课件课后习题答案-结构化学chaper

结构化学基础

主讲：潘梅苏成勇

中山大学化学与化学工程学院二〇〇八年个人简介教育背景98年，山东大学化学系，学士01年，山东大学晶体所，晶体材料国家重点实验室，硕士04年，中科院上海技术物理所，红外物理国家重点实验室，博士研究方向超分子结构化学－配位超分子的结构多样性和超分子异构材料物理与化学－金属超分子配合物及其纳米复合材料在发光、非线性光学、磁学等方面的性质和应用理论化学－超分子配合物结构和性质之间的关系研究和理论计算教师博客：

结构化学任务经典定义

结构化学是研究原子

、分子和晶体的微观结构，研究原子和分子运动规律，研究物质的结构和性能关系的科学。化学的新定义

化学是主要研究从原子、分子片、分子、超分子，到分子和原子的各种不同尺度和不同复杂程度的聚集态和组装态的合成和反应，分离和分析，结构和形态，物理性能和生物活性及其规律和应用的自然科学–徐光宪

从实验学科向理论学科的转变

1998年诺贝尔化学奖获得者Kohn和Pople认为：“量子化学已经发展成为广大化学家所使用的工具，将化学带入一个新时代，在这个新时代里实验和理论能够共同协力探讨分子体系的性质。化学不再是纯粹的实验科学了”

在自然科学中，探明物质的结构是理论研究的基础。用化学手段和方法研究物质结构的科学称为结构化学。当我们从自然界或实验室获得一种新的化学物质时，首要的任务是测定它们的详尽结构。结构化学还为我们分析化学物质的性质并进而进行人工合成打下基础。NobelPrizes---instructuralchemistry维兰德(1877～1957)德国化学家

1924年测定了胆酸及多种同类物质的化学结构，于1927年获奖。胆酸存在于动物胆汁中，在人体内帮助油脂的水解和吸收，降低血液中胆固醇含量H.费舍尔(1881～1945)德国化学家

1921至1929年测定了血红素结构，指出血红素参与生物体内氧的输送；1927至1939年确定了叶绿素的分子结构。于1930年获奖

德拜(1884～1966)美国物理化学家

1914年将X射线衍射技术用于测定化合物晶体的分子结构。此法的推广和应用，大大促进了结构化学的发展。于1936年获奖D.霍奇金(1910～1994)英国女化学家

1933至1956年用X射线衍射法测定了胆固醇、维生素B12、青霉素等生物化学物质的分子结构。于1964年获奖巴顿(1918～1998)英国化学家

40年代巴顿和哈塞尔提出了“构象分析”概念，用于研究分子特性与分子中原子的复杂空间三维结构之间的关系，对发展立体化学理论作出了贡献，于1969年获奖

NobelPrizes-instructuralchemistry赫兹伯格(1904～1999)加拿大物理化学家

1928至1971年运用光谱学阐明了多种分子的电子结构与运动，特别是在自由基的研究中取得了卓越成就，促进了物理化学、量子化学、天体物理学的发展。于1971年获奖卡尔(1918～)美国物理化学家

50年代初豪普特曼与卡尔合作开发了应用X射线衍射确定物质晶体结构的直接计算法，为分子晶体结构测定作出了开创性的贡献，于1985年获奖·豪普特曼(1917～)美国数学家利用显微影像重组技术探明的烟草花叶病毒的局部结构克卢格(1926～)英国生物化学家

1968年将电子显微镜和X射线衍射法两种技术结合起来，发明了显微影像重组技术，于1982年获奖。该技术为测定生物大分子结构开创了一条新路

Chemicalcrystallography

–singlecrystalanalysisStoeIPDSImagePlateDiffractionSystemsinglecrystalsize<0.5mmKappaCCDX-rayCrystallographyFacility

Chemicalcrystallography

–singlecrystalanalysis

DiffractionimagefromasinglecrystalStoeIPDSImagePlateDiffractionSystemChemicalcrystallography–powderanalysis

