第三章LTI连续系统的频域分析

第三章LTI连续系统的频域分析

数学上，任意一函数都可表示为一个完备正交函数集中无限多个相互正交的函数的无穷级数。傅里叶(Fourier)级数是正交函数集，只要符合一定的条件，任意信号都可通过傅里叶级数展开为一系列不同频率的正弦分量即频率函数。

系统→微分方程(算子方程)→传输算子H﹙p﹚→特征根→零输入响应或冲激响应→利用f(t)*h(t)求解任意激励下的零状态响应,最后零输入响应与零状态响应叠加,得到全响应。时域分析法:频域分析法:信号分析:时域分析←→频域分析§3–1信号的正交分解与傅里叶级数（一）正交向量一个平面中任意向量

A=C1A1+C2A2一个三维空间中的向量

A=C1A1+C2A2+C3A3

n维空间中的任一向量

A=C1A1+C2A2+C3A3+…+CnAn（二）信号的正交分解与正交函数集1.正交函数定义式任意两个实函数f1(t)和f2(t)，满足关系式则称f1(t)和

f2(t)在时间区间(t1,t2)正交。

若f1(t),f2(t),…,fn(t)定义在区间(t1,t2)上，并且在(t1,t2)内有则{f1(t),f2(t),…,fn(t)}在时间区间(t1,t2)内称为正交函数集，其中i,r=1,2,…,n；ki为一正数。2.信号的正交展开

如果在正交函数集{f1(t),f2(t),…,fn(t)}之外，找不到另外一个非零函数与该函数集{fi(t)}中每一个函数都正交，则称该函数集为完备正交函数集。

设{f1(t),f2(t),…,fn(t)}在(t1,t2)区间内是某一类信号的完备正交函数集，则这一类信号中的任何一个信号f(t)都可以精确地表示为{f1(t),f2(t),…,fn(t)}的线性组合:f(t)=C1f1(t)+C2f2(t)+…+Cnfn(t)

在正交展开式的条件下，有此式可以理解为：f(t)的能量等于各个分量的能量之和，即能量守恒。也称为帕塞瓦尔定理。对于完备正交函数集，有两个重要定理:定理1称为正交展开式或广义傅里叶级数定理2（三）常见的完备正交函数集1.三角函数集正交三角函数集在区间(t0,t0+T)是完备的正交函数集。2.指数函数集指数函数集

在区间(t0,t0+T)为一完备的正交复变函数集。注意：

一个函数集是否正交与它所在区间有关，在某一区间可能正交，而在另一区间有可能不正交。在判断函数集正交时，是指函数集中所有函数应两两正交。（四）周期信号的傅里叶级数展开

一．三角形式的傅里叶级数：

设任意周期信号f(t)=f(t+kT),（k为整数），满足下列条件（荻里赫利条件）：（1）在一个周期内，函数是绝对可积的（2）在一个周期内，函数的极值数目有限;(3)

在一个周期内，函数是连续的或者有限个第一类间断点（左右极限存在）。进行分解可得:

同频率的两项合并:傅里叶系数

由定理3-1推出！其中：—直流分量(零次谐波)，即f(t)在一个周期内的平均值；—

基波分量(一次谐波)，其角频率与f(t)的相同

—

二次谐波分量，其角频率为基波频率的两倍

—

n次谐波分量，其角频率为基波频率的n倍

将周期信号f(t)在虚指数函数集{ejnt，n=0,

1,

2，

3，

…}上展开就得到指数形式的傅里叶级数。信号分析时往往用此形式。

其中傅里叶系数：“级数正，系数负”

与三角形式傅里叶级数的关系

二．指数形式的傅里叶级数

三角形式傅里叶级数通过欧拉公式展开：注意此系数为复数与指数形式对照

三、周期信号的对称性与傅里叶系数的关系

1．偶函数:

f(t)=f(-t)2．奇函数:

f(-t)=-f(t)3．奇谐(波)(半波对称)函数:

4．偶谐(波)(半周期)函数

例1.

