谱估计与谱第一章

谱估计与谱分析

——非参数化方法汇报人：

主要内容1.引言2.经典谱估计方法3.非参数化方法的性质1.引言功率谱密度的第一种定义：功率谱密度的第二种定义：以上两种定义是非参数化谱估计方法的依据2.经典谱估计方法

经典谱估计是建立在传统的傅立叶变换基础之上的。经典谱估计又可以分为两种方法：相关图法。1958年，Blackman和Tukey首先提出相关图法。周期图法1898年，Schuster在寻找太阳黑子数据中隐藏的周期性的研究工作中，提出了周期图法，但直到1965年提出FFT以后，周期图法才受到人们的重视。

2.1PSD估计周期图(Periodogram)法

周期图方法的依据是PSD的定义2。当我们只有采样时，忽略PSD定义2中的期望E和极限运算，就可以得到周期图谱估计器：

周期图谱估计器的重要用途之一就是判断时间序列中可能“隐含的周期性”（周期性是一种规律性）。这可能是“周期图”这一名称的由来。2.2PSD估计相关图(Correlogram)法

相关图法谱估计器是基于PSD的定义1得到的：式中rˆ(k)表示由采样{y(1),…,y(N)}得到的自协方差序列r(k)的估值。（1）两种rˆ(k)

•标准无偏ACS估计•标准有偏ACS估计

负延迟部分构成，利用特性：rˆ(−k)=rˆ*(k),k=0,…,N−1（2）有偏ACS估计最经常利用因为a.协方差函数一般衰减较快，所以大K时r(k)很小；

b.采样协方差rˆ(k)应半正定。有偏ACS估计可满足上述两个条件。1.3周期图和相关图谱估计器的等效性

当用标准的有偏ACS估计进行计算时，相关图谱估计与周期图谱估计一致。一个简单证明:考虑信号，即x(t)为一个传递函数为的滤波器在输入为一个单位方差白噪声条件下的输出。另一方面，注意y(k),k=1,…,N是固定的（非随机的）滤波器脉冲响应。3.周期图法的性质

3.1一个估计器用来表征其性能的两种度量：偏差和方差。a之估计aˆ的均方误差MSE3.2周期图/相关图谱估计偏差分析：（1）周期图和相关图的均值有偏自协方差序列ACS估计均值

（2）将表为两个序列乘积DTFT→两个序列各自DTFT的卷积

（3）窗及其作用

•窗的作用

（4）无偏ACS估计相关图谱估计

可见，(Fejer核)与(Dirichlet核)之间并无“实质性”差别。（5）希望什么样的窗？

希望尽可能接近φ(ω)→希望窗近似于一个Dirac脉冲。（6）周期图/相关图谱估计偏差的两个分量(i)主瓣有一定的宽度，不像Dirac脉冲。半功率(3dB)主瓣宽度，用ω表示为而，用表示则为；(ii)有大量旁瓣，也不像Dirac脉冲。（第一旁瓣高度-25dB；第一旁瓣高度-13dB）；(iii)周期图谱估计偏置两分量：模糊（Smearing）——非零主瓣宽度影响，泄漏（Leakage）——非零旁瓣高度影响。（7）周期图/相关图谱估计偏置分析：窗函数非零主瓣宽度影响

假设φ(ω)有两个峰值，频率f间隔小于。在E{φˆp(ω)}中由于φ(ω)与主瓣的卷积则不能分辨，将两个峰值变为一个宽峰值。这类主瓣对估计谱的影响称作模糊(Smearing)。主瓣模糊使得周期图/相关图方法不能分辨频率f间隔小于的细节；称之为周期图方法谱分辨限。（8）周期图/相关图谱估计偏置分析：窗函数非零旁瓣高度影响例如，φ(ω)中占优势的峰值可能通过与旁瓣的卷积导致一种估计谱φˆ(ω)，它在φ(ω)=0的频带中包含了功率(φˆ(ω)≠0)，这类旁瓣对估计谱的影响称作泄漏（Leakage）——将功率从集中的频带传递到小量或没有的频带。（9）峰值和平滑谱的模糊和泄漏

•对于有大幅值范围的谱（像peakyspectra），模糊和泄漏是特别重要的。•对于平滑谱(smoothspectra)，模糊和泄漏重要性要小。特别对于白噪声，周期图是一个无偏谱估计器：E{φp(ω)}=φ(ω)注意:估计量是一个随机量。无偏估计器指估计量均值等于待估计量真值。（10）周期图/相关图是一个渐近无偏谱估计器如果有可能增加N，φˆp(ω)中的偏差将随着N增加逐步消失。然而，周期图方法的主要问题是方差大。3.3周期图/相关图方差分析（1）周期图φˆp(ω)的有限采样方差和渐近方差（N>>1)•φˆ (ω)的有限采样方差只是在某些特殊情况下（像白高斯噪声情况）容易建立。

•φˆ (ω)的渐近方差（N>>1）可对更一般的信号导出：足以说明周期图的统计精度差。（2）高斯复/圆白噪声信号{e(t)}之φˆ(ω)的渐近方差/协方差（3）一般线性信号{y(t)}（有色噪声信号：高斯白噪声序列{e(t)}线性滤波（式中表示一个随机变量的二阶矩平方根，对于某些a>0的值，随着N→∞，趋向于0的速度至少为）3.4周期图/相关图是一个非一致谱估计器（1）对于相当一般的信号，周期图值是渐近地(N>>1)不相关随机变量，它的均值和标准偏差都等于真正的PSD值φ(ω)（2）周期图φˆ(ω)围绕着真正的PSDφ(ω)起伏（非0方差），甚至处理的采样长度N增至无限，依然如此。（3）周期图值φˆp(ω)对于大N值是不相关的，类似于白噪声的情况，使得周期图呈现一种erraticbehavior（飘忽不定的行为）——形成周期图方法作PSD估计的