哈尔滨工程大学力学基础课件第15章

第十五章压杆的稳定性15.1

压杆稳定性的概念15.2

两端铰支细长压杆的临界压力15.3

其他约束情况下细长压杆的临界压力15.4

临界应力总图15.5

压杆的稳定性计算15.6

折减系数法

15.7

提高压杆稳定性的措施15.1

压杆稳定性的概念压杆能否保持原有的直线平衡状态的问题称为压杆的稳定性问题。干力扰(c)ljp<pljp=pljp>p压杆丧失其原有的直线平衡状态而过渡为微弯平衡状态的现象，称为失稳。压力P的极限值称为临界压力或临界力。(b)干力扰干力扰干力扰干力扰(a)15.2两端铰支细长压杆的临界压力ylppxxv如图所示压杆，取直角坐标系如图距离原点为x的任意横截面的挠度为v，弯矩为（a）压力P取绝对值。杆的挠曲线近似微分方程为（b）令，则式（b）可以写成为（c）此微分方程的通解是（d）边界条件

a.代入（d）式有b=0，（e）

b.v(l)=0代入（e）式可得v(0)=0（f）由（e）式若则知，即压杆轴线上各点的挠度均等于零。这与压杆在微弯状态下保持平衡相矛盾，只能要求。满足这一条件的值应该为，其中由此得或（g）

当时，无意义，故取时才使为最小值。于是求得细长压杆的临界力为:

（15-1）这就是两端铰支细长压杆的临界压力的计算公式，称为欧拉公式。力学家和材料力学史LeonhardEuler（1707-1783）

Euler，瑞士人，数学家、力学家。在数学（数学分析、变分法、拓扑学）和力学（固体力学、刚体动力学、流体力学）的许多领域都有着开创性的贡献。力学家和材料力学史LeonhardEuler（1707-1783）

Euler在1744年出版的专著中，对柱的屈曲问题进行了系统的研究。他以惊人的毅力和顽强的精神，克服重重困难，坚持科学研究。力学家和材料力学史他是迄今为止世界上最为多产的科学家。他一生的著述多达八百余件。在他去世后，俄国科学院花了四十七年的时间，陆续出版了他遗留下来的大量文稿。LeonhardEuler（1707-1783）临界压力与压杆的抗弯刚度成正比，而与杆长的平方成反比。这就是说，杆愈细长，其临界压力愈小，杆件就愈容易失稳。在此临界压力的作用下，，将其代入（e）式可得

（h）上式说明，两端铰支细长压杆的挠曲线是一条半波的正弦曲线。若令，将其代入(h)式可得可见是压杆中截面的挠度。15.3

其他约束情况下细长压杆的临界压力对于其他约束情况下的细长压杆（15-2）

为不同约束条件下压杆的长度系数，为相当长度。一端自由，一端固定＝2.0一端铰支，一端固定

＝0.7两端固定

＝0.5两端铰支＝1.0例一端固定，一端自由的圆截面铸铁立柱l=3m，d=0.2m，E=120GPa。试由式（15-2）计算立柱的临界压力解立柱的长度系数，而截面惯性矩故临界压力为15.4

临界应力总图

一、临界应力与柔度临界应力，用表示。

(a)

引入截面的惯性半径可以得到

(b)引用记号（15-3）临界应力的公式（b）可以写为

（15-4）式中的是一个无量纲的量，称为压杆的柔度或长细比。二、欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用条件为（c）引用记号（15-5）欧拉公式的适用条件（c）可以写成为

（15-6）这一类压杆称为大柔度压杆或细长压杆三、超过比例极限的临界压力工程中的压杆的临界应力超过了比例极限，不能用欧拉公式来计算，一般采用以实验结果为依据的经验公式来确定其临界应力，

(15-7）式中的a和b是与材料力学性能有关的常数

塑性材料制成的压杆

或（d）引用记号（15-8a）对于脆性材料制成的压杆（15-8b）于是（15-7）式的适用条件为（或)。这类杆件称为中柔度压杆或中长压杆。四、临界应力总图将三种柔度范围内压杆的临界应力与柔度的关系在直角坐标系中绘出，所得到的图线称为压杆的临界应力总图，图为塑性材料的临界应力总图。sABCDOlplslsspslj2Eplljs=2ljabl=-sljs=ss五、抛物线公式及其临界应力总图临界应力超过比例极限时的抛物线公式是把反映临界应力与柔度表示成如下的抛物线关系

我国自己通过实验建立的抛物线公式为（15-9）对常用的结构用钢A2、A3、16锰钢（15-10）为材料的屈服极限。例两端固定的受压的杆件，横截面形状分别采用矩形和圆形，截面面32×102mm2。分别计算两种情况下的临界载荷。p3m解（1）矩形截面由，得截面的最小惯性半径:b2b压杆柔度

压杆为细长杆p3mb2b（2）圆形截面由得截面惯性半径p3mb2b压杆柔度压杆为中长杆p3mb2b压杆的稳定条件为

（15-11a）或使用安全系数表示

（15-11b）式中，n为压杆的工作安全系数

[nw]为规定的稳定安全系数。15-5

压杆的稳定性计算几种钢制杆[nw]的参考值。金属结构中的压杆[nw]=1.8～3.0机床的丝杆[nw]=2.5～4.0低速发动机的挺杆[nw]=4～6磨床油缸的活塞杆[nw]=4～6起重螺旋杆[nw]=3.5～5压杆的稳定计算包括压杆的稳定校核、截面设计、确定许用载荷三个方面。一般设计中往往先按强度估算，初步确定压杆截面尺寸，再校核其稳定性。压杆稳定性计算的一般过程为：根据压杆实际尺寸和杆端的约束情况，计算各弯曲平面内柔度。然后根据最大柔度确定临界压力的计算公式，最后进行稳定计算。例

蒸汽机的活塞杆受到蒸汽压力P=120KN，杆长度180cm，E=210Gpa，[nw]＝8，设计活塞杆的直径d。lABppp解:设压杆为细长杆解得：P=120KN[nw]＝8L=180cmE=210GpalABppp柔度为：再由公式（12-5）因，说明上面应用欧拉公式进行的试算是正确的。P=120KN[nw]＝8L=180cmE=210GpalABppp15.6

折减系数法用压杆的横截面积A去除式（12-13a）的两端，得或（a）记（b）于是稳定性条件以应力的形式表示为（c）在结构设计中规定将表示为（d）通过引用折减系数，应力形式的稳定条件则可表示为

（15-12）选定截面形式和支承形式预选

0=0.5计算截面面积

由面积

A0

确定相应尺寸，并计算惯性矩计算柔度

根据柔度

查表得值

1

10小于规定值吗？(1+0

)/20NY后续计算结束折减系数法设计压杆尺寸的流程解:由于截面未确定，在稳定条件A和均为未知量，故只能用试算法来确定压杆的截面。例一端固定,一端自由的压杆受轴向压力P=350kN杆长l=1.5m，材料为A3钢，[σ]=160MPa试用折减系数法选择工字钢的型号。假设截面:查型钢表，选截面与其接近的22b工字钢，其截面积和惯性半径为例:一端固定,一端自由的压杆受轴向压力P=350kN杆长l=1.5m，材料为A3钢，[σ]=160MPa，试用折减系数法选择工字钢的型号。按所选型号进行稳定核算查表12-3，并插值得压杆的稳定许用应力为例:一端固定,一端自由的压杆受轴向压力P=350kN杆长l=1.5m，材料为A3钢，[σ