高中数学选修4-5全册配套ppt课件(人教a版16份)(13)最新版教程文件

高中数学选修4-5全册配套ppt课件(人教A版16份)(13)最新版【即时小测】1.用数学归纳法证明不等式成立,起始值至少应取为()A.7B.8C.9D.10【解析】选B.左边的和为=2-21-n,当n=8时,和为2-2-7>2.用数学归纳法证明:(n≥2,n∈N*)时第一步需要证明()【解析】选C.用数学归纳法证明(n≥2,n∈N*),第一步应验证不等式为:【知识探究】

探究点贝努利不等式1.在应用贝努利不等式时应注意什么?提示:在应用贝努利不等式时要注意应用条件x>-1,且x≠0,n是大于1的自然数.2.在利用数学归纳法证明贝努利不等式时n的初始值应选什么?提示:因为n为大于1的自然数,故n的初始值为2.【归纳总结】1.贝努利不等式成立的两个条件一是x的范围是x>-1且x≠0,x∈R.二是n为大于1的自然数.2.贝努利不等式的推广当指数n推广到任意实数α时,x>-1时,①若0<α<1,则(1+x)α≤1+αx;②若α<0或α>1,则(1+x)α≥1+αx.当且仅当x=0时等号成立.类型一用数学归纳法证明有关函数中的不等关系【典例】已知f(x)=.对于n∈N+,试比较f()与的大小并说明理由.【解题探究】解答本例的解题方向是什么?提示:先通过n取比较小的值进行归纳猜想,确定证明方向,再用数学归纳法证明.【解析】根据题意f(x)=所以要比较f()与的大小,只需比较2n与n2的大小即可,当n=1时,21=2>12=1,当n=2时,22=4=22,当n=3时,23=8<32=9,当n=4时,24=16=42,当n=5时,25=32>52=25,当n=6时,26=64>62=36.故猜测当n≥5(n∈N+)时,2n>n2,下面用数学归纳法加以证明.(1)当n=5时,2n>n2显然成立.(2)假设n=k(k≥5,且k∈N+)时,不等式2n>n2成立,即2k>k2(k≥5),则当n=k+1时,2k+1=2·2k>2·k2=k2+k2+2k+1-2k-1=(k+1)2+(k-1)2-2>(k+1)2(因为(k-1)2>2).由(1)(2)可知,对一切n≥5,n∈N+,2n>n2成立.综上所述,当n=1或n≥5时,f()>;当n=2或n=4时,f()=;当n=3时,f()<.【方法技巧】利用数学归纳法解决比较大小问题的方法利用数学归纳法比较大小,关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系,猜测出证明的方向,再用数学归纳法证明结论成立.【变式训练】1.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:当f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立.那么下列命题总成立的是()A.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立B.若f(5)≥25成立,则当k≤5时,均有f(k)≥k2成立C.若f(7)<49成立,则当k≥8时,均有f(k)<k2成立D.若f(4)=25成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立【解析】选D.根据题中条件可知:由f(k)≥k2,必能推得f(k+1)≥(k+1)2,但反之不成立,因为D中f(4)=25>42,故可推得k≥4时,f(k)≥k2,故只有D正确.2.(2016·淮南高二检测)已知函数f(x)=(其中e为自然对数的底数).证明:当x>0时,对任意正整数n都有f<n!·x2-n.【证明】当x>0时,f(x)=,所以f=x2e-x考虑到:x>0时,不等式f<n!·x2-n等价于x2e-x<n!·x2-n,即xn<n!·ex.(*)所以只要用数学归纳法证明不等式(*)对一切n∈N+都成立即可.(1)当n=1时,设g(x)=ex-x(x>0).因为x>0时,g′(x)=ex-1>0,所以g(x)在(0,+∞)上是增函数,故g(x)>g(0)=1>0,即ex>x(x>0),所以,当n=1时,不等式(*)成立.