结构动力学之多自由度体系的振动问题

第七讲多自由度体系的振动问题工程学院海洋工程系刘臻结构动力学多个自由度体系的自由振动

结构在受迫振动时的动力响应与结构的动力特性密切相关；另外，当用振型叠加法计算任意干扰力作用下结构的动力响应时，往往要用到自由振动的频率(frequency)和振型(mode)。为此，要需要首先分析自由振动。

用刚度法(stiffnessmethod)建立运动方程。根据达朗贝尔原理，考虑质体所产生的惯性力，就将原来的动力问题在形式上转化为静力问题。这样，就可对图示系统的每个自由度列出平衡方程，即系统的运动方程。自振频率和振型的计算系统运动方程为：上式可简写为：

式中，K，M分别为系统的刚度矩阵、质量矩阵，它们通称为系统的特性矩阵。自振频率和振型的计算刚度法

无阻尼系统的自由振动方程为：

设其齐次解为：

式中：这相当于假定各个质体作简谐振动，且振动的频率和初相角都相同，只是振幅不同。

将式对t微分两次后可得

把两式代入平衡方程，并消去各项的公因子得，从此条件可以看出：

（1）条件中没有v，这就是说初相角可以是任意值；

刚度法（2）条件给出各质体振幅的齐次代数方程组，说明各个质体需要满足这个关系式；（3）振动时，各质体的振幅不应全为零，要得到各个质体振幅不全为零的解，这就要求振幅的系数行列式等于零，即频率方程

解之可得的n个正实根，从而求出n个频率

如果把这些频率按由小到大的次序排列，即构成所谓频率谱。

刚度法其中最小的频率称为最低自振频率，或称基本频率。

通常将上述每一个频率所对应的振动都称为主振动，对应于每一个主振动的形状称为主振型。1）如果各质体的初速度为零，而初位移和某一振型成比例，然后任其自然，则系统就按这个振型作简谐自由振动，此解答就相应于该振动的一组特解；刚度法2023/1/1492）如果初始条件是任意的，则任其自然后，系统所发生的振动就不是按主振型的简谐自由振动，而是复杂的周期振动，这时可以用各阶主振动的线性组合来描述它，也就是说其通解表为各个特解之和，即

所以系统的任意振动可以表示为各个主振动的叠加。

刚度法例1：质量集中在楼层上，层间侧移刚度如图。k11=4k/3解：1）求刚度系数：m2mmkk21=-k/3k31=0k12=-k/3k22=8k/15k32=-k/51k13=0k23=-k/5k33=k/5

刚度矩阵[K]和质量矩阵[M]：11展开得：2η3－42η2＋225η－225＝0解得：η1=1.293，η2=6.680，η3=13.0272）求频率：代入频率方程：┃[K]－ω2[M]┃＝03）求主振型：振型方程：（[K]－ω2[M]）{Y}＝0的后两式：（令Y3i=1）（a）10.5690.16311.2270.92413.3422.76

Yij为正时表示质量mi的运动方向与单位位移方向相同，为负时，表示与单位位移方向相反。柔度法由刚度法振幅方程：([K]－ω2[M]){Y}={0}前乘[K]－1=[δ]后得：([I]－ω2[δ]

[M]){Y}={0}令λ=1/ω2([δ]

[M]－λ[I]){Y}={0}得频率方程：┃[δ]

[M]－λ[I]┃=0利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：其展开式是关于λ的n次代数方程,先求出λi再求出频率ωi

可见刚度法、柔度法实质上是相同的，可以互相导出。当计算体系的柔度系数方便时用柔度法（如梁）；当计算体系的刚度系数方便时用刚度法（如横梁刚度为无穷大的多层刚架）。将λi代入([δ]

[M]－λi[I]){Y(i)}={0}可求出n个主振型。柔度法例2：质量集中在楼层上，层间侧移刚度如图。δ=1/kδ11=δ解：1）求柔度系数：m2mmk

柔度矩阵[δ]和质量矩阵[M]：P=1δ21δ31P=1δ32=4δδ22=4δP=1δ13=δδ23=4δδ33=9δδ12=δ展开得:解之:

ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151三个频率为：3）求主振型：（令Y3i=1）将λ1代入振型方程：（[δ][M]－λ1[I]）{Y}＝0的前两式：

2）求频率：解得：同理可得第二、第三振型例3

求图示结构的自振频率及相应的振型。

解:

这是两个自由度的系统，用图乘法求得柔度系数：代入频率方程，并且令得;展开行列式得

;

解得从而得第一和第二阶自振频率为了确定第一阶振型，可将代入平衡方程。从上式可求出质体振幅间的关系为式中，

特别是当时，将此关系代入上述各式，振型1：振型2：

由上述振型图可知，前者是反对称的，后者是对称的。

所以对于对称系统求解频率和振型，可以分别按对称和反对称两种情况，沿对称轴切开取其一半进行计算即可。m1m2Y11Y21m1m2Y12Y22主振型的位移幅值恰好为相应惯性力幅值产生的静力位移。对这两种静力平衡状态应用功的互等定理：因为ω1≠ω2主振型之间的第一正交关系主振型的正交性y