求周期信号的三角型与指数型傅里叶级数。

去掉该直流分量后为奇+奇谐函数f1(t)，故只含奇次谐波的sinnt分量：f(t)t0123-11f1(t)t0123-10.5例2.求图示周期锯齿波信号的傅里叶级数。

f(t)t0T2T3T-T1解法1解法2(自学):可利用傅里叶性质3求解t0T2T3T-T1/T(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)f(t)t0T2T3T-T1t0T2T3T-T)(''tf§3–2周期信号的频谱

如果要确定某一谐波分量或只需确定与该频率对应的谐波幅值和相位。频谱幅度谱：以频率(角频率)为横坐标,以各谐波的振幅An或|Fn|为纵坐标画出的线图(离散)为幅度频谱。简称幅度谱。

相位谱：以频率(角频率)为横坐标，以各谐波的初相角为纵坐标画出的线图(离散)为相位频谱。简称相位谱。一、周期矩形脉冲的频谱

t0A……=T/4，A

=1时：

|Fn|00.250.2250.0750.0530.1590.04523456--2-3-4-5-6包络线相位谱nω023456--2-3-4-5-6-由双边频谱单边频谱|An|ω00.250.450.150.1060.3180.0923456nω023456周期矩形脉冲频谱的特点：(1)各谱线高度与脉冲高度A及宽度成正比，与周期T成反比，且受抽样函数包络线牵制；(2)周期矩形脉冲的零分量频率为n/2=m,即=n=2m/，m=

1,

2,…(3)信号能量主要集中在第一个零分量频率之内——矩形信号的有效频谱宽度Bω=2/，

Bf

=1/(4)若↓而T不变→谱线间隔

=2/T不变，但谱线高度↓Bω=2m/|m=1=2/↑，占有频带内所含谱线个数T/增多，即谱线分量增多。(图3-6)(5)若T↑而不变→谱线间隔

=2/T↓(谱线变密)且谱线高度↓Bω=2m/|m=1=2/

不变，占有频带内所含谱线个数T/增多，即谱线分量增多，若T→，则间隔→0，→连续频谱。(图3-7)

二、任意周期信号频谱的特点

（1）离散性—

频谱是谱线，称为离散频谱或线谱；

（2）谐波性

—

各分量频率都是基波频率的整数倍，谱线间隔均匀；（3）收敛性

—

谱线幅度随n→而衰减到零。

三、周期信号的功率谱功率(频)谱—|Fn|2~n的关系，也是一离散谱。

周期信号在时域的平均功率等于频域中的直流功率分量和各次谐波平均功率分量之和。

§3–3非周期信号的频谱

一、傅里叶级数到傅里叶变换

周期信号其中

非周期信号

此时：

则有：F(j)

傅里叶正变换

傅里叶反变换

对应关系记为

f(t)←→F(jω)

二、非周期信号的频谱(密度)函数

F(jω)=F

{f(t)}f(t)=F-1

{F(jω)}F(jω)为一个密度的概念，其量纲为单位频率的振幅，因而称其为频谱(密度)函数简称为频谱函数。

频谱函数F(jω)一般是复函数，记为：1．频谱密度函数的物理意义

求非周期信号的傅里叶变换与求其频谱(密度)函数是等同的。2、频谱密度函数的数学特点：2）

非周期信号可以由无数个指数函数之和来表示，每个指数函数分量的大小为F(jω)。1）

非周期信号的傅里叶变换表示式也可写成三角函数形式

非周期信号也可以分解成许多不同频率的正弦分量。与周期信号相比较，只不过其基波频率趋于无穷小量，从而包含了所有的频率分量；而各个正弦分量的振幅|F(j)|d/

趋于无穷小，从而只能用密度函数F(jω)来表述各分量的相对大小。

三、典型信号的傅里叶变换

时域信号通过傅里叶正变换→其频谱函数;有了频谱函数可通过傅里叶反变换→对应的时间函数。荻里赫利条件是变换的前提,不满足完全可积条件的时间函数引入冲激函数也可有相应的变换。1、单位冲激信号