(2)假设n=k(k∈N+)时,不等式(*)成立,即xk<k!·ex,当n=k+1时,设h(x)=(k+1)!·ex-xk+1(x>0),有h′(x)=(k+1)!·ex-(k+1)xk=(k+1)(k!·ex-xk)>0,故h(x)=(k+1)!·ex-xk+1(x>0)为增函数,所以h(x)>h(0)=(k+1)!>0,即xk+1<(k+1)!·ex,这说明当n=k+1时不等式(*)也成立,根据(1)(2)可知不等式(*)对一切n∈N*都成立,故原不等式对一切n∈N+都成立.类型二数学归纳法证明不等式【典例】已知Sn=(n>1,n∈N+),求证:(n≥2,n∈N+).【解题探究】本例能否先求Sn,再证明不等式?提示:不能.若先求Sn再证明会比较困难.【证明】(1)当n=2时,S4=即当n=2时命题成立.(2)假设n=k(k≥2,n∈N+)时命题成立,即当n=k+1时,故当n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)知,对n∈N+,n≥2,都成立.【延伸探究】1.将本例中所要证明的不等式改为:(n≥2,n∈N+),如何证明?【证明】(1)当n=2时,左边=因为所以左边>右边,原不等式成立.(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即则当n=k+1时,左边=所以,当n=k+1时,不等式也成立.由(1)和(2)可知,对n≥2,且n∈N+,不等式都成立.2.若在本例中,条件变为“设f(n)=(n∈N+),由f(1)=1>,f(3)>1,f(7)>,f(15)>2,…”.试问:f(2n-1)与大小关系如何?试猜想并加以证明.【解析】数列1,3,7,15,…,通项公式为an=2n-1,数列,1,,2,…通项公式为an=,所以猜想:f(2n-1)>.下面用数学归纳法证明:(1)当n=1时,f(21-1)=f(1)=1>,不等式成立.(2)假设当n=k(k≥1)时不等式成立,即f(2k-1)>,则f(2k+1-1)=f(2k-1)+所以当n=k+1时,不等式也成立.据(1),(2)知对任何n∈N+原不等式均成立.【方法技巧】用数学归纳法证明不等式的技巧(1)证明不等式时,由n=k到n=k+1时的推证过程与证明等式有所不同,由于不等式中的不等关系,需要我们在证明时,对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到n=k时的假设,所以需要认真分析,适当放缩,才能使问题简单化,这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一.(2)数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起,如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等,才能完成证明过程.【变式训练】1.已知f(n)=1+++…+(n∈N*),经计算得:f(4)>2,f(8)>f(16)>3,f(32)>…观察上述结论,可归纳出一般结论为_________.【解析】将已知计算结果变形为归纳结论为f(2n)>答案:f(2n)>2.证明:(n∈N+,n≥2).【证明】(1)当n=2时,左边=1+,右边=2-,由于,故不等式成立.(2)假设n=k(k∈N+,k≥2)时命题成立,即则当n=k+1时,即当n=k+1时,命题成立.由(1),(2)知,原不等式对一切n∈N+,n≥2都成立.【补偿训练】数列{an}中,a1=1,an+1=1+求证:当n≥2且n∈N+时,【证明】(1)当n=2时,a2=1+1=2,且不等式成立.(2)假设当n=k(k≥2)时,有则当n=k+1时,ak+1=(分析法证明)要证只需证ak<即ak<(由假设可知成立),所以由(1)(2)知,当n≥2,且n∈N+时,成立.