静电场习题课

一、一个实验定律：库仑定律；二、两个物理概念：场强、电势；三、两个基本定理：高斯定理、环流定理静电学习题课（所有电荷代数和）有源场（与等价）（保守场）1.点电荷的电场的计算四、电场强度的计算2.点电荷系的电场的计算设真空中有n个点电荷q1,q2,…qn，则P点场强3.连续带电体的电场的计算（积分法）电荷元表达式体电荷面电荷线电荷（1）一均匀带电直线在任一点的电场特例：无限长均匀带电直线的场强有用的结论：（2）一均匀带电圆环轴线上任一点x处的电场延长线上(3)电偶极子中垂线上五、高斯定理可能应用的情况：1、球面对称:2、圆柱面对称:3、平面对称:六、电场中通过任一曲面S的电通量匀强电场中通过平面S的电场强度通量：通过任一闭合曲面S的电场强度通量闭合曲面外法线方向(自内向外)为正穿进闭合面的电场线对该闭合面提供负通量；穿出闭合面的电场线对该闭合面提供正通量C.有时利用高斯定理求电通量非常方便利用高斯定理求电通量例1:点电荷ｑ位于正立方体中心,则通过侧面ａｂｃｄ的电通量若将点电荷ｑ位于正立方体的A角上,则通过侧面ａｂｃｄ的电通量abcdqA例2：真空中有一半径为R的圆平面。在通过圆心O与平面垂直的轴线上一点P处，有一电量为ｑ的点电荷。O、P间距离为ｈ，试求通过该圆平面的电通量OhqPr解：做一个以ｑ为中心以ｒ为半径的球面1.点电荷q受到的电场力:2.带电体受到的电场力:是指除所考虑的受力带电体以外空间其它所有电荷在dq处产生的合场强SSdq-q例:两板之间的相互作用力电偶极子在均匀外电场中所受到的力和力矩Ｆ＝０七、电场力的计算3、电偶极矩:力偶矩力图使电偶极子的偶极矩转到与外电场一致方向上来1.电势：当电荷只分布在有限区域时，势电零点通常选在无穷远处。3.点电荷ｑ在电场中的电势能Wａ＝ｑUａ4.电场力的功等于电势能的减少。即Aab=ｑ(Uａ－Uｂ)2.电势差：＃两点之间的电势差与电势零点的选取无关点电荷ｑ1和ｑ2之间的相互作用能（即电势能）八、电势、电势差与电势能九、电势的计算[1].用点电荷电势公式加电势叠加原理(1)点电荷的电势公式(2)电势的叠加原理一个电荷系的电场中,任一点的电势等于每一个带电体单独存在时在该点所产生电势的代数和。点电荷系的电场中电荷连续分布的电场中[2].用电势定义式(当电荷分布具有一定的对称性时,用高斯定理很容易求出场强分布,这种情况下用该式求电势较方便）十、场强与电势的关系场强沿任意方向的分量等于电势沿该方向空间变化率的负值。沿着电力线的方向电势降低;电力线与等势面正交;等势面较密集的地方，场强较大.*等势面的性质：11、求解和U的方法比较：求1、根据对称性应用高斯定理连续分布：求U先求再求U。2、应用矢量叠加原理不连续分布：先求V,再求。3、应用标量叠加原理12、导体的静电平衡[1]导体的静电平衡条件:导体内部电场强度处处为零。即[2]导体处于静电平衡状态时的性质：A.导体是个等势体，导体表面是个等势面。B.导体内部各点(宏观点)净余电荷为零；电荷只能分布在表面。导体表面附近一点的总电场强度方向与导体表面垂直;场强大小与导体表面对应点的电荷面密度成正比。[3]静电平衡下空腔导体的性质A.若金属空腔内部无带电体,则空腔内表面不带任何电荷，空腔内部任一点场强为零。B.若金属空腔内部有带电体,则空腔内表面有等量异号感应电荷。）C.外界无电荷，且导体接地，则外壁上电荷处处为零，外部空间任一点场强为零D.腔内电荷(包括内壁上的电荷)对内壁以外空间任何一点的合场强为零;腔外电荷(包括外壁上的电荷)对外壁以内空间任何一点的合场强为零。E.接地线的存在意味着:(a)导体的电势为零;(b)接地线只提供导体与地交换电荷的通道，并不保证导体腔外壁上的电荷在任何情况下都为零。13、电容和电容器[1]电容器电容的定义A．平行板电容器SdB．圆柱形电容器R1R2LC．球形电容器R1R2[2]电容器的串联：特点：A、有一个公共端，且公共端上不再引出其它元件。B、q1=q2=…=q；U＝U1＋U2＋…＋Un[3]电容器的并联：特点：A、有两个公共端，且在公共端上还引出导线接其它元件。B、U1＝U2＝…＝U;q=q1+q2+…+qnC、C＝C1＋C2＋…＋Cn讨论：无论是串联还是并联:只要有一个电容增大，则总电容增大[4]电介质对电容的影响A、两导体板之间均匀充满电介质时，将电容公式中的改为即可。(2)将两种介质交界面处看成有一个金属薄板,故原电容器看成两个电容器的串联。d1d2(1)仍按电容定义式计算电容B、若按等势面分层均匀充满电介质，则：d1d2d’dC.电容器的两板之间平行放入一层金属板14、电场能[1].带电电容器所存储的静电能外力作功等于静电能的增加。[2].电场的能量密度:#电场的能量:运用高斯定理的解题步骤1.分析带电体产生的电场分布是否具有某种对称性。2.选择恰当的高斯面3.计算通过高斯面的电通量4.计算高斯面内的自由电荷的代数和5.根据高斯定理求出电场强度如何选取合适的高斯面？1.高斯面必须通过拟求场强的点（如果求出了这个高斯面上的场强，也就求出了该点的场强）。2.

