第八章学案2双曲线

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1.双曲线的定义（1）第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a（2a<|F1F2|）的点的轨迹叫做

.这两个定点F1，F2叫做双曲线的

,两焦点的距离|F1F2|叫做双曲线的

.（2）第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数(e>1)的动点的轨迹叫做

.其中常数e叫做

.双曲线焦点焦距双曲线离心率名师伴你行SANPINBOOK2.双曲线的方程焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0)，实轴长为2a的双曲线的标准方程为

;焦点坐标为F1(0,-c)，F2（0,c），实轴长为2a的双曲线的标准方程为

.3.双曲线的几何性质以(a>0,b>0)为例.（1）范围：

；（2）对称性：

；（3）顶点：

；实轴：

虚轴：

；|x|≥a,y∈R对称轴：x=0,y=0，对称中心为O（0,0）A(a,0),A′(-a,0),B(0,b)，B′(0,-b)|AA′|=2a|BB′|=2b名师伴你行SANPINBOOK返回目录

（5）准线：

；（6）渐近线：

；（7）焦半径：|PF1|=

，

|PF2|=

.a-ex0,P在左支上ex0-a,P在右支上|a-ex0|=-a-ex0,P在左支上a+ex0,P在右支上|a+ex0|=y=±xx=±（4）离心率：

；e=,e>1名师伴你行SANPINBOOK返回目录

考点一求双曲线的标准方程【例1】已知双曲线的渐近线方程为y=±x，并且焦点都在圆x2+y2=100上，求双曲线方程.【分析】从圆的对称性及双曲线的焦点都在圆上知焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，故应分两种情况讨论求解.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

【解析】（1）当焦点在x轴上时，设双曲线方程为=1（a>0,b>0）.因渐近线方程为y=±x，则.①又由焦点在圆x2+y2=100上知c=10，即有a2+b2=100.②由式①②解得a=6,b=8.∴双曲线方程为=1.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

（2）当焦点在y轴上时，设双曲线方程为=1(a>0,b>0),由题设得a2+b2=100,解得a=8,b=6.∴另一条双曲线方程为=1.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

【评析】双曲线=1与=1是一对共轭双曲线，一般形式是=±1.因而本题有另一种解法，设双曲线方程为=λ,于是(3)2+(4)2=100,解得λ=±4.∴所求双曲线方程为=±4,即=±1.一般而言，若双曲线的渐近线方程为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则其共轭双曲线方程形式为f1(x,y)·f2(x,y)=λ(λ≠0).名师伴你行SANPINBOOK返回目录

＊对应演练＊根据下列条件求双曲线方程：（1）以坐标轴为对称轴的等轴双曲线两准线间的距离为;（2）以椭圆=1的长轴端点为焦点，过P(,3);（3）与双曲线=1有共同渐近线，且过点P(3,).名师伴你行SANPINBOOK返回目录

（1）∵两准线间的距离为4,∴,即，即.又等轴双曲线的离心率e=,∴a=4,b=4.故所求双曲线方程为x2-y2=16或y2-x2=16.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

（2）∵椭圆长轴端点为（±5,0）,∴所求双曲线的两焦点在x轴上，且c=5，又设双曲线的方程为=1(a>0,b>0),∴P(4,3)在双曲线上，∴=1,又a2+b2=c2=25,联立解之得a2=16,b2=9.故所求双曲线方程为=1.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

（3）与双曲线=1有共同渐近线的双曲线方程可表示为=m(m≠0),由题意m==-1,故所求的双曲线方程为=1.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

考点二双曲线的几何性质【例2】双曲线=1(a>1,b>0)的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l的距离之和s≥c.求双曲线的离心率e的取值范围.【分析】直接用已知的“距离之和s≥c”这个条件列出只含有a和c的不等式,再通过构造法,将此不等式变形为一个只有e=ca的不等式,再解不等式即可得解.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

【解析】直线l的方程为=1,即bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式以及a>1,得到点(1,0)到直线l的距离d1=.同理得到点(-1,0)到直线l的距离d2=.s=d1+d2==.由s≥c,得≥c,即5a≥2c2.于是得5≥2e2.即4e4-25e2+25≤0,解不等式,得≤e2≤5.由于e>1,所以e的取值范围是≤e≤.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

【评析】e2=这一关系在双曲线的有关运算中常常用到，同时要注意三种曲线关于e的范围的区别.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

＊对应演练＊设双曲线C:=1(a>0)与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A,B.(1)求双曲线C的离心率e的取值范围;(2)设直线l与y轴的交点为P,且PA=PB,求a的值.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

(1)由C与l相交于两个不同的点,故知方程组=1x+y=1(1-a2)x2+2a2x-2a2=0①1-a2≠04a4+8a2(1-a2)>0，解得0<a<2且a≠1.双曲线的离心率e=,∵0<a<且a≠1,∴e>且e≠.即离心率e的取值范围为(,)∪(,+∞).有两个不同的实数解,消去y并整理得∴名师伴你行SANPINBOOK返回目录