类型三利用数学归纳法证明数列不等式【典例】已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=,an+2SnSn-1=0(n≥2).(1)判断是否为等差数列,并证明你的结论.(2)证明(n≥1且n∈N+).【解题探究】本例中an与Sn的关系式是什么?提示:当n≥2时,an=Sn-Sn-1.【解析】(1)是等差数列,证明如下:S1=a1=,所以=2.当n≥2时,an=Sn-Sn-1,即Sn-Sn-1=-2SnSn-1.所以=2.故是以2为首项,2为公差的等差数列.(2)①当n=1时,,不等式成立.②假设n=k(k≥1)时,不等式成立,即成立,则当n=k+1时,即当n=k+1时,不等式成立.由①,②可知对任意n∈N+不等式都成立.【延伸探究】本例中若将“an+2SnSn-1=0(n≥2)”改为“an+1=(n∈N+)”,那么数列{a2n}的单调性怎样?证明你的结论.【解析】由a1=,an+1=,得a2=,a4=,a6=.由a2>a4>a6,猜想:数列{a2n}是递减数列.下面用数学归纳法证明:(1)当n=1时,已证命题成立.(2)假设n=k(k≥1)时命题成立,即a2k>a2k+2,易知an>0,那么:即a2(k+1)>a2(k+1)+2也就是说,当n=k+1时,命题也成立.综上(1)(2)可知,命题成立.【方法技巧】求解数学归纳法与数列的综合问题的策略(1)首先掌握好数学归纳法求解问题的步骤及等差、等比数列的基础知识,这是解决这类问题的基础.(2)这类题型通常与数列的递推公式、通项公式有关,有时要证明的式子是直接给出,有时是根据条件从前几项入手,通过观察、猜想,归纳出一个式子,然后再用数学归纳法证明.【变式训练】1.(2014·赣榆县校级期末)已知f(n)=(n∈N+),用数学归纳法证明f(2n)>时,f(2k+1)-f(2k)等于_________.【解析】因为假设n=k时,f(2k)=当n=k+1时,f(2k+1)=所以f(2k+1)-f(2k)=答案:

2.已知数列…,Sn为该数列的前n项和,计算得观察上述结果,推测出Sn(n∈N+),并用数学归纳法加以证明.【解析】推测Sn=(n∈N+).用数学归纳法证明如下:(1)当n=1时,S1=,等式成立;(2)假设当n=k时等式成立,即Sk=,那么当n=k+1时,Sk+1=Sk+也就是说,当n=k+1时,等式也成立.根据(1)和(2),可知一切n∈N+,等式均成立.自我纠错用数学归纳法证明不等式【典例】用数学归纳法证明:(其中n∈N*).【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:错误的根本原因是证明过程中从n=k到n=k+1的证明错误.正确解答过程如下:【证明】(1)当n=1时,1<2成立.(2)假设当n=k时不等式成立,即成立,那么,当n=k+1时,即当n=k+1时,不等式也成立.综合上述,由(1)(2)知对任意正整数n,不等式都成立.现代人每天生活在纷繁、复杂的社会当中，紧张、高速的节奏让人难得有休闲和放松的时光。人们在奋斗事业的搏斗中深感身心的疲惫。然而，如果你细心观察，你会发现作为现代人，其实人们每天都在尽可能的放松自己，调整生活节奏，追求充实快乐的人生。看似纷繁的社会里，人们的生活方式其实也不复杂。大家在忙忙碌碌中体味着平凡的人生乐趣。由此我悟出一个道理，那就是----生活简单就是幸福。生活简单就是幸福。一首优美的音乐、一支喜爱的歌曲，会让你心境开朗。你可以静静地欣赏你喜爱的音乐，可以在流荡的旋律中回忆些什么，或者什么都不去想；你可以一个人在房间里大声的放着摇滚，也可以在网上用耳麦与远方的朋友静静地共享；你还可以一边放送着音乐，一边做着家务....生活简单就是幸福。一杯清茶，或一杯咖啡，放在你的桌边，你的心情格外的怡然。你可以浏览当天的报纸，了解最新的国内外动态，哪怕是街头趣闻；或者捧一本自己喜欢的杂志、小说，从字里行间获得那种特别的轻松和愉悦....生活简单就是幸福。经过精心的烹制，一桌可心的菜肴就在你的面前，你招呼家人快来品尝，再备上最喜欢的美酒，这是多么难得的享受！生活简单就是幸福。春暖花开的季节，或是清风送爽的金秋，你和家人一起，或是朋友结伴，走出户外，来一次假日的郊游，享受大自然带给你的美丽、芬芳。