使高斯面上的各部分或者与场强方向平行，或者垂直（以使cos＝0或cos＝1）.3.使与场强方向垂直的那部分高斯面上各点的场强等值（这样E为常量，就可以从积分号中提出来）。4.高斯面的形状应该比较简单（使之计算比较方便）.当电荷分布为：（a）球对称时，高斯面为同心球面（b）轴对称时，高斯面为同轴柱面。（C）面对称时，高斯面为侧面与对称面垂直，两底面与对称面平行且等距的柱面。

RPOO’思路：利用补偿法。大球在p点的小球在p点的P点场强：方向：oo’例1：半径为R，体电荷密度为r的均匀带电球体中，有一半径r的球形空腔，空腔中心与球心o的距离为b.求：空腔内任意一点的电场强度。例2.一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为

r=Ar(r≤R)，r=0(r＞R)，A为一常量．试求：球体内外的场强分布．解：在球内取半径为r(r≤R)、厚为dr的薄球壳，该壳内所包含的电荷为在半径为r的球面内包含电荷为以该球面为高斯面，按高斯定理有

(本题选自静电场练习二)qr高斯面Rdr得到

，(r≤R) 方向沿径向，A>0时向外,

A<0时向里．

在球体外作一半径为r的同心高斯球面，按高斯定理有得到

(r>R)方向沿径向，A>0时向外，A<0时向里．

(本题选自静电场练习二)qr高斯面R例3．两块无限大均匀带电平面，已知电荷面密度为，计算场强分布。两板之间：两板之外：E=0带电体在外电场中所受的力课堂讨论：如图已知q、d、S求两板间的所用力d解：由场强叠加原理例4：长为l、线电荷密度为l的两根相同的细塑料棒如图放置，相距l。求：两棒之间的静电相互作用力。Oxl2lldxx思路：1、求左棒在右棒处各点的场强：2、右棒x'处电荷元受的电场力：ldx'x'Oxl2lldxxldx'x'3、右棒受的总电场力：方向：x方向。例5：点电荷q=10-9C，与它在同一直线上的A、B、C三点分别相距为10、20、30cm，若选B为电势零点。CBAq解：选B为电势零点：求：A、C两点的电势。或者分别算出A、B、C三点的电势，然后相减即可。例6、求均匀带电圆环轴线上的电势分布。已知：R、q解:方法一微元法（叠加）方法二

