七章资本资产定价模型

第三篇资产定价理论一、资本资产定价模型二、单指数模型与多因素模型三、套利定价模型四、市场有效性假说第七章

资本资产定价模型一、资本资产定价模型二、资本资产定价模型应用与检验三、资本资产定价模型扩展形式学习目标

通过本章的学习，应该能够达到

◆掌握资本市场线和证券市场线，以及二者区别；

◆掌握资本资产定价模型；

◆理解资本资产定价模型的运用与实证检验；

◆熟悉资本资产定价模型扩展形式。第一节资本资产定价模型一、模型假设二、Beta系数三、CAPM的推导四、资本市场线与证券市场线一、模型假设

一、模型假设第一、所有投资者的投资期限均相同；第二、投资者根据投资组合在单一投资期内的预期收益率和标准差来评价这些投资组合；第三、投资者永不满足，当面临其他条件相同的两种选择时，他们将选择具有较高预期收益率的那一种；第四、投资者是厌恶风险的，当面临其他条件相同的两种选择时，他们将选择具有较小标准差的那一种；一、模型假设

第五、每种资产都是无限可分的；第六、投资者可按相同的无风险利率借入或贷出资金；第七、税收和交易费用均忽略不计；第八、对于所有投资者来说，信息都是免费的并且是立即可得的；第九、投资者对于各种资产的收益率、标准差、协方差等具有相同的预期。

（一）含义

β系数也称为Beta系数（Betacoefficient），起源于CAPM模型，是威廉·夏普提出的一种风险指数，它的真实含义就是特定资产（或资产组合）的系统风险度量，用来衡量个别证券相对于市场组合的价格波动情况。β系数在股票、基金等投资术语中常见。其计算公式：

二、Beta系数◆β=1，表示该单项资产的风险收益率与市场组合平均风险收益率呈同比例变化，其风险情况与市场投资组合的风险情况一致；◆β＞1，说明该单项资产的风险收益率高于市场组合平均风险收益率，则该单项资产的风险大于整个市场投资组合的风险；◆β＜1，说明该单项资产的风险收益率小于市场组合平均风险收益率，则该单项资产的风险程度小于整个市场投资组合的风险。

（二）市场组合的β值

CAPM对市场资产组合本身也成立，即：

E(rM)=rf+βM[E(rM)-rf]

由于βM＝1，因此得到：

βM=

命题:一个市场组合的所有资产的加权平均贝塔值必定为1。

命题：投资组合的贝塔值是组合中各个资产贝塔值的加权平均。（三）投资组合的β值

假设：考虑持有权重w资产i，和权重(1-w)的市场组合m构成的一个新的资产组合，由组合计算公式有证券i与m的组合构成的有效边界为im；im不可能穿越资本市场线；当w=0时，曲线im的斜率等于资本市场线的斜率。三、资本资产定价模型CAPM推导：方法一Continue

已知单位1的市场投资组合M的期望收益率为RM，风险标准差为σM。

A.假设投资者持有市场资产组合，现在通过按无风险利率借入一微量资金投资于风险资产g，这时收益变为：

期望收益为：资产组合的方差变为：CAPM的推导：方法二

期望收益与方差的变化分别为：在上述变化中,我们忽略了这一高阶量。因此有：（式子1）B.假设投资者从持有100%的市场组合出发，通过按无风险利率借入一微量资金来增加其所持有的市场组合，这时其资产状况可视为三项资产的组合：

1.原有的市场组合，收益为；

2.借入的无风险资产，收益为；

3.新增的市场组合，收益为。因此，新的资产组合的收益为：期望收益变化为：

新资产组合将的资产放在市场组合上，将-的资产放在无风险资产上，所以新组合的方差为：忽略高阶小量，方差变化为：所以：（式子2）

结合式子1和2，有：整理式子3，有：公司g的期望收益率为：得到的方程即为CAPM。（式子3）

已知市场组合标准差的计算公式为：

其中：XiM和XjM分别表示证券i和j在市场组合中的比例，则有：根据协方差的性质可知，证券i跟市场组合的协方差等于证券i跟市场组合中每种证券协方差的加权平均数：

我们把协方差的这个性质运用到市场组合中的每一个风险证券，并代入可得：CAPM的推导：方法三

这样，一种股票对资产组合贡献的方差就可表示为股票所在行斜方差项的总和。例如，G公司股票对市场资产组合方差的贡献为：

wG[w1Cov(r1,rG)+w2Cov(r2,rG)+…+wGCov(rGM,rG)+…+wnCov(rn,rG)]