STADI-PStoePowderdiffractometerpowdersampleinglasscapillarypowderChemicalcrystallography–powderanalysisDiffractionimagefromapowder2-Theta,degx10Counts x105powderAssemblyofCoordinationNanotube[Hg4Cl8(bbimms)4](DMSO)2---NanotubeHollowTubularMetal-OrganicArchitecturesProtein结构化学学习怎样学

1．3+2+1原则3种理论：量子理论，化学键理论，点阵理论3种结构：原子结构，分子结构，晶体结构3个基础：量子化学基础，对称性原理基础，结晶化学基础2个因素：电子因素，空间因素1条主线：结构决定性能，性能反映结构2．理解为主，记忆为辅（预习---复习---总结)3．发展的观点

分子超分子，微观介观（纳米）宏观，相对论？光速不变？教学安排54学时，3学分。评定成绩办法:总评成绩=期中考×35%+期末考×45%+平时成绩×20%讲授办法：授课+实习+自学考试方式：闭卷，课程小结。教材和参考书目周公度、段连运：《结构化学基础》，北京大学出版社，2008年，第四版。徐光宪、王祥云：《物质结构》，高等教育出版社，1987年，第二版。潘道皑、赵成大和郑载兴：《物质结构》，高等教育出版社，1989年，第二版．倪行:《物质结构学习指导》，科学出版社，1999年。封继康，《基础量子化学原理》，高等教育出版社，1987年。周公度，《晶体结构测定》，科教出版社，1981年。江元生，《结构化学》，高等教育出版社，1997年。第一章量子化学基础知识1.1微观粒子的运动特征☆经典物理学遇到了难题

19世纪末，物理学理论（经典物理学）已相当完善：◆Newton力学◆Maxwell电磁场理论◆Gibbs热力学◆Boltzmann统计物理学

上述理论可解释当时常见物理现象，但也发现了解释不了的新现象

“物理学上空的两朵乌云”••••••••••••--------W.Thomson(开尔文勋爵）黑体辐射黑体是一种能全部吸收照射到它上面的各种波长辐射的物体。带有一微孔的空心金属球，非常接近于黑体，进入金属球小孔的辐射，经过多次吸收、反射、使射入的辐射实际上全部被吸收。当空腔受热时，空腔壁会发出辐射，极小部分通过小孔逸出。黑体是理想的吸收体，也是理想的发射体。当把几种物体加热到同一温度，黑体放出的能量最多。且对于不同温度的曲线，随温度增加，Ev增大，且其极大值向高频移动。高温物体辐射：IR--UV各种波长的光金属加热：金属色（热感）-红光–橙色–

白色-蓝白色经典解释：Rayleigh-Jeans（瑞利-金斯）-分子物理学的能量按自由度均分原则推得辐射强度公式，低频符合Wein（维恩）-假设辐射波长分布类似Maxwell的分子速度分布，高频符合Wien（维恩）曲线能量波长实验曲线Rayleigh-Jeans（瑞利－金斯）曲线黑体辐射能量分布曲线能量量子化–1900Planck黑体辐射能量做简谐振动，只发射或吸收频率为、数值为

=h

的整数倍的电磁能，发射能量可以等于0h

，1h

，2h

，…，nh（n为整数），出现概率比：频率为的能量振动的平均能量为：单位时间、单位表面积上辐射的能量T—黑体绝对温度(K、T=t+273k)C—光速(2.998×108m·s-1)h—普朗克常数，

6.626×10-34J·SK—波尔兹曼常数(Bolfzmann)，

1.380×10-23J·K-1

黑体辐射频率为的能量，其数值是不连续的，只能是hv的整数倍即能量量子化。Planck能量量子化假设的提出，标志着量子理论的诞生光电效应和光子学说光的本质

微粒说（Newton）：光直线行进，直线运动

波动说（Huygens）：光可以干涉、衍射，两束光可以交叉穿过而互不干扰，与实物有不可介入性不同，有动量、动能、空间连续分布19世纪Maxwell发展波动说，建立电磁波理论光电效应-光照在金属表面上，使金属发射出电子的现象。只有当照射光的频率超过某个最小频率（即临阈频率）时，金属才能发射光电子，不同金属的临阈频率不同。随着光强的增加，发射的电子数也增加，但不影响光电子的动能。增加光的频率，光电子的动能也随之增加。1905Einstein将能量量子化应用于电磁波，提出光子说。光是一束光子流，能量量子化，与频率成正比：