定义法由电场强度的分布=……例7．利用场强与电势梯度的关系，计算均匀带电细圆环轴线上一点的场强。解:例8：厚度为d的均匀带电无限大平板，电荷体密度为r>0，求板内、外场强。DS解：板外一点：板内一点：方向：垂直板面向外。dxDS方向：垂直板面向外。9.真空中一立方体形的高斯面,边长a＝0.1m，位于图中所示位置．已知空间的场强分布为：Ex=bx,Ey=0,Ez=0．常量b＝1000N/(C·m)．试求通过该高斯面的电通量．

F1=-E1S1=-ba3

F2=E2S2=2ba3

F=

F1+

F2=2ba3-ba3=ba3=1N·m2/C10．在盖革计数器中有一直径为2.00cm的金属圆筒，在圆筒轴线上有一条直径为0.134mm的导线．如果在导线与圆筒之间加上850V的电压，试分别求:(1)导线表面处(2)金属圆筒内表面处的电场强度的大小．＝2.54×106V/m＝1.70×104V/m11．假想从无限远处陆续移来微量电荷使一半径为R的导体球带电．(1)当球上已带有电荷q时，再将一个电荷元dq从无限远处移到球上的过程中，外力作多少功？(2)使球上电荷从零开始增加到Q的过程中，外力共作多少功？

随堂练习一、选择1.半径为R的均匀带电球面，若其电荷面密度为s，则在距离球面R处的电场强度

(C)

(D)

［C

］(A)(B)2.如图所示，两个“无限长”的共轴圆柱面，半径分别为R1和R2，其上均匀带电，沿轴线方向单位长度上所带电荷分别为1和2

，则在两圆柱面之间、距离轴线为r的P点处的场强大小E为：(A)(B)(C)

(D)

［A］3.如图所示，边长为l的正方形，在其四个顶点上各放有等量的点电荷.若正方形中心O处的场强值和电势值都等于零，则：

顶点a、b、c、d处都是正电荷．顶点a、b处是正电荷，c、d处是负电荷．顶点a、c处是正电荷，b、d处是负电荷.顶点a、b、c、d处都是负电荷．

［C］

4．图中实线为某电场中的电场线，虚线表示等势（位）面，由图可看出：(A)EA＞EB＞EC

，UA＞UB＞UC

．(B)EA＜EB＜EC

，UA＜UB＜UC

．(C)EA＞EB＞EC

，UA＜UB＜UC

．(D)EA

＜EB＜EC，UA＞UB＞UC

．［D］5．在匀强电场中，将一负电荷从A移到B，如图所示．则：(A)

电场力作正功，负电荷的电势能减少(B)

电场力作正功，负电荷的电势能增加(C)

电场力作负功，负电荷的电势能减少(D)

电场力作负功，负电荷的电势能增加．［］D6．密立根油滴实验，是利用作用在油滴上的电场力和重力平衡而测量电荷的，其电场由两块带电平行板产生．实验中，半径为r、带有两个电子电荷的油滴保持静止时，其所在电场的两块极板的电势差为U12．当电势差增加到4U12时，半径为2r的油滴保持静止，则该油滴所带的电荷为：(A)2e(B)4e(C)8e(D)16e

［

］

B7．在空气平行板电容器中，平行地插上一块各向同性均匀电介质板，如图所示．当电容器充电后，若忽略边缘效应，则电介质中的场强与空气中的场强相比较，应有(A)E>E0，两者方向相同．(B)E=E0，两者方向相同．(C)E<E0，两者方向相同．(D)E<E0，两者方向相反［］C8．将一空气平行板电容器接到电源上充电到一定电压后，断开电源．再将一块与极板面积相同的金属板平行地插入两极板之间，如图所示,则由于金属板的插入及其所放位置的不同，对电容器储能的影响为：［］

(A)储能减少，但与金属板相对极板的位置无关．

(B)储能减少，且与金属板相对极板的位置有关．

(C)储能增加，但与金属板相对极板的位置无关．

(D)储能增加，且与金属板相对极板的位置有关．A9.