一般说来，设ωi≠ωj

相应的振型分别为：{y(i)}，{y(j)}由振幅方程：([K]－ω2[M]){Y}={0}{Y（j）}T[K]{Y（i）}=ω2i

{Y（j）}T

[M]{Y（i）}（a）{Y（i）}T[K]{Y（j）}=ω2j

{Y（i）}T

[M]{Y（j）}（b）{Y（j）}T[K]T{Y（i）}=ω2j{Y（j）}T[M]T{Y（i）}（c）=（b）转置由（a）－（c）得主振型的正交性y

第一正交关系：相对于质量矩阵[M]来说，不同频率相应的主振型彼此是正交的;

第二正交关系：相对于刚度矩阵[K]来说，不同频率相应的主振型彼此是正交的;如同一主振型:定义：Mj广义质量Kj广义刚度所以：由广义刚度和广义质量求频率的公式。是单自由度体系频率公式的推广。主振型的正交性y

注：①主振型的正交性是体系本身的固有特性，与外荷载无关。②利用正交性来检查主振型是否正确、来判断主振型的形状特征。用{Y（j）}T[M]前乘③利用正交关系确定位移展开公式中的系数。即，主振型的正交性y

④主振型正交性的物理意义：体系按某一主振型振动时，在振动过程中，其惯性力不会在其它振型上作功。因此它的能量便不会转移到别的振型上去，从而激起其它振型的振动。即各主振型可以单独出现。位移按主振型分解,可将n个耦联运动方程化成n个独立的一元方程求解。由可知主振型的正交性y

例4：图示体系的刚度矩阵[K]和质量矩阵[M]为：解：（1）演算第一正交性。m2mmk三个主振型分别如下，演算正交性。（2）演算第二正交性。同理：同理：（1）柔度法

tPqsintPqsiny1y2....P1）建立振动微分方程各简谐荷载频率相同相位相同，否则用其他方法无阻尼的受迫振动－简谐荷载

2）动位移的解答及讨论通解包含两部分：齐次解对应按自振频率振动的自由振动，由于阻尼而很快消失；特解对应按荷载频率振动的简谐振动是平稳阶段的纯强迫振动。

设纯强迫振动解答为：代入：无阻尼的受迫振动－简谐荷载

n个自由度体系，存在n个可能的共振点无阻尼的受迫振动－简谐荷载

3）动内力幅值的计算....

荷载、位移、惯性力同频、同相、同时达到最大。位移达到最大时，内力也达到最大。求内力时可将动荷载和惯性力的幅值作为静荷载作用于结构，用静力法求出内力，即为动内力幅值。或用叠加公式求：（由Y1，Y2值可求得位移和惯性力）惯性力的幅值为：代入位移幅值方程：可得求惯性力幅值的方程（直接求惯性力幅值）tPqsinl/4l/4l/2mmP1=1P2=1例：图示简支梁EI=常数,θ=0.75ω1求动位移幅值和动弯矩幅值。解：1)求柔度系数P2)作MP图，求Δ1PΔ2P33P1=1P2=1P5)计算动内力I1=0.6808PPI2=0.6051P1.4119P1.4119P0.2689P0.8740PQd图1.4119P1.6808P0.6051P0.8740P0.3530Pl0.2180PlMd图6)比较动力系数

因此，多自由度体系没有统一的动力系数。刚度法y1(t)y2(t)在平稳阶段,各质点也作简谐振动:Y1=D1/D0Y2=D2/D0....P1(t)P2(t)求得位移幅值Y1、Y2,计算惯性力幅值I1=m1θ2Y1I2=m2θ2Y2

。将惯性力幅值连同荷载幅值加在体系上，按静力计算方法求得动内力幅值。

求图示刚架楼面处的侧移幅值，惯性力幅值和柱底截面弯矩幅值。hPsinθtmEI=∞mEI=∞EIEIEIEIh1k11k211k12k22解：1）求刚度系数2)求位移幅值3)求惯性力幅值0.10.075位移幅值P1.6P1.2P0.9P0.9PA例4：m2m1k2k1质量集中在楼层上m1、m2

，层间侧移刚度为k1、k2解：荷载幅值：P1=P，P2=0，求刚度系数：k11=k1+k2,k21=－k2,k22=k2,k12=－k2当m1=m2=m,k1=k2=kmkmk61803.225322=+=wmkmk38197.025321=-=w3.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.03.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.0两个质点的位移动力系数不同。当

趋于无穷大。可见在两个自由度体系中，在两种情况下可能出现共振。也有例外情况。m2m1k2k1m1k1m2k2这说明在图示结构上，适当加以m2、k2系统可以消除m1的振动（动力吸振器原理）。

吸振器不能盲目设置，必须在干扰力使体系产生较大振动时才有必要设置。l/3l/3l/3mmPsinθtPsinθt如图示对称结构在对称荷载作用下。与ω2相应的振型是12k2211mkw--2212YY==－1当θ=ω2

，D0=0，也有：不会趋于无穷大，不发生共振，共振区只有一个。kkPyst1yst2=P/k荷载幅值产生的静位移和静内力yst1=yst2=P/k层间剪力:

Qst1=P动荷载产生的位移幅值和内力幅值θ2mY2θ2mY1由此可见，在多自由度体系中，没有一个统一的动力系数。层间动剪力:

例：如图示梁中点放一点动机。重2500N，电动机使梁中点产生的静位移为1cm，转速为300r/min，产生的动荷载幅值P=1kN问：1）应加动力吸振器吗？2）设计吸振器。(许可位移为1cm)Psinθt解：1）频率比在共振区之内应设置吸振器。2）k2m2对于n个自由度体系强迫振动方程Pn(t)Pi(t)P1(t)y1yi