=h

光子有质量，不同频率光子有不同质量，光子静止质量为零。按相对论质能联系定律：光子有一定动量光的强度取决于光子的密度光电效应解释当hv<W时，光子没有足够的能量使电子逸出金属，不发生光电效应。当hv=W时，这时的频率是产生光电效应的临阈频率。当hv>W时，从金属中发射的电子具有一定的动能，它随的增加而增加，与光强无关。所以光具有波粒二象性

=h，p=h/,p粒性，

v,波性

频率为的光照到金属，金属中的电子受到一个光子的撞击，产生光电效应，光子消失，能量hv转移给电子，一部分用于克服金属缚束力，一部分表现为动能：W

脱出功，hv0Ek光电子动能，m2/2实物微粒的波粒二象性波粒二象性是微观粒子的基本特性，这里所指的微观粒子既包括静止质量为零的光子，也包括静止质量不为零的微粒，如电子、质子、原子和分子等。1924年deBroglie(德布罗意)受光的二象性启发，提出实物微粒的波粒二象性假设，三年后被C.J.Davisson（戴维孙）等人用电子衍射实验证实。deBroglie的假设内容有：

E=h，p=h/

这样实物微粒在以大小为p=mv的动量运动时，其波长

=h/p=h/m

此即deBroglie关系式，

为德布罗意波的波长。实物微粒的波粒二象性描述实物粒子与光子运动规律的有关计算公式：

实物粒子光子

比较上述两者公式可见，其主要差别在于：

1.光子的=c/

，c既是光的传播速度，又是光子的运动速度；实物粒子=u/，u是德布罗意波的传播速度（又称相速度），它不等于粒子的运动速度(又称群速度)，=2u。

2.光子：p=mc

，E=pc≠p2/2m

；实物粒子：p=mv

，E=p2/2m≠p

。实物微粒的波粒二象性实例1：

运动速度为1.0×106m·s-1的电子的deBroglie波波长为

这个波长相当于分子大小的数量级，说明原子和分子中电子运动的波效应是重要的。而宏观粒子，如质量为1.0×10-3kg的宏观粒子以1.0×10-2m·s-1的速度运动时，经计算=7.0×10-29m，观察不到波动效应。实例2：电子的运动=h/m，它由加速电子运动的电场电势差V（伏特）决定。若V=1000V,则=39pm，近似于X-ray的波长。单晶电子衍射完全类似于X-ray衍射，证明电子的波性。实物微粒的波粒二象性1927年以后，许多科学家相继进行了各种电子、中子、质子等微观粒子的衍射实验，充分证明了实物微粒具有波性。微粒波代表的物理意义：

实物微粒波的强度反映粒子出现概率的大小，称为概率波。 一切微观体系都是粒性和波性的统一。实物微粒波的应用：电子显微镜：分辨率决定于波长，~0.04Å，实际上由于透镜象差的限制，目前可分辨几个Å。电子衍射：e带电，与物体相互作用强，穿透性差，用于固体表面分析，研究腐蚀、催化等，也用于气体分子研究。中子衍射：含氢有机化合物分析。波粒二象性的统计解释4.1.3波粒二象性的统计解释大几率地带电子衍射图①许多相同粒子在相同条件下实验,粒子在同一时刻并不处在同一位置。②用单个粒子重复,粒子也不在同一位置出现。不确定性关系（测不准原理）(1901~1976)不确定度又称测不准关系或测不准原理，它是由微观粒子本质特征决定的物理量间相互关系的原理，它反映了微粒波的一种重要性质。因为实物微粒具有波粒二象性，所以从微观体系得到信息会受到某些限制。例如一个粒子不能同时具有确定的坐标和动量（即不能同时确定时间和能量）。测不准关系式的导出4D结论：对于微观粒子，不能同时用确定的位置和动量来描述。海森伯不确定关系：