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1).∵PA=PB,∴(x1,y1-1)=(x2,y2-1)，由此得x1=x2,由于x1,x2都是方程①的根,且1-a2≠0,∴.消去x2,得,由于a>0,∴a=.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

考点三双曲线性质的综合应用【例3】已知双曲线C：=1(a>0,b>0)，B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴正半轴上，且满足|OA|，|OB|，|OF|成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P.（1）求证：PA·OP=PA·FP;（2）若l与双曲线C的左、右两支分别相交于点D，E，求双曲线C的离心率e的取值范围.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

【分析】（1）如图8-2-1，根据条件写出l的方程，求出点P的坐标，利用向量的坐标运算进行证明.（2）将直线l的方程代入双曲线方程，转化为关于x的一元二次方程有两个相异实根的条件求解.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

【解析】（1）证明：证法一：由题意知直线l的方程为

∵|OA|，|OB|，|OF|成等比数列，∴xA·c=a2,∴xA=,∴A(,0)∴PA=(0,),OP=(,),FP=(,).∴PA·OP=,PA·FP=.∴PA·OP=PA·FP.解得P().名师伴你行SANPINBOOK返回目录

证法二：由P(),∴PA⊥x轴，∴PA·OP-PA·FP=PA·OF=0.∴PA·OP=PA·FP.

=1b2x2-(x-c)2=a2b2，即(b4-a4)x2+2a4cx-(a4c2+a2b4)=0.∵l与双曲线左、右两支分别相交于点D，E，设D(x1,y1),E(x2,y2),∴x1·x2=<0.∴b4>a4,即b2>a2,∴c2-a2>a2.∴e2>2，即e>.（2）由得名师伴你行SANPINBOOK返回目录

【评析】渐近线是双曲线的特有性质，由焦点向渐近线引垂线，垂足必在准线上；反之，过渐近线与准线的交点和相应焦点的连线必垂直于该渐近线.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

＊对应演练＊双曲线C与椭圆有相同的焦点,直线y=x为C的一条渐近线.(1)求双曲线C的方程；(2)过Ｐ（０，４）的直线l，交双曲线Ｃ于Ａ，Ｂ两点，交x轴于Ｑ点（Ｑ点与Ｃ的顶点不重合），ＰＱ=λ1ＱＡ=λ2ＱB，且λ１＋λ２＝－时，求Ｑ点的坐标.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

(1)设双曲线方程为=1（a>0,b>0）.由椭圆方程求得两焦点分别为(-2,0),(2,0).∴对于双曲线C:c=2.又y=x为双曲线C的一条渐近线,∴=,解得a2=1,b2=3,∴双曲线C的方程为x2-=1.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

(2)解法一:由题意知直线l的斜率k存在且不等于零.设l的方程为y=kx+4,A(x1,y1),B(x2,y2),则Q(,0),∵PQ=

QA，∴(,-4)=(x1+,y1).=(x1+)x1=-4=y1y1=.∵A(x1,y1)在双曲线C上,∴,∴16+32+16-k2-k2=0,∴(16-k2)+32+16-k2=0.∴名师伴你行SANPINBOOK返回目录

同理有(16-k2)+32λ2+16-k2=0.若16-k2=0,则直线l过顶点,不合题意.∴16-k2≠0,∴λ1,λ２是二次方程（16－k2）x2+32x+16-k2=0的两根,∴λ1+λ2=∴k2=4,此时，Δ>0,∴k=±2.∴所求Ｑ的坐标为（±2,0）.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

解法二:由题意知直线l的斜率k存在且不等于零.设l的方程为y=kx+4,A(x1,y1),B(x2,y2),则Q(,0),∵PQ=λ1QA,∴Q分PA的比为λ1,由定比分点坐标公式得=x1=(1+λ1)0=y1=.下同解法一.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

解法三:由题意知直线l的斜率k存在且不等于零.设l的方程为y=kx+4,A(x1,y1),B(x2,y2),则Q(,0), ∵PQ=λ1QA=λ2QB,∴(,-4)=λ1(x1+),y1=λ2(x2+),y2,∴-4=λ1y1=λ2y2.∴λ1=,λ2=.又λ1+λ2=-,∴+=.名师伴你行SANPINBOOK返回目录

即3(y1+y2)=2y1y2,将y=kx+4,代入x2-=1得(3-k2)y2-24y+48-3k2=0.∵3-k2≠0（否则l与渐近线平行）,∴y1+y2=,y1y2=.∴3×=2×.∴k=±2,∴Q(±2,0).名师伴你行SANPINBOOK返回目录

解法四:由题意知直线l的斜率k存在且不等于零.设l的方程为y=kx+4,A(x1,y1),B(x2,y2),则Q(,0),∵PQ=λ1QA,∴(,-4)=λ1(x1+),y1.∴λ1=,同理λ2=.λ1+λ2=