天津大学 高数 第十章 曲线积分及曲面积分 课件

曲线积分曲面积分1.第一类曲线积分2.第二类曲线积分3.第一类曲面积分4.第二类曲面积分（曲面薄板质量）（物质曲线质量）（变力作功）（通量）第十章曲线积分与曲面积分知识总结1.第一类曲线积分的计算•对光滑曲线弧(1)利用参数方程化为定积分(2)要结合利用第一类曲线积分的性质简化计算曲线L方程可带入被积函数可使用对称性与轮换对称性例.已知椭圆周长为a,求提示:原式=利用对称性例.计算其中为曲线解:

利用轮换对称性,有注：利用重心公式(重心在原点)2．第二类曲线积分的计算(1)利用参数方程化为定积分•

对空间有向光滑弧

:(3)曲线积分与路径无关的等价条件(2)格林公式和斯托克斯公式例：计算其中由平面y=z

截球面提示:

因在上有故原式=从z轴正向看沿逆时针方向.(2)格林公式推论:正向闭L所围D的面积应用格林公式注意事项：格林公式三个条件曲线封闭性曲线正向偏导连续性加边法考虑反方向挖洞法当被积函数或积分曲线比较复杂时考虑用格林公式计算其中L为上半圆周提示:沿逆时针方向.例.说明:若在某单连通区域内则2)可用积分法求du=

Pdx+Qdy在域D内的原函数:及动点或则原函数为取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;(3)平面上曲线积分与路径无关的等价条件例.设质点在力场作用下沿曲线L:由移动到求力场所作的功W解:令则有可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.思考:积分路径是否可以取取圆弧为什么？注意,本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关!例.求解解:因为故这是全微分方程.则有因此方程的通解为

斯托克斯公式个空间域内具有连续一阶偏导数,的侧与

的正向符合右手法则,在包含在内的一例.

为柱面与平面y=z

的交线,从

z

轴正向看为顺时针,计算解:设为平面z=y

上被所围椭圆域,且取下侧,利用斯托克斯公式得则其法线方向余弦(1)根据曲面方程化为二重积分3.第一类曲面积分的计算当时，当时，当时，(2)要结合利用第一类曲面积分的性质简化计算曲面方程可带入被积函数可使用对称性与轮换对称性注：要根据曲面方程的形式选择恰当的公式例.

设一卦限中的部分,则有().(2000考研)例.设计算解:

锥面与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分,它在xoy面上的投影域为则4.第二类曲面积分的计算(1)根据曲面方程化为二重积分(2)根据曲面积分的联系化为第一类曲面积分(3)高斯公式其方向用法向量指向表示:方向余弦>0为前侧<0为后侧封闭曲面>0为右侧<0为左侧>0为上侧<0为下侧外侧内侧侧的规定有向曲面的侧：注:

1.同一个曲面的同一个方向可以按上述有不同的描述方式2.有向曲面要根据需要的公式选择应该看成哪一个侧例如:球面在第一卦限的外侧也可以

看成上侧、前侧、右侧(1)根据曲面方程化为二重积分注：要根据所求为dxdy、dydz、dzdx选择曲面方程的形式代入公式解:例.计算曲面积分其中为球面在第一卦限部分的下侧.:下侧,应看为后侧是曲面在指定那一侧的单位法向量(2)

根据曲面积分的联系化为第一类曲面积分例.求其中在第四卦限部分的上侧.为连续函数，解：(3)高斯公式公式:由闭曲面所围成,的方向取外侧,高斯公式条件曲面封闭性曲面外侧偏导连续性加面法考虑反方向挖洞法例.设为曲面取上侧,求解:

作取下侧的辅助面用柱坐标用极坐标例.计算曲面积分其中,解:例.设是曲面解:

取足够小的正数,

作曲面取下侧

使其包在内,为xoy

平面上夹于之间的部分,且取下侧,取上侧,计算则第二项添加辅助面,再用高斯公式计算,得定积分可把方程代入被积函数化简的为二重积分、三重积分曲线积分曲面积分注：可利用对称性的为第一曲线积分第一曲面积分多元函数积分学均可运用坐标轮换对称性质例.

设中的部分,则解:D例.

设同一组的两个积分均为零的是().则下列四组积分中注:封闭的第二类曲面积分应借助高斯公式转化为三重积分再用对称性梯度、散度、旋度的计算设