吸一口新鲜的空气，忘却都市的喧嚣，身心仿佛受到一番洗涤，这是一种什么样的轻松感受！生活简单就是幸福。你参加朋友们的一次聚会，那久违的感觉带给你温馨和激动，在觥酬交错之间你享受与回味真挚的友情。朋友，是那样的弥足珍贵....生活简单就是幸福。周末的夜晚，一家老小围坐在电视机旁，尽享团圆的欢乐现代人越来越会生活，越来越会用各种不同的方式来放松自己。垂钓、上网、打牌、玩球、唱卡拉OK、下棋.....不一而足。人们根据自己的兴趣爱好寻找放松身心的最佳方式，在相对固定的社交圈子里怡然的生活，而且不断的扩大交往的圈子，结交新的朋友有时，你会为新添置的一套漂亮时装而快乐无比；有时，你会为孩子的一次小考成绩优异而倍感欣慰；有时，你会为刚参加的一项比赛拿了名次而喜不自胜；有时，你会为完成了上司交给的一个任务而信心大增生活简单就是幸福！生活简单就是幸福，不意味着我们放弃了对目标的追逐，是在忙碌中的停歇，是身心的恢复和调整，是下一步冲刺的前奏，是以饱满的精力和旺盛的热情去投入新的“战斗”的一个“驿站”；生活简单就是幸福，不意味着我们放弃了对生活的热爱，是于点点滴滴中去积累人生，在平平淡淡中寻求充实和快乐。放下沉重的负累，敞开明丽的心扉，去过好你的每一天。生活简单就是幸福！我的心徜徉于春风又绿的江南岸，纯粹，清透，雀跃，欣喜。原来，真正的愉悦感莫过于触摸到一颗不染的初心。人到中年，初心依然，纯真依然，情怀依然，幸甚至哉。生而为人，芳华刹那，真的不必太多要求，一盏茶，一本书，一颗笃静的心，三两心灵知己，兴趣爱好一二，足矣。亦舒说：“什么叫做理想生活？不用吃得太好穿得太好住得太好，但必需自由自在，不感到任何压力，不做工作的奴隶，不受名利的支配，有志同道合的伴侣，活泼可爱的孩子，丰衣足食，已经算是理想。”时间如此猝不及防，生命如此仓促，忠于自己的内心才是真正的勇敢，以不张扬的姿态，将自己活成一道独一无二的风景，才是最大的成功。试问，你有多久没有靠在门槛上看月亮了，你有多久没有在家门口的那棵大树下乘凉了，你有多久没有因为一个人一件事而心生感动了，你又有多久没有审视自己的内心了？与命运的较量中，我们被迫前行，却忘记了来时的方向；我们习惯了飞翔，却成了无脚的鸟。年轻时我们并不了解自己，不知道自己需要什么。不知道什么才是自己最想要的，什么才是最适合自己的，自己又是怎么样的一个人。”时光叠加，沧桑有痕，终究懂得，漫漫人生路，得失爱恨别离，不过是生命的常态。原来，人生最曼妙的风景，就是那颗没被俗世河流污染的初心。大千世界，有很多的东西可以去热爱，或许一株风中摇曳的小草，一朵迎风招展的小花，一条弯弯曲曲的小河，都足够让我们触摸迷失的初心。紫陌红尘，芸芸众生，皆是过客。若时光允许，我愿意一生柔软，爱了樱桃，爱芭蕉，静守于轮回的渡口，揣一颗云水禅心，将寂寞坐断，将孤独守成一帧最美的山水画卷。一直渴盼着，与心悦的人相守于古朴的小院，守着老旧的光阴，只闻花香，不谈悲喜，读书喝茶，不争朝夕。阳光暖一点，再暖一点，日子慢一些，再慢一些，从容而优雅地老去。浮生荡荡，阳春白雪，触目横斜千万朵，赏心不过两三枝；任凭弱水三千，只取一瓢饮。有梦的季节，有爱的润泽，走过的日子，都会成为笔尖温润如玉的诗篇。相信越是走到最后，剩下的唯有一颗向真向善向美的初心。似水流年，如花美眷，春潮带雨晚来急，野渡无人舟自横朝花夕拾，当回望过往，你是此生无憾，还是满心懊悔呢？随着芳华的流逝，我们终究会明白：任何的财富都比不上精神上的愉悦，任何的快感都不及对初心的执着。愿你不趋炎附势，不阿谀奉迎，不苟且偷生，不虚掷有限的年华，活出属于自己的风采，活在每一个当下，不忘初心，不负今生曾经有人说，成大事者必经以下三种境界：“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路”，此第一境界也;“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”，此第二境界也;“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”，