一均匀带电球面，电荷面密度为s，球面内电场强度处处为零，球面上面元dS带有sdS的电荷，该电荷在球面内各点产生的电场强度(A)处处为零

(B)不一定都为零．(C)处处不为零．(D)无法判定

．

[C]10.已知一高斯面所包围的体积内电荷代数和∑q＝0，则可肯定：高斯面上各点场强均为零．穿过高斯面上每一面元的电通量均为零．(C)穿过整个高斯面的电场强度通量为零．(D)以上说法都不对．

[C]11.一个平行板电容器，充电后与电源断开，当用绝缘手柄将电容器两极板间距离拉大，则两极板间的电势差U12、电场强度的大小E、电场能量W将发生如下变化：

(A)U12减小，E减小，W减小．

(B)U12增大，E增大，W增大．(C)U12增大，E不变，W增大．(D)U12减小，E不变，W不变．［］C12.C1和C2两空气电容器并联以后接电源充电．在电源保持联接的情况下，在C1中插入一电介质板，如图所示,则(A)C1极板上电荷增加，C2极板上电荷减少．

(B)C1极板上电荷减少，C2极板上电荷增加．

(C)C1极板上电荷增加，C2极板上电荷不变．(D)C1极板上电荷减少，C2极板上电荷不变．［C］二、填空1.两个平行的“无限大”均匀带电平面，其电荷面密度分别为＋s和＋2s，如图所示，则A、B、C三个区域的电场强度分别为：EA＝_____，EB＝_____，EC＝____(设方向向右为正)．2.真空中一半径为R的均匀带电球面带有电荷Q(Q＞0)．今在球面上挖去非常小块的面积△S(连同电荷)，(由球心指向△S)如图所示，假设不影响其他处原来的电荷分布，则挖去△S后球心处电场强度的大小E＝

,其方向为

.3．已知空气的击穿场强为30kV/cm，空气中一带电球壳直径为1m，以无限远处为电势零点，则这球壳能达到的最高电势_________．

4．如图，A点与B点间距离为2l，OCD是以B为中心，以l为半径的半圆路径.A、B两处各放有一点电荷，电荷分别为＋q和－q．把另一电荷为Q(Q＜0)的点电荷从D点沿路径DCO移到O点，则电场力所做的功为_________________-Qq/(6pe0l)1.5106v5．半径均为R的两个带电金属球，相距为d，且d>>2R．一球带电+Q另一球带电-Q．它们之间的相互作用力比两个分别带电+Q与-Q，相距d的点电荷之间的相互作用力_______(填大，小或相等)，理由是_____________________________________．

两带电金属球上的正、负电荷相互吸引，因而不再是均匀分布在球面上，正负电荷中心间距离小于d．

大6．一空气平行板电容器，电容为C，两极板间距离为d．充电后，两极板间相互作用力为F．则两极板间的电势差为_____________，极板上的电荷__________．

7.如图，在点电荷q的电场中，选取以q为中心、R为半径的球面上一点P处作电势零点，则与点电荷q距离为r的P'点的电势为8.有N个电荷均为q的点电荷，以两种方式分布在相同半径的圆周上：一种是无规则地分布，另一种是均匀分布．比较这两种情况下在过圆心O并垂直于圆平面的z轴上任一点P(如图所示)的场强与电势，则有(A)场强相等，电势等．(B)场强不等，电势不等．(C)场强分量Ez相等，电势相等．(D)场强分量Ez相等，电势不等．