f(t)t0(1)01|F(jω)|ω

单位冲激信号δ(t)的频谱是常数1，δ(t)中包含了所有的频率分量，而各频率分量的频谱密度都相等。↔2、单边指数信号

f(t)0t1|F(jω)|0ω1/幅度频谱函数φ(ω)0ω/2-/2相位频谱函数3、偶双边指数信号

f(t)0t1e-tet|F(jω)|0ω2/4、奇双边指数信号

f(t)0t1e-t-et-1|F(jω)|0ω1/-

(ω)ω0/2-/2f(t)0t1|F(jω)|0ω(2)f(t)0t1e-tet

直流信号1为偶双边指数信号取0的极限，可用偶双边指数信号的频谱取0的极限来求得傅里叶变换。5、单位直流信号←6、单位阶跃信号

f(t)0t1|F(jω)|0ω()Φ(ω)ω0-/27、符号函数信号

f(t)0t1-1符号函数不满足绝对可积条件，它可看作奇双边指数信号在0的极限值。可以用求f(t)的频谱函数F(jω)取0极限的方法来求Sgn(t)的频谱函数。|F(jω)|0ω(ω)ω0/2-/2f(t)0t1e-t-et-1↑|F(jω)|ω08、门信号(矩形脉冲信号)

G(t)t10ω0(ω)-记住一些基本信号的变换(P73表3-1)复杂的信号化为这些信号的组合与延时，利用傅里叶变换的性质便可求。§3–4傅里叶变换的性质

一、线性

设f1(t)←→F1(j)，f2(t)←→F2(j)；a1、a2为实数，则：a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(jω)+

a2F2(jω)

例1.求下列信号的频谱函数。解：二、对称性

设：f(t)←→F(j)则：F(jt)←→2

f(-)

证明：t换为，换为t

正变换例：例2.求Sa(t)的傅氏变换。则有：再令

解：已知G(t)则有说明:（1）时间函数F(jt)与原信号f(t)的频谱函数F(jω)有相同的形式，频谱函数2f(-ω)（除系数外）与原信号f(t)有相同的形式。←

偶函数（2）F(jt)←→2

f(-)

是一对新的傅里叶变换式、傅里叶变换对之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数2

。0.5G2(t)t0.500ωSa(ω)10tSa(t)1

G2(ω)ω0

三、尺度变换

设：f(t)←→F(j)

信号持续时间与占有频带成反比，即时域内扩展频域内压缩，即时域内压缩频域内扩展。f(-t)

←→F(-j)推论(折叠性)

四、时移性

设：f(t)←→F(j)时域内时移，频域内为相移。则：

时域中信号沿时间轴右移(即延时)t0，其在频域中所有频率“分量”相应落后相位

t0,而幅度保持不变。

旋转因子，意味着相位的改变。例3.

利用对称性和时移性,求下列傅里叶变换的时间函数f(t)。解（1）（2）调制定理

五、频移性:时域内相移，频域内为反向频移。设：f(t)←→F(j)则六、时域卷积：f1(t)*

f2(t)←→F1(j)F2(j)

证明时域卷积的重要应用—

求零状态响应的频域法

时域yf(t)

=f(t)*

h(t)

频域Yf(j)

=F(j)H(j)时域卷积，频域乘积。设：f1(t)←→F1(j)，f2(t)←→F2(j)，则成立条件:两个相卷积的函数不能都是非脉冲函数例4.求f(t)的频谱函数F(jω)。解法1：应用线性和时移性解法2：应用线性和时域卷积

G(t)七、频域卷积

八、时域微分性

设：f(t)←→F(j)，则：推论：

例如：

设：f1(t)←→F1(j)，f2(t)←→F2(j)，则条件：九、时域积分性

设：f(t)←→F(j)，则：时域微分性设：f(t)←→F(j)，则：条件：十、频域微分性：

十一、频域积分性

设：f(t)←→F(j)，则：设：f(t)←→F(j)，则：十二、帕塞瓦尔定理：

时域中求得的能量与频域中求得的能量相等若f(t)为实函数，则设：f(t)←→F(j)，例7.求f(t)的频谱函数F(jω),解法1解法21．复指数信号

|F(jω)|ω0(2)ωo2．余弦、正弦信号

F1(jω)ω0()ωo()-ωoIm[F2(jω)]ω0(-)ωo()-ωo§3–5周期信号的傅里叶变换一、常见周期信号的傅里叶变换

3．单位冲激序列信号

f(t)t0(1)(1)(1)(1)(1)……T2T-T-2TF(jω)ω0()-()()()()……2-2

结论：周期信号的傅里叶级数是离散的(谱线)，其傅里叶变换是离散的(冲激序列)二、一般周期信号的傅里叶变换方法1：

周期信号的傅里叶变换（频谱函数）是由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函数位于信号的各谐波频率处。方法2：