上式指出了方差和协方差在确定风险资产方面的分别作用。当经济中有很多股票时，协方差项的数目将大大超过方差项的数目，通常情况下，一只股票同所有其他股票的协方差决定了这只股票对整个资产组合风险的贡献程度。我们可以将中括弧里的各项简化为G公司股票与市场资产组合的协方差，也就是说，我们用单只股票同市场资产组合的协方差来测度其对市场资产组合风险的贡献程度。

证明方法四参照博迪《投资学》教材P165-166，过程略。CAPM的推导：方法四

由此可见，在考虑市场组合风险时，重要的不是各种证券自身的整体风险，而是其与市场组合的协方差。这就是说，自身风险较高的证券，并不意味着其预期收益率也应较高；同样，自身风险较低的证券，也并不意味着其预期收益率也就较低。单个证券的预期收益率水平应取决于其与市场组合的协方差。

可以得出如下结论：具有较大协方差值的证券必须按比例提供较大的预期收益率以吸引投资者。在均衡状态下，单个证券风险和收益的关系可以写为：

所表达的就是著名的证券市场线（SecurityMarketLine），它反映了单个证券与市场组合的协方差和其预期收益率之间的均衡关系，如果我们用作纵坐标，用作横坐标，则证券市场线在图上就是一条截距为Rf、斜率为的直线，如图7-3所示。

Continue图7-1证券市场线【教材P115】假设对A、B和C三只股票进行定价分。其中：

A资料:E(rA)＝0.15;βA=2；残差的方差σεA2=0.1;需确定其方差σA2；

B资料:σB2=0.0625,βB=0.75，σεB2=0.04,需确定其预期收益E(rB)。

C资料:E(rC)=0.09,βC=0.5，σεC2=0.17,需确定其σC2。请用CAPM求出各未知数，并进行投资决策分析。CAPM例题

根据以上条件，由股票A和C得方程组：

0.15=rf+[E(rm)-rf]20.09=rf+[E(rm)-rf]0.5

解方程组，得：

rf=0.07E(rm)=0.11

代入CAPM，求解E(rB)，有：

E(rB)=0.07+(0.11-0.07)*0.75=0.1

由于σ2B=β2Bσ2m+σ2εB(1)

因此先求σ2m：

σ2m=(σ2B-σ2εB)/β2B

=(0.0625-0.04)/0.752=0.04

求解有：

σ2A＝22×0.04+0.1=0.26

σ2C＝β2Cσ2m+σ2εC=0.18

分析：由上述计算，得如下综合结果：

E(rA)=0.15

σ2A=0.26

βA=2E(rB)=0.1

σ2B=0.0625βB=0.75E(rC)=0.09

σ2C=0.18

βC=0.5

其中，β值大小的偏好取决于投资策略和风格，暂不考虑，而先分析第一列和第二列。可见，E(rC)<E(rB)，而σ2C>σ2B，因而可剔除股票C。对A和B而言，则体现了高风险高收益、低风险低收益，可以认定是无差异的。再来考虑收益－风险矩阵的最后一列。虽然股票A和B是无差异的，但考虑投资者的风险偏好，如果投资者是风险厌恶的，则应选择股票B，因为它的贝塔值小于1；而如果投资者是风险爱好者，即应选择股票A，因为它的贝塔值大于1。

结论：CAPM可帮助我们确定资产的预期收益和方差，从而利于我们做出投资决策。

（一）资本配置线在图7-2中，AT代表资本配置线，弧线CD代表马科维茨有效集，A点表示无风险资产。我们可以在马科维茨有效集中找到一点T，使AT直线与弧线CD相切于T点。T点所代表的组合称为切点处投资组合。因为没有任何一种风险资产或风险资产组合与无风险资产构成的投资组合可以位于AT线段的左上方。AT线段的斜率最大，因此T点代表的组合被称为最优风险组合（OptimalRiskyPortfolio）。引入无风险资产后，新的有效集由

AT线段和TD弧线构成。四、CML与SML图7-2资本配置线（二）市场资产组合在均衡状态下，每一个投资者对每一种证券都愿意持有一定的数量，市场上各种证券的价格都处于使该证券的供求相等的水平上，无风险利率的水平也正好使得借入资金的总量等于贷出资金的总量。这样，在均衡时，最优风险组合中各证券的构成比例等于市场组合（MarketPortfolio）中各证券的构成比例。所谓市场组合是指由所有证券构成的组合，在这个组合中，每一种证券的构成比例等于该证券的相对市值。一种证券的相对市值等于该证券总市值除以所有证券的市值的总和。习惯上，人们将切点处组合叫做市场组合，并用M代替T来表示。从理论上说，M不仅由普通股构成，还包括优先股、债券、房地产等其它资产。但在现实中，人们常将M局限于普通股。