有时也可用△x△px≥h／4表示。这就是不确定度关系式。它表明具有波性的粒子，不能同时有确定的坐标和动量，当它的某个坐标越精确，其相应的动量就越不确定，反之亦然。而两个量的不确定程度的乘积约为h的数量级。

同样，时间t和能量E的不确定度也有类似不确定度关系△E△t≥h／4

△E是能量在时间t1和t2时测定的两个值E1和E2之差，它不是能量在给定时刻的不确定量，而是测量能量的精确度△E与测定时间△t二者之间所应满足的关系。例：试比较电子和质量为10g的子弹位置的不确定量，假设它们在x方向都以速度200m/s运动，速度的不确定度在0.01%内。解：电子:子弹:例1．原子中电子运动不存在“轨道”设电子的动能Ek=10eV，平均速度v~v

轨道概念不适用!例2．威尔逊云室(可看到一条白亮的带状痕迹—粒子的径迹)＞＞p

用不确定性关系作数量级估算速度的不确定度若测出径迹的线度～10-4cm，则电子位置的不确定程度为Δx～

10-4cm于是动量的不确定程度为测出云室中的电子动能T

～108eV，所以电子动量（用非相对论估算）为

所以，威尔逊云室中，电子的坐标和动量的取值基本上可以认为是确定的，可以使用“轨道”的概念。

例3：关于原子核的组成(核半径＜10-12cm)解:如电子处在核中，则△x＜10-12,按不确定关系:∴它的动能这样电子无法束缚在原子核中一般L(粒子运动范围)＞＞λ是判断微观粒子是否可作为经典粒子处理的条件。

宏观物体在任意一时刻t，它的坐标x和动量px都有确定值，px＝m（dx／dt），经dt时间间隔后，粒子的位置变为

x＋dx＝x＋pxdt／m

因此在时间进程中，粒子沿着确定的轨道运动。而由不确定度关系可见，微观粒子的x和px不可能同时有确定值，正好说明它不存在确定的运动轨迹，这也是具有波性的微观粒子本质上区别于宏观物体的标志。比较微观粒子和宏观物体的特性，可见：

（1）测不准（两象性）：宏观物体同时具有确定的坐标和动量，可用牛顿力学描述；微观粒子没有同时确定的坐标和动量，需用量子力学描述。（2）统计性：宏观物体有连续可测的运动轨迹，可追踪各个物体的运动轨迹加以分辨；微观粒子具有概率分布的特性，不可能分辨出各个粒子的轨迹。（3）量子性：宏观物体可处于任意能量状态，体系能量可以是任意的、连续变化的数值；微观粒子只能处于某些确定的能量状态，能量只能是分立的，量子化的。（4）判别标准：不确定度关系对宏观物体无实际意义，在不确定度关系式中，Planck常数h可当作0；微观粒子遵循不确定度关系，h不能看作0。所以，可以用不确定度关系式作为区分宏观物体和微观粒子的判别标准。直径处于nm（纳米）量级的粒子，常出现既不同于宏观物体、又不同于微观粒子的特性，称为介观粒子。量子力学诞生了！为了解释经典力学不能解释的微观粒子波粒二象性、测不准原理等现象，以E.Schrödinger为代表的科学家们创立了量子力学。量子力学是描述微观体系运动规律的科学，它充分体现了微观粒子波性和粒性的统一及相互制约。量子力学的发展历程普朗克(1858～1947)德国物理学家。

1900年提出量子假说，1906年建立经典量子论的理论基础。量子论的诞生使物理学进入了一个新的时代。他因此于1918年获奖爱因斯坦(1879～1955)德裔美国物理学家

