n上，且是直线m、n的交点。m(1)直线EF经过点O；（2)点A在直线m外；

4、按下列语句画出图形：（3）经过点O的三条线段a、b、c；（4）线段AB、CD相交于点BCBDA（5）已知点O，P，Q,画线段PQ，射线OP和直线OQ。【思考】点O、P、Q和直线OQ有何位置关系？【结论】点O、Q在直线OQ上；点P在直线OQ外。5、判断下列说法是否正确：（1)延长直线MN到点C（）

(2)直线A与直线B交于一点M（）（3）三点确定一条直线（）（4）无数条直线可能交于一点（）（5）射线是直线的一半（）错错错错对4.3.2角的比较与运算新人教版七年级上知识盘点1、角的大小的比较方法2、角的和与差的计算3、三角板可拼出哪些角4、角平分线的三种语言CAOB像OC这样，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个

.∵OC是∠AOB的角平分线，∴角的平分线或或符号语言图形语言文字语言例题

如图，O是直线AB上一点，∠AOC=

54°，（1）求∠BOC的度数；ABOC变式1：OE是∠BOC的平分线，求∠COE的度数；例题

CABOED变式2：OD、OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，求∠DOE的度数；变式3：若∠AOC=82°,求∠DOE的度数；变式4：若∠AOB=160°,∠AOC=82°,求∠DOE的度数；ABDEOC变式5：若∠AOB=90°,∠AOC=18°呢？变式6：若∠AOB=66°

在教学中应当有意识、有计划地培养学生的直觉思维能力，并把直觉思维与逻辑思维有机地结合起来，培养归纳推理、演绎推理和类比推理能力。符号书写规范教学，培养学生逻辑推理的能力注重几何语言的精准和严密注重多元表征训练注重转换能力培养

几何语言规范教学，培养学生识图、画图的能力§11.3.2多边形的内角和（1）新人教版八年级上

今年学校改建，准备重新设计并建造一个花圃，小华同学提出问题：能否建一个内角和为2014度的多边形花圃？你能帮助小华解答这个问题吗？猜想填空：多边形每增加一条边,内角和的度数就增加180°.复习热身多边形的边数图形多边形内角和34567n………180°360°540°720°900°(n-2)·180°求证：四边形的内角和等于360度探究新知探究1已知：四边形ABCD，求证：∠A+∠B+∠C+∠D=360°.DACB探究2

类比四边形内角和的证明方法，你能求出五边形、六边形和七边形的内角和各是多少度吗？n边形呢？多边形的边数图形从一个顶点引对角线的条数分成三角形的个数内角和34567n……………01234n-31n-22345(n－2)·180°5

×180°4

×180°3

×180°2×180°1

×180°180°360°540°720°900°(n-2)·180°猜想填空：多边形每增加一条边,内角和的度数就增加180°.多边形的边数图形多边形内角和34567n…复习热身……

根据以上的探讨，就得出了多边形的内角和公式：n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3的整数)（1）八边形的内角和等于

度.十边形的内角和等于

度.十三边形的内角和等于

度.应用新知1、看谁算得快！108019801440（2）一个多边形的内角和是1800度，求它是几边形？

前面提到小华同学的想法能实现吗？2、例题讲解：（课本例1改编）解：∠B与∠D互补，证明如下：在四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×180°=360°∵

∠A+∠C=180°

∴∠B+∠D=360°－(∠A+∠C)=180°

即∠B与∠D互补.ABCD已知：在四边形ABCD中，如果∠A+∠C=180º，问∠B与∠D有什么关系？你能说明理由吗？已知：在四边形ABCD中，如果∠A+∠C=180º，问∠B与∠D有什么关系？你能说明理由吗？变式1：已知：在四边形ABCD中，如果∠A+∠B=180º，问∠C与∠D有什么关系？你能说明理由吗？ABCD3、变式训练结论：如果四边形中任意两个角互补，那么其余两个角也互补.已知：在四边形ABCD中，如果∠A+∠C=180º，问∠B与∠D有什么关系？你能说明理由吗？变式1：已知：在四边形ABCD中，如果∠A+∠B=180º，问∠C与∠D有什么关系？你能说明理由吗？3、变式训练变式2：（1）已知：在四边形ABCD中，如果∠A=∠C，

问∠B与∠D有什么关系？你能说明理由吗？ABCD3、变式训练已知：在四边形ABCD中，如果∠A+∠C=180º，问∠B与∠D有什么关系？你能说明理由吗？变式2：（1）已知：在四边形ABCD中，如果∠A=∠C，问∠B与∠D有什么关系？你能说明理由吗？3、变式训练（2）已知：在四边形ABCD中，如果∠A=∠C，AB∥CD，求证：∠B=∠D.DACB变式3：

已知：在四边形ABCD中，如果∠A=∠C，∠B=∠D，请判断AD与BC的位置关系.那么AB与CD的位置关系又如何？DACB3、变式训练变式2：

已知：在四边形ABCD中，如果∠A=∠C，

AB∥CD，求证：∠B=∠D.√√

这节课我们主要探究了四边形内角和等于360°的方法以及推导出多边形的内角和公式(n－2)·180°（n≥3的整数）.小结反思：2、你学习了哪些重要的数学思想方法？

学到了转化、一题多解、类比、数形结合、方程等数学思想和方法.

