计量方法与误差理论CH3-2-误差部分

第7节系统误差

一、系统误差产生原因计量校准后发现的偏差、仪器设计原理缺陷、仪器制造和安装的不正确等。测量时的实际温度对标准温度的偏差、测量过程中的温度、湿度按一定规律变化的误差等。采用近似的测量方法或计算公式引起的误差等。测量人员固有的测量习性引起的误差等。①测量装置方面的因素②环境方面的因素③

测量方法的因素④

测量人员的因素第7节系统误差

二、系统误差的分类和特征1、定值系统误差在同一条件下，多次测量同一测量值时，误差的绝对值和正负符号保持不变。如测长仪读数装置的调零误差，量块或其它标准件尺寸的偏差等，均为恒定系统误差。第7节系统误差

2、变值系统误差变化系统误差指在整个测量过程中，误差的大小和方向随测试的某一个或某几个因素按确定的函数规律而变化，可分为三种：①线性系差（累进系差）：在整个测量过程中，随某因素而线性递增或递减的系统误差。如温度线性变化引起的误差。第7节系统误差

②周期系差：在整个测量过程中，随某因素作周期变化的系统误差。如齿轮传动引起的正弦误差。

③复杂系差：在整个测量过程中，随某因素变化，误差按确定的更为复杂的规律变化，称其为复杂规律变化的系统误差。第7节系统误差

三、系统误差对测量结果的影响1、定值系差的影响第7节系统误差

2、变值系差的影响第7节系统误差

定值系差：不影响随机误差分布曲线的形状及分布范围，只引起分布密度函数的位置变化（平移）。变值系差：不仅使随机误差的分布密度曲线平移，同时也改变了曲线的形状和分布范围。结论：第7节系统误差

四、系统误差的发现1、定值系差的发现（由于不影响残差，无法从测量原始数据自身判定）（1）对比检定法（校准法）改变测量条件进行测量，一般换更精密的仪器，求出两次测量的算术平均值之差，即为定值系差。第7节系统误差

（2）均值与标准差比较法第7节系统误差

A.当测试次数足够多时，采用正态分布判断：服从正态分布第7节系统误差

第7节系统误差

B.当测试次数较少时，采用t分布判断：见《概率论与数理统计》，北京:人民教育出版社，1979第7节系统误差

第7节系统误差

2、变值系差的发现两种基本方法：观察残差的变化或者检验是否服从已知的规律（1）马林科夫判据——前后分组核算残差法（线性系差）

按先后顺序将测量数据分两组，前一半和后一半的残差分别求和，然后求其差值。如果不存在累进性系差，该差值应近似为0；否则，可能比较大。不适于检验周期性系差。第7节系统误差

第7节系统误差

如果测量服从正态分布，则：阿贝判据为：计算时以残差代替真差：可以证明：修正：阿贝—赫梅特判据（2）阿贝-赫梅特准则（周期系差）第7节系统误差

（3）标准偏差不同公式检算法（类型不能确定）第7节系统误差

第7节系统误差

六、系统误差的减小和消除主要途径：1、从测量方法上消除；2、测量数据的处理，掌握系差的大小，引入修正值。第7节系统误差

1、定值系差消除A、替代法对被测量进行一次测量，使仪器上得到某一状态（如指针指示零位，显示某一示值）。然后在相同的测量条件下，以标准量代替被测量，调整标准量值的大小，尽量使仪器达到与被测量相同的状态，此时的标准量就等于被测量。如：用电桥测电阻，用标准可变电阻代替被测量。第7节系统误差

B、交换法在一次测量后，将某些测量条件交换一下，再进行一次测量。

抵消法或反向补偿法就属于一种交换法，即先在有定值系差状态下进行一次测量，再在该定值系差相反的状态下进行第二次测量。两次测量的平均值使定值系差完全被抵消。第7节系统误差

C、零示法将待测量与标准的已知量比较，当二者作用相等时，测量装置的指示器读数为零。它可以消除指示器不准所造成的系统误差。例：用零示法测电压第7节系统误差

实际测量中标准量不一定是连续可调的，这时只要标准量与被测量的差别较小，那么它们的作用相互抵消的结果也会使指示仪表的误差对测量的影响大大减弱。（利用微差法可以达到很高的精度，即使测量精度不高。）D、微差法第7节系统误差

误差关系第7节系统误差

例：用微差法对标称值Ex=9V的电池进行测量，标准稳压源Es=9V，相对误差±0.2％；指示电压表A的相对误差±5％，当电压表A指示值为0.1V时，问该电池电压为多少？测量误差多大？本例说明，用误差为5％的电压表进行测量，可得0.3%的测量精确度。第7节系统误差