1905年提出了“光量子说”，于1921年获奖。他发展了量子理论，创立了相对论玻尔(1885～1962)丹麦物理学家，经典量子论和现代量子论的创立者之一。

1913年把量子化的概念引进原子结构理论，于1922年获奖。此后，他提出电子的波动模型与粒子性互补，使量子力学的发展由经典量子论进入现代量子论的阶段。德布罗意(1892～1987)法国物理学家

1924年首先提出电子和原子中的其他物质组成都具有波动性，并进而提出“通常”的物质也应具有波粒二象性的物质波思想。于1929年获奖量子力学海森堡(1901～1976)德国物理学家1925年建立了量子理论第一个数学描述—矩阵力学，1927年提出著名的“测不准原理”，为现代量子论的建立铺下了奠基石。于1932年获奖薛定谔(1887～1961)奥地利物理学家

1926年提出量子论的另一个数学描述—波动力学，波动力学与海森堡提出的矩阵力学被称为量子力学的“双胞胎”，是研究原子、分子等微观粒子的有力工具，并奠定了基本粒子相互作用的理论基础，于1933年获奖泡利(1900～1958)奥地利物理学家1924年提出了现代量子理论的最基本定律之一“不相容原理”，于1945年获奖

1927年10月召开的量子物理国际研讨会（一排左二普朗克，左三居里夫人，左五爱因斯坦；二排左三L.布拉格，左五狄拉克，左七德布罗意，左九玻尔；三排左六薛定谔，左九海森堡）。此时，正处于由经典量子论向现代量子论转变的时期。第二节量子力学基本假设

量子力学五大假设

量子力学包含几个基本假设，从它们及它们推导出的结论可以解释和预测大量实验事实。经过80年实践的考验，证明了这些假设的正确性。HΨ=EΨ波函数和微观粒子的状态假设Ⅰ

对于一个微观体系，它的状态和有关情况可用波函数（x，y，z，t）表示。是体系的状态函数，是体系中所有粒子的坐标函数，也是时间的函数。两粒子体系单粒子一维运动的波函数如果不考虑时间t的因素，则波函数（x，y，z，t）可以写为（x，y，z），称之为定态波函数。在本课程中主要讨论定态波函数，一般简写为。的意义

一般是复数形式：=f＋ig（f和g是坐标的实函数）。

的共轭复数形式：*

=f－ig因此*是正实数，有时用2代替*。在原子、分子等体系中，将称为原子轨道或分子轨道；将*

称为概率密度，也就是通常所说的电子云；

*

dτ为空间某点附近体积元dτ（≡dxdydz）中电子出现的概率。波函数和微观粒子的状态波函数有正负值：+，-号体现波函数波性，涉及状态函数（如原子轨道）的重叠。波函数奇偶性：

与状态跃迁有关波函数

必须满足的三个条件：

（1）波函数必须是单值的，即在空间每一点只能有一个值；

（2）波函数必须是连续的，即的值不出现突跃；对x，y，z的一级微商也是连续函数；

（3）波函数必须是平方可积的，即在整个空间的积分为一个有限数，通常要求波函数归一化，即∫*

dτ=1。

符合这三个条件的波函数称为合格波函数或品优波函数。偶函数奇函数物理量和算符假设Ⅱ

对一个微观体系的每个可观测的物理量，都对应着一个线性自轭算符。对某一函数进行运算操作，规定运算操作性质的符号称为算符，例如sin，log，d/dx等等。在量子力学中，为了和用波函数作为描述状态的数学工具相适应，以算符作为表示物理量的数学工具。体系的每个可观测的物理量和一个线性自轭算符相对应。d/dx是算符，作用是对变量x做一次微商。物理量和算符线性算符是指算符Â满足下一条件

自轭算符是指算符Â满足

或

例如：

则

量子力学需要用线性自轭算符，是为了使和算符对应的本征值能为实数。（2）动量的x轴分量px所对应的算符

将微分，得

物理量算符：

算符和波函数的关系是一种数学关系，通过算符的运算可获得有关微粒体系的各种信息。实践证明利用算符和波函数能正确地描述微观体系状态的性质。量子力学算符化规则：（1）时空、坐标的算符为本身