周期信号fT(t)，fT(t)中位于第一个周期的信号若为f0(t)，则

第一个周期的信号f0(t)在时间范围内为一非周期信号，易求得其傅里叶变换，应用傅里叶变换的卷积性质，得§3–6连续信号的抽样定理

一、限带信号和抽样信号

1．限带信号：频谱宽度有限的信号

|F(j)|=0,（|

|>

m）

——

m为信号f(t)的最高频率

F(jω)ω0ωm-ωm例如：脉冲信号可以近似为频率为2/的限带信号：G(t）t10ω0二．抽样信号fs(t)的频谱

f(t)fS(t)s(t)连续信号抽样序列(冲激串，矩形窄脉冲串等)抽样信号若序列等间隔，为TS

，则为均匀抽样抽样周期

设抽样周期为TS(抽样角频率为ωS)

2.抽样信号:1、均匀冲激抽样(理想抽样)：抽样序列s(t)是周期冲激函数序列，即设：f(t)←→F(j)，根据频域卷积定理，抽样信号fs(t)的频谱函数为f(t)t0s(t)t0(1)……TS2TS-TS-2TSS(jω)ω0ωS-ωS(ωS)……(ωS)(ωS)=*=fS(t)t0fS(0)……TS2TS-TS-2TSfS(2TS)FS(jω)ω0ωS-ωS……ωmωS-ωm

当S>2m时，FS(jω)是F(jω)的周期延拓，从抽样信号fS(t)可以恢复原信号f(t)。

当S<2m时，频谱出现重叠(称为混叠现象)，信号失真。

以上各信号关系如图所示：ω0ωm-ωmF(jω)抽样序列是周期矩形脉冲序列，周期为TS(ωS)

2、矩形脉冲抽样(自然抽样)根据频域卷积定理，抽样信号fs(t)的频谱函数为三、时域抽样定理

该定理表明在

条件下所得到的抽样点的值f(nTS)包含了原信号f(t)的全部信息，因此对f(nTS)的传输可代替对f(t)的传输。f(t)t0fS(t)t0fS(0)……TS2TS-TS-2TSfS(2TS)2．原信号f(t)的恢复

F(jω)ω0ωm-ωmf(t)t0H(jω)ω0ωC-ωC理想低通滤波器fS(t)f(t)FS(jω)ω0ωS-ωS……ωmωS-ωmfS(t)t0fS(0)……TS2TS-TS-2TSfS(2TS)TSF(j)=H(j)FS(j)（1）频域角度（2）时域角度若TS取1/2fm，且C取m，则上式化为

连续时间信号f(t)可以由无数多个位于抽样点的Sa函数组成，其各个Sa函数的幅值为该点的抽样值f(nTs)

。教材P96图3-36例2.信号，将它进行冲激抽样，为使抽样信号频谱不产生混叠，求最低频率fs和奈奎斯特间隔Ts。解：四、频域抽样定理

S(t)tTS-TS0……=*=0ωF(jω)f(t)t0tm-tm0(1)……S(jω)ωS-S2ωS-2S0FS(0)……FS(2ωS)FS(jω)ω-2ωS-ωSωS2ωSfS(t)t0……-TSTStm§3–7调制与解调调制和解调的基本原理是利用信号与系统频域分析和傅里叶变换的基本性质，将信号频谱搬移，使之互不重叠地占据不同的频率范围，从而完成信号的传输或处理。一、调制幅度调制系统，幅度调制简称调幅（AM）f(t)y(t)s(t)=cosω0t设：f(t)←→F(j)ω0ωm-ωmF(jω)|F(j)|=0,（|

|>

m）,

m为信号f(t)的最高角频率

f(t)t20cosω0tt10f(t)cosω0tt20-2ω0ωm-ωmF(jω)F(0)F[cos(ω0t)]ω0()ωo()-ωoY(jω)ω0ωo-ωo2ωm2ωm二、同步解调

从已调的高频信号y(t)中恢复原调制信号f(t)的过程称为解调。

高频信号cosω0t称本机振荡（或本地振荡），它与原调幅的载波信号必须严格同频率同相位，保持严格同步，即同步解调。y(t)s(t)=cosω0ty(t)s(t)H(jω)f(t)H(jω)ωωC-ωC1Y(jω)ω0ωo-ωo2ωm2ωmG(jω)ω0-ωm2ωo2ωm-2ωoωm2ωmωc-ωc理想低通滤波器y(t)s(t)=cosω0tg(t)=y(t)s(t)H(jω)低通f(t)§3–8频分复用与时分复用