1、这节课你掌握了哪些新知？12.2

三角形全等的判定(二)新人教版八年级上创设情景

因铺设电线的需要，要在池塘两侧A、B处各埋设一根电线杆（如图），因无法直接量出A、B两点的距离，现有一足够的米尺。怎样测出A、B两杆之间的距离呢？知识回顾

三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）DEFABC在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SSS）AB=DEBC=EFCA=FD文字语言符号语言图形语言做一做：先任意画一个△ABC，再画出一个△A'B'C'，使A'B'＝AB，A'C'＝AC，∠A'＝∠A把画好的△A'B'C'剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？探究1

三角形全等判定方法2用符号语言表达为：在△ABC与△DEF中AB=DE∠B=∠EBC=EF∴△ABC≌△DEF（SAS）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简写成“边角边”或“SAS”DEFABC符号语言图形语言文字语言练一练分别找出各题中的全等三角形ABC40°

40°

DEF(1)△ABC≌△EFD根据“SAS”△ADC≌△CBA根据“SAS”(2)ADCB已知:如图，AB=CB，∠ABD=∠CBD求证：△ABD≌△CBD例1ABCD(SAS)分析:△ABD≌△CBD边:角:边:AB=CB(已知)∠ABD=∠CBD(已知)？BD=BD(公共边)如图，AB=CB，∠ABD=∠CBD求证：AD=CD变式1ABCD12证明线段相等或者角相等，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决小结ABCDE如图，AB=AD，∠BAE=∠DAC，AE=AC,求证：BC=DE变式2如图，AB=AD，∠BAE=∠DAC，AE=AC,求证：BC=DEABCDE变式3CABDE练习：如图AD与BE相交于点C，CA=CD，CB=CE，求证：△ACB≌△DCE12创设情景

因铺设电线的需要，要在池塘两侧A、B处各埋设一根电线杆（如图），因无法直接量出A、B两点的距离，现有一足够的米尺。怎样测出A、B两杆之间的距离呢？

小明的设计方案：先在池塘旁取一个能直接到达A和B处的点C，连结AC并延长至D点，使AC=DC，连结BC并延长至E点，使BC=EC，连结CD，用米尺测出DE的长，这个长度就等于A，B两点的距离。

以3cm，5cm为三角形的两边，长度为5cm的边所对的角为40°，情况又怎样？动手画一画，你发现了什么？结论：两边及其一边所对的角相等，两个三角形不一定全等探究2DEF40°3cm5cmBC5cm3cmA40°课堂小结:1.用尺规作图：已知两边及其夹角作三角形2.利用三角形两边和它们的夹角对应相等判定两个三角形全等(边角边或SAS)3、证明线段相等或者角相等，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决重视基本构图形成单元知识块ABCD①ABCDEABCDE②③ABCDE④ABCDE⑤ABCD⑥ABCD⑦数学建模重视基本构图形成单元知识块

在课堂中教师根据教学内容精心设计例题及一些变式题组可以起到事半功倍的作用。利用变式教学可以展示知识的发生过程，促进知识的迁移，同时能提高学生学习积极性，培养参与意识，还能沟通知识的内在联系，促进知识网络的形成，培养创造性思维。几何变式教学，培养学生创造性发散思维能力

18.1.2平行四边形的判定O新人教版八年级下例3如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，E、F是AC上的两点，并且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.变式二：若E、F不是OA、OC的中点，改为AE=AO,CF=CO.求证：四边形BFDE为平行四边形.变式一：若AE=CF改为E、F分别是OA、OC的中点.求证：四边形BFDE为平行四边形.

变式三:

变式五：如图2，ABCD，

点E在上，点F在上且AE=CF，四边形BFDE还是平行四边形吗？ABDC

变式四(例4)：如图1，ABCD，

点E在AD上，点F在BC上且AE=CF，四边形BFDE还是平行四边形吗？图1图2变式六:若E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，以图中的点为顶点，尽可能多地画出平行四边形？重视基本构图形成单元知识块九年级数学下册（RJ）新人教版九年级下相似三角形定义判定应用性质三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形.1.预备定理4.三边成比例的两个三角形相似；3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；2.两角分别相等的两个三角形相似.2.相似三角形的对应线段的比等于相似比;3.相似三角形的周长的比等于相似比;4.相似三角形的面积的比等于相似比的平方.构造相似三角形解决实际问题思维导图1.相似三角形的对应角相等，对应边成比例;课堂练习1.（2017•杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（）

A．

B．

C．

D．B基本图形：A字型2.（2017•新化县二模）如图，在△ABC中，AD，BE是两条中线，则S△EDC：S△ABC=（）

A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．2：3B基本图形：A字型3.（2017•西华县三模）如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，若AD=2，AE=3，CE=1，则BD的长为（）

A．3 B．4C．5D．6B基本图形：反A字型4.（2017•岳池县模拟）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且==，则S△ADE：S四边形BCED的值为（）

A．1

B．1：3 C．1：8 D．1：9C基本图形：反A字型5．（2016•玄武区二模）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在BC、AC上，且DC=DE．（1）求证：△ABC∽△DEC；（2）若AB=5，AE=1，DE=3，求BC的长．基本图形：反A字型EE6.基本图形：A字型和反A字型基本图形：8字型7.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）

A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1B基本图形：反8字型D8.（2017•和平区模拟）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF=AD，连接