物理量算符位置x动量的x轴分量px角动量的z轴分量Mz=xpy-ypz动能T=p2/2m势能V总能E=T+V若干物理量对应的算符本征态、本征值和Schrödinger方程假设Ⅲ

若某一物理量A的算符Â作用于某一状态函数

，等于某一常数a乘以

， 即 Â

=a

那么对所描述的这个微观体系的状态，物理量A具有确定的数值a，a称为物理量算符Â的本征值，称为Â的本征态或本征波函数，上式称为Â的本征方程。自轭算符的本征值一定为实数，推导过程如下：本征态、本征值和Schrödinger方程基本假设：

两边取共轭：

由上两式可得：

自轭算符的定义：

故a为实数本征态、本征值和Schrödinger方程一个保守体系的总能量E在经典力学中用Hamilton(哈密顿)函数H表示，即

将算符形式代入，得Hamilton能量算符

利用能量算符，可以得到Schrödinger方程:Laplace算符其中，本征态、本征值和Schrödinger方程Schrödinger方程是决定体系能量算符的本征值和本征函数的方程，是量子力学中的一个基本方程。式中不含时间，这种本征态给出的概率密度，不随时间而改变，称为定态。这个本征态对应的本征值，就是该状态的能量。含时间的Schrödinger方程为本征态、本征值和Schrödinger方程对于一个微观体系，自轭算符Â给出的本征函数组

…形成一个正交、归一的函数组。归一是指粒子在整个空间出现的概率为1，即

正交是指(i≠j)

对正交的证明：

设有本征态、本征值和Schrödinger方程前式复共轭

由于

而

按自轭算符定义

所以物理意义：例如，同一原子的各原子轨道间不能形成有效重叠。态叠加原理假设Ⅳ

若1

，2

，…，n为某一微观体系的可能状态，则由它们线性组合所得的也是该体系可能存在的状态。

式中c1

，c2

，…，cn任意常数，称为线性组合系数，其数值大小反映i对的贡献。ci2表示i在中所占的百分数物理意义：例如，s轨道和p轨道线性组合得到的杂化轨道。态叠加原理本征态的物理量的平均值

设1

，2

，…，n对应的本征值分别为a1

，a2

，…，an，当体系处于状态并且已归一化时，A的平均值

体系在状态时，平均值<a>和物理量A的实验测定值相对应若状态函数不是物理量A的算符的本征态，当体系处于这个状态时，Â

≠a

，这时可用积分计算其平均值Pauli（泡利）原理假设Ⅴ

在同一原子轨道或分子轨道上，最多只能容纳两个电子，这两个电子的自旋状态必须相反，或者说两个自旋相同的电子不能占据同一轨道。这一假设在量子力学中通常表达为：描述多电子体系轨道运动和自旋运动的全波函数，对任意两粒子的全部坐标（空间坐标和自旋坐标）进行交换，一定得反对称的波函数。许多实验现象都证明了电子除轨道运动外还有其他运动。1925年S.Goudsmit（哥希密特）等提出电子自旋的假设，认为电子具有不依赖于轨道运动的自旋运动，具有固有的自旋角动量和相应的自旋磁矩。Pauli（泡利）原理描述电子运动状态的完全波函数，除了包括空间坐标（x，y，z）外，还应包括自旋坐标（ω），对一个具有n个电子的体系来说，其完全波函数应为

式中q是广义坐标，例如q1代表第1号粒子的4个坐标(x1，y1

，z1

，ω

1)。根据微观粒子的波性，相同的粒子是不可分辨的。

如两电子体系，(q1，q2)代表这个体系的状态，而

(q2

，q1)代表电子1和电子2交换坐标后的状态，若这个波函数的平方能经得起坐标q1和q2的对换，即就体现了不可分辨的要求。由此可得Pauli（泡利）原理描述电子运动状态的完全波函数除了包括空间坐标外，还应包括自旋坐标，对一个具有n个电子的体系，其完全波函数应为