信道------信号从一点传输到另一点要借助于媒介，该媒介称为信道。现代通信复用同一信道而传送多路信号。一、频分复用

在通信系统中，信道所提供的带宽往往比传送一路信号所需的带宽宽得多，这样就可以将信道的带宽分割成不同的频段，每一频段传送一路信号，这就是频分复用。

复用------指将若干个彼此独立的信号合并成可在同一信道上传输的复合信号的方法。ω0ωm-ωmF1(jω)ω0ωm-ωmF2(jω)ω0ωm-ωmFn(jω)信道f2(t)cosωbtf1(t)cosωatfn(t)cosωntf2(t)cosωbtcosωbtf2(t)带通2低通2f1(t)cosωatcosωatf1(t)带通1低通1fn(t)cosωntcosωntfn(t)带通3低通30ωa-ωaF[g(t)]ωb-ωbωωn-ωn二、时分复用

时分多路复用的基础是抽样定理。多路的连续时间信号抽样后，得到了离散的抽样值，把各路信号的抽样值有序地排列起来，就可以实现时分复用。

时分复用是将所有的信号分配在不同的时间区域。f2(t)f1(t)f3(t)t合路转换开关调制器低通1f1(t)f2(t)f3(t)f1(t)f2(t)f3(t)解调器信道同步分路转换开关低通2低通3tf1f3f20ωtf1f3f20ωf1f2频分复用和时分复用在时间与频率通信空间的关系图

频分复用是表示每路信号在所有时间里都存在于信道中，混在一起，但是每路信号独自占据有限的不同频率区间。时分复用是表示每路信号占据不同的时间区间，但所有信号的频谱可以具有同一频率区间的分量。§3–9连续系统的频域分析H(p)f(t)yf(t)H(jω)F(jω)Yf(jω)时域卷积性质时域：

频域：

任意信号可以由无数个虚指数信号之和来表示，每个指数信号分量的大小为F(jω)dω/2。欲求信号f(t)激励下的零状态响应，可先分析基本信号ejωt激励下的零状态响应。一、基本信号ejωt

激励下的零状态响应

设LTI系统的冲激响应为h(t)，则在虚指数信号ejωt(-<t<)激励下的零状态响应为：

结论：ejωt(-

<t<)激励下的零状态响应只含稳态响应分量，且等于ejωt乘以h(t)的傅里叶变换H(jω)-------(称为频域系统函数)二、正弦周期信号Acos(t+)(-<t<)激励下的零状态响应

结论：Acos(t+)(-<t<)激励下的零状态响应只含同频率的正弦稳态响应分量，且振幅为A|H(j)|，初相位为

+φ()。

频域求正弦稳态响应的方法:先求出H(j)，由结论直接写出正弦稳态响应。三、非正弦周期信号激励下的零状态响应

结论：非正弦周期信号激励下的零状态响应只含周期性的稳态响应(直流稳态响应与各次谐波正弦稳态响应之和)分量

。周期信号频谱函数为

周期响应信号的频谱函数为结论：响应频谱的强度被H(jn)加权输入的频谱输出信号的频谱例1：(P105例3-17)(1)求系统函数H(jω);1+u(t)-i(t)1H(a)u(t)tπ/20-ππ2π-π/2(b)(2)求其响应i(t);(3)确定頻谱函数I(jω),画出其频谱图。解（1）求系统函数H(j)（2）傅里叶级数展开求：Fn三角函数形式（推荐！）指数形式（计算较复杂！）求：响应i(t)法二：用三角函数分解形式求解法一：用虚指数函数分解形式求解（3）|I(jω)|(1.41π)-3••3210-1(C)ω(0.21π)频谱图四、非周期信号f(t)(-<t<)激励下的零状态响应

从时域与频域的相互关系已知

用频域法求LTI系统零状态响应的一般步骤为：

i)

由f(t)求F(jω)；ii)

由系统频率为ω的频域模型(或下面要介绍的其他方法)求系统函数H(jω)；iii)

求：

iv)

求：

C+uC(t)-+us(t)-R例2.图示电路，激励电压，试用频域分析法求零状态响应uc(t)。解：五、频域系统函数H(jω)

1．定义