（三）消极策略有效

首先，可供选择的积极策略并非是免费的。无论你如何作出投资选择，在花费时间和成本以获取产生最优积极的风险资产组合所需信息方面，或者是委托收费的专业人士从事有关信息的搜集方面，积极策略的形成都会比消极策略更昂贵。消极策略仅仅需要很少的佣金来购买短期国库券（或者，如果直接向政府购买则不需要佣金）及支付向公众提供市场指数基金的共同基金公司的管理费用。

投资者寻求消极策略的第二个原因是“无票乘车”型收益。如果市场中有许多这样的投资者，他们既活跃又有专业知识，能够迅速地使贬值资产的价格上升，使超值资产的价格下降（通过出售行为）。我们必然得出这样的结论：在任何时候，绝大多数资产都是公平定价的。因此，一个充分分散化的普通股股票的资产组合将是公平合理的投资。（四）资本市场线如果我们用M代表市场组合，用Rf代表无风险利率，从Rf出发画一条经过M的直线，这条线就是在允许无风险借贷情况下的线性有效集，在此我们称为资本市场线（CapitalMarketLine），如图7-3所示。任何不利用市场组合以及不进行无风险借贷的其它所有组合都将位于资本市场线的下方。CML衡量的是投资组合的收益与风险之间的关系。图7-3资本市场线

资本资产定价模型表达了风险与预期收益之间的关系，即：

市场组合预期收益：E(RM)=Rf+市场风险溢价单个证券或组合预期收益：E(Ri)=Rf+βi×[E(RM)-Rf]

当市场处于均衡状态时，所有的资产价格都等于其价值，市场上不存在“便宜资产”。即所有的资产价格

E(Ri)=Rf+βi×[E(RM)-Rf]证券市场线

第一、资本市场线刻画的是有效率资产组合的风险溢价（有效率资产组合是指由市场资产组合与无风险资产构成的资产组合）是资产组合标准差的函数。标准差可以用来测度有效分散化的资产组合（投资者总的资产组合）的风险。相比较，证券市场线刻画的是作为资产风险函数的单个资产的风险溢价。测度单个资产风险的工具不再是资产的方差或标准差，而是资产对于资产组合方差的贡献度，我们用贝塔值来测度这一贡献度。第二、对于资本市场线，只有有效组合才落在CML上，而非有效组合将偏离CML[在其下方]；对于证券市场线，无论是有效组合还是非有效组合，只要市场均衡，所有证券都落在SML上，而非均衡点都将落在SML下。CML与SML的区别第二节CAPM运用与实证检验一、CAPM在的应用二、对CAPM的实证检验三、对CAPM的评价

（一）证券分类◆β=1，中性股票；◆β＞1，进攻型股票；◆β＜1，防守型股票。

一、CAPM的应用

（二）资产估值

以证券市场线为参照，位于CML下方证券的价值可以推测为低高估，投资者不愿意买该证券，导致价格降低，从而使预期收益上升，回到CML；反之，位于CML上方证券价格低估，投资者愿意买证券，导致价格上升，从而预期收益下降，回到CML。一、CAPM的应用图7-4证券市场线

（三）资产配置

资产配置有消极管理和积极管理。以消极组合管理为例，由资本市场线，投资者可以只根据风险偏好配置无风险资产和风险资产；以积极组合管理为例，可以利用CAPM预测市场走势，计算Beta值，配置资产。当预测市场价格将上升时，预期资本利得收益将增加，根据风险与收益匹配原则，可增加高Beta值资产配置；反之增加低Beta值证券配置。

（四）投资绩效评价

我们可以对投资者或投资基金的投资行为是否有效进行研究，即通过对投资者投资组合的实际Beta值与其投资策略规定的Beta值是否一致（毕业论文）。

（五）CAPM视角下的投资项目定价

CAPM对个别资产提供了一种可量化的风险测度，所以CAPM可以用于未来收益率概率分布假设为己知的风险资产在当前的价值。设市场上一项资产的买价为p，而以后的售价为q，q为随机的，则β值已知，风险调整下的贴现率二、CAPM在企业投资中的应用根据Beta值定义，有将结果代入可以得到最终得到β值未知，求q的确定性等价。

【例7-1】某项目未来期望收益为1000万美元，由于项目与市场相关性较小，β=0.6，若当时短期国债的平均收益为10％，市场组合的期望收益为17％，则该项目最大