Pauli原理指出：对于电子、质子、中子等自旋量子数s为半整数的体系（费米子），描述其运动状态的全波函数必须是反对称波函数，即倘若电子1和电子2具有相同的空间坐标(x1=x2，y1=y2

，z1=z2)，自旋相同(w1=w2)，可得:q1=q2

代入Pauli原理，得

Pauli（泡利）原理这个结论说明处在三维空间同一坐标位置上，两个自旋相同的电子，其存在的概率密度为零。Pauli原理的这一结果可引申出两个常用的规则：Pauli不相容原理

在一个多电子体系中，两个自旋相同的电子不能占据同一个轨道。也就是说，在同一原子中，两个电子的量子数不能完全相同。Pauli排斥原理

在一个多电子体系中，自旋相同的电子尽可能分开、远离。光子、介子、粒子等自旋量子数为整数的波色子，则要求对称波函数。波色子不受Pauli不相容原理的制约，多个波色子可以占据同一量子态，如激光。第三节箱中粒子的Schrödinger方程及其解本节以一维势箱中粒子为例，说明如何用量子力学的原理、方法和步骤来处理微观体系的运动状态及有关的物理量。一维势箱中粒子是指一个质量为m的粒子，在一维方向上运动，它受到如图所示的势能的限制。

V=∞V=0V=∞

0l

x箱中粒子的Schrödinger方程及其解粒子在箱子0~l之间，V=0，在箱子外部，V=∞。

当粒子在箱子内部时，Schrödinger方程为

移项，

由二阶齐次方程通解得箱中粒子的Schrödinger方程及其解根据品优函数的连续性的单值条件，当x=0时，应为0

由此可得c1=0。

当x=l时

由于c2不能为0，所以

箱中粒子的Schrödinger方程及其解n不能为0，所以

只有按上式取值的E，才能使成为连续的品优函数。因此，将粒子束缚在0~l之间的条件是：在这两点上波函数必须等于零，而这边界条件就使能量量子化。

再由归一化条件将E,c1,c2带入,箱中粒子的Schrödinger方程及其解结论：粒子可以存在多种运动状态，它们可由1,2,3,

···n等描述，其能量分别对应E1,E2,E3···

En。

箱中粒子的Schrödinger方程及其解一维势箱中粒子的能级，波函数及概率密度能量量子化

根据经典力学模型，粒子可在箱内各处运动，其能量可为零及零以上的任意数值。根据量子力学模型，能量只能按上述公式取分立的数值。在量子力学中，能量是量子化的，而经典力学中能量是连续的。存在零点能

经典力学中，箱中粒子能量最小值为零。按量子力学理论，箱中粒子能量的最小值h2/8ml2大于零，称为零点能。零点能的存在是不确定度关系的必然结果。能量最低的状态为基态，基态的能量即为零点能。没有经典运动轨道，只有概率分布。

按经典力学模型，对箱中粒子来说，所有位置都是一样的。但按量子力学模型，箱中各处粒子的概率密度是不均匀的，呈现波性。但这并不是说粒子本身像波一样分布，粒子在箱中没有经典的运动轨道，只是描述粒子在箱中运动状态及概率密度的函数的分布像波，并服从波动方程。存在节点，节点多，能量高。

在箱中的粒子由于呈现波性，可以为正值，可以为负值，也可以为零。

=0的点称为节点，其数目为n-1。▓上述这些微粒的特性，统称量子效应。随着粒子质量的增大，箱子的长度增长，量子效应减弱。当质量、长度增大到宏观的数量时，量子效应消失，体系变为宏观体系，其运动规律又可用经典力学描述。讨论粒子在箱中的平均位置（算符无本征值）

粒子的动量沿x轴的分量px（算符无本征值）粒子的动量平方px

2值（算符有本征值