垂径定理及其推论

垂直于弦的直径

问题:你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？

赵州桥主桥拱的半径是多少？创设情境：由此你能得到圆的什么特性？

可以发现：圆是轴对称图形。任何一条直径所在直线都是它的对称轴．

不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗?探究：探究：

如图,AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB,垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和弧?为什么?·OABCDE线段:AE=BE弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.题设结论（1）直径（2）垂直于弦｝｛（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧1垂径定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧CD⊥AB∵∴AE=BE,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.·OABCDE归纳：CD是直径MOACBN①直线MN过圆心②MN⊥AB③AC=BC④⑤垂径定理⌒AM=⌒MB⌒AN=⌒NB垂径定理的本质是满足其中任两条，必定同时满足另三条（1）一条直线过圆心（2）这条直线垂直于弦（3）这条直线平分弦（4）这条直线平分弦所对的优弧（5）这条直线平分弦所对的劣弧下列图形是否具备垂径定理的条件？是不是是不是OEDCAB深化：(4)若，CD是直径,则

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.(1)若CD⊥AB,CD是直径,则

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.(2)若AM=MB,CD是直径,则

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.(3)若CD⊥AB,AM=MB,则

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.1.如图所示:练习●OABCD└MAM=BM⌒⌒AC=BC⌒⌒AD=BDCD⊥AB⌒⌒AC=BC⌒⌒AD=BDCD是直径⌒⌒AC=BC⌒⌒AD=BD⌒⌒AC=BCCD⊥ABAM=BM⌒⌒AD=BD垂径定理的几个基本图形：CD过圆心CD⊥ABAE=BEAC=BCAD=BD巩固：1、如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不成立的是（）A、∠COE=∠DOEB、CE=DEC、OE=AED、BD=BC⌒⌒·OABECDC2、如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=

cm。·OABE解：连接OA，∵OE⊥AB∴∴AB=2AE=16cm3、如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。·OABE解：过点O作OE⊥AB于E，连接OA∴∴∴

⊙O的半径为5cm.cmABAE421==

已知⊙O的直径是10cm，⊙O的两条平行弦AB=6cm，CD=8cm，求弦AB与CD之间的距离。

.AEBOCD68101086.AEBOCDFEF有两解：8+6=14cm8-6=2cm54、如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1，AB=10，求直径CD的长。·OABECD

你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗?37.4m7.2mABOCD关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。ABOCD解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在的圆的圆心为O，半径为r.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与AB交于点C，则D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.∴AB=37.4m，CD=7.2m∴AD=1/2AB=18.7m，OD=OC-CD=r-7.2∵∴解得r=27.9（m）即主桥拱半径约为27.9m.⌒⌒1、两条辅助线：

半径、圆心到弦的垂线段归纳：2、一个Rt△：

半径、圆心到弦的垂线段、半弦·OABC3、两个定理：

垂径定理、勾股定理2垂径定理推论a推理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。∴

CD⊥AB,∵CD是直径，AE=BE⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.·OABCDE（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧讨论：上述五个条件中的任何两个条件作为题设，是否都可以推出其他三个结论.·OABDCE

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.垂径定理推论：(4)圆的两条平行弦所夹的弧相等。

MOACBN①直线MN过圆心③AC=BC②MN⊥AB④⑤⌒AM=⌒MB⌒AN=⌒NB垂径定理推论1推论1. (1)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。MOACBN②MN⊥AB③AC=BC垂径定理推论1①直线MN过圆心O④⑤⌒AM=⌒MB⌒AN=⌒NB推论1:

(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;MOACBN垂径定理推论1②MN⊥AB

③

AC=BC

④⌒AM=⌒MB①直线MN过圆心O⑤⌒AN=⌒NB推论1:

(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧

圆的两条平行弦所夹的弧相等。●OABCD●OABCDMM垂径定理推论2加强练习判断（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧()（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心()（3）圆中不与直径垂直的弦必不被这条直径平分()（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧()（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（）×√×