两角和与差的余弦公式讲解学习

3.1.1两角和与差的余弦公式第一页，共15页。1/13/2023一、新课引入问题(wèntí)1:cos15°＝？cos75°=？问题(wèntí)2:cos15°＝cos（45°－

30°）＝

cos45°－

cos30°

?cos75°＝cos（45°

+30°）＝cos45°+

cos30°？

cos(α-β)=cos(α+β)=??第二页，共15页。1/13/2023探究：如何用任意角α，β的正弦、余弦值表示？思考(sīkǎo)1：设α，β为两个任意角,你能判断cos(α－β)＝cosα－cosβ恒成立吗?例:cos(30°－30°)≠cos30°－cos30°因此，对角(duìjiǎo)α，βcos(α－β)＝cosα－cosβ一般不成立.第三页，共15页。1/13/2023〖探究(tànjiū)1〗cos（α-β）公式的结构形式应该与哪些量有关系？发现：cos（α-β）公式(gōngshì)的结构形式应该与sinα,cosα,sinβ,cosβ均有关系令则令则令令则则第四页，共15页。1/13/2023sin60°sin120°cos60°cos120°cos(120°－60°)sin30°sin60°cos30°cos60°cos(60°－30°)思考2：我们知道cos(α－β)的值与α，β的三角函数值有一定关系，观察下表中的数据，你有什么(shénme)发现？第五页，共15页。1/13/2023从表中,可以(kěyǐ)发现:cos(60°－

30°)=cos60°cos30°+sin60°sin30°cos(120°－

60°)=cos120°cos60°+sin120°sin60°现在，我们猜想(cāixiǎng)，对任意角α，β有：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ第六页，共15页。1/13/2023xyPP1MBOAC+11〖探究2〗借助三角函数(sānjiǎhánshù)线来推导cos（α-β）公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ又OM＝OB＋BMOM＝cos(α-β)

OB＝cosαcosβBM＝sinαsinβ第七页，共15页。1/13/2023〖探究(tànjiū)3〗两角差的余弦公式有哪些结构特征？注意：1.公式的结构特点：等号的左边(zuǒbian)是复角α-β的余弦值，等号右边是单角余弦值的乘积与正弦值的乘积的和。2.公式(gōngshì)中的α,β是任意角，公式(gōngshì)的应用要讲究一个“活”字，即正用、逆用、变形用，还要创造条件应用公式(gōngshì)，如构造角β＝(α＋β)－α，β＝等．上述公式称为差角的余弦公式，记作简记“余余正正号相反”第八页，共15页。1/13/2023〖公式(gōngshì)应用〗引例(yǐnlì):求cos15°的值.分析：将150可以看成450-300而450和300均为特殊(tèshū)角，借助它们即可求出150的余弦.cos150=cos（450-300）=cos450cos300+sin450sin300=×+×=第九页，共15页。1/13/2023应用解:由sinα＝,α∈(,),得542

分析:由Cα-β和本题的条件，要计算cos(α-β),还应求什么？

又由cosβ=，β是第三象限的角，得135-所以(suǒyǐ)cos(α-β)＝cosβcosα+sinβsinα已知sinα＝,α∈(,),cosβ=-,β是第三象限角，求cos(α-β)的值。2

135例1：小结：要求(yāoqiú)cos(α-β)应先求出α,β的正余弦，第十页，共15页。1/13/2023练习：cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)公式(gōngshì)的逆用应用第十一页，共15页。1/13/2023〖探究(tànjiū)4〗两角差的余弦公式推导两角和的余弦公式？注意：1.公式的结构特点：等号的左边是复角α+β的余弦(yúxián)值，等号右边是单角余弦(yúxián)值的乘积与正弦值的乘积的差。2.公式(gōngshì)中的α,β是任意角。上述公式称为和角的余弦公式，记作简记“余余正正号相反”用替换，得到第十二页，共15页。1/13/2023附条件(tiáojiàn)的求值问题例2：已知cosα+cosβ＝，sinα-sinβ＝，求cos(α+β)的值．应用解：有已知得，第十三页，共15页。1/13/20231、化简sin(x＋y)sin(x－y)-cos(x＋y)cos(x－y)的结果(jiēguǒ)是()(A)sin2x