导数概念(平均变化率)

高中选修１-１高二数学备课组任小勇3.1.1平均变化率问题情境

某市2004年3月18日、4月18日、4月20日的最高气温分别为3.5℃、18.6℃、33.4℃,气温曲线如图所示:18.63.5o1323433.4t(d)T(oC)A(1,3.5)B(32,18.6)C(34,33.4)气温曲线问题1哪一段时间气温变化得更“大”？

问题2哪一段时间气温变化得更“快”？

时间3月18日4月18日4月20日日最高气温3.5℃18.6℃33.4℃温差15.1℃温差14.8℃18.63.5o1323433.4t(d)T(oC)A(1,3.5)B(32,18.6)C(34,33.4)气温曲线

t(d)2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)T(℃)210以3月18日作为第一天，温度随时间变化的图象如左图.问题1’问题2’图中哪一段图像更“陡峭”？如何量化图像的“陡峭”程度？时间3月18日4月18日4月20日日最高气温3.5℃18.6℃33.4℃[问题1]

你能用数学语言来解释BC段曲线的陡峭程度吗？

t(d)2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)T(℃)21018.63.5o1323433.4t(d)T(oC)A(1,3.5)B(32,18.6)C(34,33.4)气温曲线yC-yBxC-xB化曲为直（1）仅考察

的大小，能否精确量化BC段陡峭的程度？（2）还必须考察什么量？（3）曲线上BC之间的一段几乎成了直线，由此联想到如何量化直线的倾斜程度？[问题２]如果将上述气温曲线看成是函数y=f(x)的图象,则函数y=f(x)在区间[1，34]上的平均变化率为ACy=f(x)o134xyf(1)f(34)f(34)-f(1)34-1[问题3]在区间[1,x1]上的平均变化率为o134xyACy=f(x)x1f(x1)f(1)f(34)[问题3]在区间[x2，34]上的平均变化率为o1x234xyACy=f(x)x1f(x1)f(x2)f(1)f(34)

你能否归纳出“函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率”的一般性定义吗？一般地，函数在区间上的平均变化率为

x0y建构数学理论注意：不能脱离区间而言(2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．建构数学理论(1)平均变化率的实质就是:两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的斜率.（以直代曲思想）（数形结合思想）“数离形时难直观，形离数时难入微”——华罗庚定义理解[问题解决]

如图，请分别计算气温在区间[1，32]和区间[32，34]上的平均变化率.o13234t(d)T(℃)18.63.533.4A(1,3.5)B(32,18.6)C(34,33.4)气温曲线气温在区间[1，32]上的平均变化率约为0.5；气温在区间[32，34]上的平均变化率为7.4。平均变化率的“大小”与图像的“陡峭”程度有什么关系？思考:变式探究向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量y与水深x的函数关系的图像如图所示，那么水瓶的形状…………()OxHyB例１水经过虹吸管从容器甲流向容器乙,t秒后容器甲中水的体积V(t)=10×5-0.1t(单位:cm3）平均变化率的绝对值越大,则变化越快.（1）求第一个10s内容器甲中体积V的平均变化率.（2）求第二个10s内容器甲中体积V的平均变化率.数学应用乙甲１.负值代表了什么?２.哪个１０秒内变化快?(1)求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1)；(2)计算平均变化率.题后反思求函数的平均变化率的步骤:例2已知函数f(x)=x2,分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率：

（1）[1，3]；（2）[1，2]；（3）[1，1.1]；（4）[1，1.001].

432.12.001（5）[0.9，1]；（6）[0.99，1]；（7）[0.999，1].变题:1.991.91.999课后思考:为什么趋近于2呢？2的几何意义是什么？数学应用xyp13例3已知函数f(x)=2x+1,g(x)=-2x,分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上f(x)及g(x)的平均变化率.

数学应用思考:一次函数y=kx+b在区间[m,n]