2、线性系差消除线性误差一般多随时间呈线性变化，因此将测量顺序对某一时刻对称地进行测量，再通过计算，可达到消除线性系差的目的。第7节系统误差

周期性系差一般出现在由圆周运动的情况下，多呈现正弦形式。因此，在相距180度的两个位置上做两次测量，取两次读数平均值，即可有效的消除周期性系差。3、周期性系差消除对于系差周期：所有时刻的测量值可写成：再经T/2时刻可得到两式相加即可消除系差可得第7节系统误差

第8节粗大误差

粗大误差：疏忽误差、过失误差。不能不知原因不加分析就轻易舍弃测量列中最大或最小的数据。对怀疑是粗大误差而又不明原因的数据，应按照统计学方法进行判别。第8节粗大误差

1.莱特准则——3σ准则最常用、最简单判别粗大误差的准则（有资料推荐n>50次）具体剔除办法：先计算，然后计算每次测量的残差剔除完后，重新按准则计算，直至没有数据剔除为止。若，则剔除 第8节粗大误差

2.肖维勒（chauvenet）准则以随机误差服从正态分布为前提，思路与莱特准则相似。若残差，则剔除该数据。肖维勒准则规定了一种确定的方法:显著度:第8节粗大误差

与莱特准则的区别：置信度与测量次数相关。数据量越大，判据越严格！将的误差中的最大一个剔除。重新计算，再次用肖维勒准则判断，直至全部符合判据。注意：肖维勒准则以大数据量为前提，n<10时，不适宜采用。莱特准则和肖维勒准则都是基于这个前提，n较小时都不可靠。第8节粗大误差

3.格罗布斯（grubbs）准则如果样本观测值中存在异常数据，它一定是最大值或最小值。将测量数据从小到大顺序排序（x(1)最小，x(n)最大）。构造异常值的检验统计量，通常可按照描述样本极值与样本主体之间的差异的原则来进行。第8节粗大误差

第8节粗大误差

4.罗曼诺夫斯基准则——t检验准则当测量次数较少时，按t分布的实际误差分布范围剔除粗大误差。先剔除一个可疑的测量值，然后按t分布检验是否含粗大误差。根据测量次数n和选取的显著度α，查t分布检验系数若，则剔除正确！如狄克松等其他准则，这些方法都是人为主观拟定，没有统一规定，都是以随机误差服从正态分布为前提，否则，可靠性受影响5.其他方法第8节粗大误差

第8节粗大误差

第8节粗大误差

(3)按格罗布斯准则（grubbs）按测得值大小排列：则：首先怀疑x(1)可能含有粗大误差：查表得：由于：因此第8个测量值含有粗大误差，应剔除余下的14个数据做同样的处理，直至没有粗大误差的数据。第8节粗大误差

第9节误差合成与分配

问题的提出：

误差？合成：间接测量如何得到结果的误差？分配：已知测量结果误差，如何分配单项误差？电压测量误差(如1.0级精度)电流测量误差(如0.5级精度)第9节误差合成与分配

一、误差的合成间接测量为各直接测量参数取全微分：误差较小时：误差传递公式（绝对误差形式）误差传递系数1、误差传递公式第9节误差合成与分配

由于：误差传递公式（相对误差形式）两端同除以y：第9节误差合成与分配

当测量函数为和、差关系，求总和绝对误差比较方便。当测量函数为积、商、开方、乘方关系时，求总和相对误差比较方便。第9节误差合成与分配

例1：例2：第9节误差合成与分配

系统误差分类按误差出现规律按对误差掌握程度定值系统误差变值系统误差已定系统误差：未定系统误差：线性系差周期系差复杂系差误差绝对值和符号已经确定误差绝对值和符号未能确定，但可估计出误差范围二、系统误差的合成第9节误差合成与分配

