直线与直线之间的位置关系

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系高一数学备课组2016年5月12日ABCD六角螺母定义1:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.注：概念应理解为:“经过这两条直线无法作出一个平面”

.或:“不可能找到一个平面同时经过这两条直线”．

定义2:不相交也不平行两条直线叫做异面直线.注意:分别在某两个平面内的两条直线不一定是异面直线,它们可能是相交,也可能是平行.一、异面直线:异面直线的画法:Abababa用平面衬托A1B1C1D1CBDA练习1：如图：正方体的棱所在的直线中，与直线A1B异面的有哪些？

答案：D1C1、C1C、CD、D1D、AD、B1C1（１）、一条直线与两条异面直线中的一条相交，那么它与另一条之间的位置关系是（）Ａ、平行Ｂ、相交Ｃ、异面Ｄ、可能平行、可能相交、可能异面（２）、两条异面直线指的是（）Ａ、没有公共点的两条直线Ｂ、分别位于两个不同平面的两条直线Ｃ、某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线Ｄ、不同在任何一个平面内的两条直线练习2：DD3、下列命题中，其中正确的是（

）（１）若两条直线没有公共点，则这两条直线互相平行（２）若两条直线都和第三条直线相交，那么这两条直线互相平行（３）若两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行（４）若两条直线都和第三条直线异面，那么这两条直线互相平行3二、空间两直线的位置关系：共面和异面①有且只有一个公共点——两直线相交②没有公共点两直线平行两直线为异面直线问题：在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，在空间中此结论仍成立吗？若a∥b，b∥c,则a∥ccabα

公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.(空间平行直线的传递性)例1：已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE，求证：四边形EFGH是平行四边形.解题思想：∵EH是△ABD的中位线

∴EH∥BD且EH=BD同理，FG∥BD且FG=BD∴EH∥FG且EH=FG∴四边形EFGH是平行四边形证明：连结BD把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题——解立体几何时最主要、最常用的一种方法.ABDEFGHC问题：在空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等吗？αβ等角定理:

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.O异面直线所成角的定义:

如图,已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b则把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).abb′a′思想方法:平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题思考:

这个角的大小与O点的位置有关吗?即O点位置不同时,这一角的大小是否改变?异面直线所成的角的范围(0,90]oo如果两条异面直线a,b所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直,记为a⊥b注a

″三、异面直线所成角：45o例2:(1)求直线BA1和CC1所成角的度数.

找两条异面直线所成的角，要作平行移动(平行线)，把两条异面直线所成的角，转化为两条相交直线所成的角.例2:(2)哪些棱所在直线与直线AA1垂直和异面？

如图,已知长方体ABCD-EFGH中,AB=,AD=,AE=2(1)求BC和EG所成的角是多少度?(2)求AE和BG所成的角是多少度?解答：(1)∵GF∥BC∴∠EGF（或其补角）为所求.Rt△EFG中，求得∠EGF=45o(2)∵BF∥AE∴∠FBG（或其补角）为所求,Rt△BFG中，求得∠FBG=60oABGFHEDC2一作(找)、二证、三求(1)通过直线平移，作出异面直线所成的角，把空间问题转化为平面问题.(2)利用平面几何知识，求出异面直线所成角的大小.异面直线所成角的求法：在正方体ABCD-A’B’C’D’中，棱长为a，E、F分别是棱A’B’，B’C’的中点，求：①异面直线AD与EF所成角的大小；②异面直线B’C与EF所成角的大小；③异面直线B’D与EF所成角的大小.平移法OGAC∥A’C’∥EF,OG∥B’DB’D与EF所成的角即为AC与OG所成的角,即为∠AOG或其补角.不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.异面直线的定义:相交直线

平行直线异面直线空间两直线的位置关系小结公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．异面直线的求法:一作(找)二证三求空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．等角定理：异面直线的画法用平面来衬托异面直线所成的角平移，转化为相交直线所成的角作业：1、完成教材相关练习2、活页作业P93--94AcBDHEFG1.已知四边形ＡＢＣＤ是空间四边形，Ｅ、Ｈ分别是边ＡＢ、ＡＤ的中点，Ｆ、Ｇ分别是边ＣＢ、ＣＤ上的点，且＝＝.求证：四边形ＥＦＧＨ有一组对边平行但不相等ＣＦＣＢＣＧＣＤ２３ＡＢＣＤＥＰＭＮ2.如图，Ｐ是△ＡＢＣ所在平面外一点，Ｄ、Ｅ分别是△ＰＡＢ和△ＰＢＣ的重心.求证：ＤＥ∥ＡＣ，ＤＥ＝ＡＣ１３ABGFHEDC4.如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求(1)BE与CG所成的角？

(2)FO与BD所成的角？解:

(1)如图:∵BF∥CG，∴∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，

又

BEF中∠EBF=45，所以BE与CG所成的角是45ooO连接HA、AF，依题意知O为AH中点,∴∠HFO=30o