D1-5极限存在准则课件

二、两个重要极限一、极限存在准则第五节极限存在准则及两个重要极限第一章三、无穷小的比较柯西极限存在准则(柯西审敛原理)

(P22)数列极限存在的充要条件是:存在正整数N,使当时,有一、极限存在准则

例设有数列则若证：由于当再由柯西收敛准则:令收敛，则也收敛。对于一切自然数收敛，由柯西收敛准则，时，收敛。数列极限存在的夹逼准则

(P19)证:

由条件(2),当时,当时,令则当时,有由条件(1)即故例证明证:利用夹逼准则.且由例若证:(1)由于

由夹逼定理有由不等式且则因为所以(2)则由不等式和及由夹逼定理有单调有界数列必有极限

(P21)(证明略)设为单调数列，则解:为单调有界数列才能保证数列收敛，所以前三个结论都不对。比如单调但无界不收敛，单调有界收敛。但不论数列是否有界都收敛。单调有界，收敛。单调无界，收敛于0。(06-07,一(2))例例已知数列求解:用数学归纳法证明假设即首先证明存在。单调增加。于是成立。单调增加。由定理知数列由知有极限，不妨设对等式的两边分别取极限，得即解得根据收敛数列的保号性的推论:所以还是有界的。可知A非负例求证为正整数。证:设于是所以当即即数列从某项以后为单调递减.充分大时，又有下界，因此设其极限为对等式两边取极限得所以即收敛，故极限存在，例设,且求解：设则由递推公式有∴数列单调递减有下界，故在数列中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列的子数列（子列）。例如数列中，第一个选取第二个选取第三个选取如此无休止地抽取下去，得到一个数列这个数列为原数列的一个子数列。注意：子数列中的一般项是第k项，是原数列的第项。显然而收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,例如，

发散!则原数列一定发散.说明:函数极限存在的夹逼准则定理.且(利用函数极限与数列极限的关系定理(P27)及数列的夹逼准则可证)设对任意的总有不等式且则（）D(A)存在且等于零(B)存在但不一定等于零(C)一定不存在(D)不一定存在解:若和都存在，则由极限性质和夹逼定理知一定存在若和不存在，例如则但不存在(09-10,二.2)例例

证明

证:当由夹逼定理即所以

时的极限，可以限定由于讨论的是时，圆扇形AOB的面积二、两个重要极限证:当即亦即时，显然有△AOB

的面积＜＜△AOD的面积故有例

求解:例求解:令则因此原式说明:计算中注意利用例例例例求解:不存在。证:首先考虑取正整数值时，存在，即考虑数列的收敛性。由二项式公式同理,显然为单调递增的数列。又有上界。存在，记其值为即当时,设则当则从而有故说明:此极限也可写为时,令例求解:令则说明

：若利用则原式两个重要极限或注:代表相同的表达式例例例例例确定使解:例则解:(08-09,一.1)一般的对于形如的幂指函数，如果则例求解:原式=三、无穷小比较都是无穷小,引例.但可见无穷小趋于0的速度是多样的.定义.若则称是比高阶的无穷小,若若若若或设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称是比低阶的无穷小;则称是的同阶无穷小;则称是关于的k阶无穷小;则称是

的等价无穷小,记作例下面结论正确的是（）两个无穷小量均可以比较阶的大小(A)若(B)为无穷小量，则为无穷大量若(C)则一定比高阶无穷小有界变量未必是无穷大量(D)(05-06,二(11))例如

,当～时～～又如

，故时是关于x的二阶无穷小,～且例当时，是的无穷小解:同阶(09-10,一(2))例

证明:当时,～证:～例求解:原式例求解:令则原式说明:由此可见当时,有常用的几组等价关系～～定理证:即即例如,～～故定理设且存在,则证:例如,例如例如设对同一变化过程,,为无穷小,说明:无穷小的性质,(1)和差取大规则:由等价可得简化某些极限运算的下述规则.若=o(),(2)和差代替规则:例如,例如,(见下页例子)

(3)因式代替规则:界,则例如,例求解:原式解:例求例若解:由题则的取值范围为则即可(08-09,一(1))例证明:当时,证:利用和差代替与取大规则已知则各式正确的是解:令则令则易证(06-07,一(3))例例求解:原式说明:若则有例已知当是等价无穷小，求解:由题时，与内容小结极限存在的准则夹逼准则、单调有界准则无穷小的比较设,对同一自变量的变化过程为无穷小,且是的高阶无穷小是的低阶无穷小是的同阶无穷小是的等价无穷小是的k阶无穷小等价无穷小替换定理常用等价无穷小作业

P50

16(2),17(2),18,

19,25(2),28(6)(11)(12)(13)(14),30,31(6)(8)

思考与练习填空题

(1～4)例已知圆内接正n边形面积为证明:证:例

证明:证:因此即有等价关系:说明:上述证明过程也给出了等价关系:2.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于∞的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.3.已知,求时,下述作法是否正确?说明理由.设由递推式两边取极限得不对!此处柯西极限存在准则(柯西审敛原理)

(P22)数列极限存在的充要条件是:存在正整数N,使当时,证:“必要性”.设则时,有使当因此“充分性”证明从略.有

例设若证:由得由于由于当对一切自然数所以是单调减数列，收敛，则设单调减，收敛，由柯西收敛准则：时，于是当于是取当即有时，时，*********************收敛数