合成方法：（1）定值系差：（2）变值系差：不是常数，合成复杂，难以计算对于未定系差：通常按随机误差的合成方法。第9节误差合成与分配

三、随机误差的合成随机误差通常用标准差σ或极限误差δlim来表示，随机误差的合成主要是在一定测量条件下的标准差或极限误差的合成。第9节误差合成与分配

1、随机误差传递公式对xi多次重复测量n次：纵向归纳可得：第9节误差合成与分配

将以上各式一一平方后得：第9节误差合成与分配

将各式相加后再除以n得：第9节误差合成与分配

第9节误差合成与分配

由于相关系数为：代入上式：相关系数ρ反映了各随机误差分量相互间的关联对函数总误差的影响第9节误差合成与分配

若n适当大，且各测量值的随机误差相互独立时，相关系数ρij为零，则独立测量的合成误差为：第9节误差合成与分配

随机误差传递公式：（ρ=0）（ρ≠0）第9节误差合成与分配

2、随机误差的合成方法标准差合成极限误差合成随机误差的合成形式包括：第9节误差合成与分配

A、标准差合成

q个单项随机误差，标准差

误差传递系数

由间接测量的显函数模型求得根据实际经验给出知道影响测量结果的误差因素而不知道每个和第9节误差合成与分配

B、极限误差合成单项极限误差:

单项随机误差的标准差单项极限误差的置信系数合成极限误差:

合成标准差合成极限误差的置信系数合成极限误差计算公式单项极限误差第9节误差合成与分配

应用极限误差合成公式时，应注意：根据已知的各单项极限误差和所选取的各个置信系数，即可进行极限误差的合成各个置信系数、

不仅与置信概率有关，而且与随机误差的分布有关对于相同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数相同对于不同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数也不相同第9节误差合成与分配

当各个单项随机误差的数目q较多、各项误差相互独立时，此时合成的总误差接近于正态分布合成极限误差：若和各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，而且他们之间常是线性无关或近似线性无关，是较为广泛使用的极限误差合成公式时：此时第9节误差合成与分配

例1：，三个测量量相互独立，求结果的随机误差重复30次测量，重复8次测量，两个测量量独立。例2：求置信概率95%时的t分布正态分布第9节误差合成与分配

代入下式求解：项数q较小，且第2项误差不服从正态分布。故计算k时按t分布计算第9节误差合成与分配

3、误差间的相关关系和相关系数（1）误差间的线性相关关系误差间的线性关系是指它们具有线性依赖关系，这种依赖关系有强有弱，强弱关系由相关系数决定。正相关，一误差增大，另一误差的取值也增大负相关完全正相关完全负相关完全不相关第9节误差合成与分配

观察法：用多次测量的对应值（xi,xj）作图（2）相关系数的确定第9节误差合成与分配

b)简单计算法（点阵计算法）：（点数太少时不精确）第9节误差合成与分配

c)直接计算法：第9节误差合成与分配

四、系统误差与随机误差的合成不同性质的多项系统误差与随机误差的综合问题1、按标准差合成（只考虑未定系统误差和随机误差）设s个未定系统误差项，q个随机误差，误差的传递系数均为1，各误差之间互不相关，则测量结果总的标准差第i项已定系统误差的标准差第j项随机误差的标准差若n次重复测量，需除以次数n第9节误差合成与分配

2、按极限误差合成r个单项已定系统误差，误差值为s个单项未定系统误差，极限误差为q个单项随机误差，极限误差为若各误差传递函数均为1，且互不相关则：合成后总极限误差的置信系数各单项极限误差的置信系数第9节误差合成与分配

若各测量值是采用多次重复测量获得，合成中的随机误差项应除以n，而未定系统误差不具有此特点：第9节误差合成与分配

例：用TC328B型天平，3个标准砝码称一不锈钢球质量，一次称量得钢球质量M＝14.004g，分析测量结果的标准差。解：测量结果的主要误差分析如下：1、随机误差

天平示值变动性（如读数不准）所引起的误差，通过多次重复测量同一球的质量，用贝赛尔公式可计算σ1

（假设为0.05mg）；2、未定系统误差

标准砝码误差和天平示值误差，在给定条件下为确定值，但又不知道具体误差数值，而只知道误差范围（或标准差），故这两项误差均属未定系统误差。计算如下：

第9节误差合成与分配

①砝码误差:天平称量时所用的标准砝码有三个，即10g的一个，2g的两个，标准差分别为:故三个砝码组合使用时，质量的标准差为②天平示值误差该项标准差为:三项误差互不相关，且各个误差传递系数均为1，因此误差合成后可得到测量结果的总标准差为最后测量结果应表示为（１倍标准差）：

第9节误差合成与分配

五、误差分配

给定测量结果允许的总误差，合理确定各个单项误差，是误差合成的反问题（在误差分配时，随机误差和未定系统误差同等看待）。假设各误差因素皆为随机误差（已修正定系差），且互不相关，有：若已经给定，如何确定Di或相应的i,使其满足式中，称为部分误差，或局部误差第9节误差合成与分配

1、按等影响原则分配误差等影响原则：各分项误差对函数误差的影响相等，即由此可得：或用极限误差表示