第六章-线性代数方程组的直接法

第六章线性方程组的直接解法AX=b线性方程组线性方程组数值解法的分类直接法（适用于中等规模的n阶线性方程组）

◆

Gauss消去法及其变形

◆矩阵的三角分解法迭代法（适用于高阶线性方程组）

◆Jacobi迭代法

◆

Gauss-Seidel迭代法

◆逐次超松弛法

1．顺序高斯消去法

基本思想：通过消元将上述方程组化为三角形方程组进行求解。§1高斯消去法（6.1）

记即第一次消元：计算公式：第k次消元：计算公式：

经n-1次消元后，得与（6.1）等价的方程组为。即：（6.2）回代过程：顺序Gauss消去法可执行的前提注：当线性方程组的系数矩阵为对称正定或严格对角占优阵

时，按Gauss消去法计算是稳定的。定理1

给定线性方程组，如果n阶方阵的所有顺序主子式都不为零，即

则按顺序Gauss消去法所形成的各主元素均不为零，从而Gauss消去法可顺利执行。2．矩阵的三角分解高斯消元法的矩阵形式:

记其中记其中一般A

的

LU

分解定理2（矩阵的三角分解）设A为nn实矩阵，如果求解AX=b用顺序高斯消去法能完成（即），则矩阵A可分解为单位下三角矩阵L与上三角矩阵U的乘积，

A=LU且这种分解是唯一的。3、列主元Gauss消去法4．无回代过程的主元消去法(Gauss-Jordan)注：1.无回代的Gauss消元法实际上就是将方程组的系数矩阵化为行最简形矩阵。2.用高斯消去法将A化成上三角形，即A=LU

，则通过比较法直接导出L和

U的计算公式。思路§2矩阵的三角分解法LU分解求解线性方程组直接三角分解法解AX=b的计算公式对于r=2,3,…,n计算（2）计算U的第r行元素

（3）计算L的第r列元素

(r

n)(1)(4)(5)例用矩阵的三角分解法解方程组§3平方根法1．矩阵的LDR分解定理3如果n阶矩阵A的所有顺序主子式均不等于零，则矩阵A存在唯一的分解式A=LDR，其中L和R分别是n阶单位下三角阵和单位上三角阵，D是对角元素不为零的n阶对角阵，上述分解称为A的LDR分解。

2．平方根法如果A为对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异下三角矩阵，使A=LLT

，且当限定的对角元素为正时，这种分解是唯一的，称为矩阵A的cholesky分解。定理4（对称正定矩阵的三角分解或cholesky分解）将对称

正定阵

A

做LU

分解记为记D1/2=则仍是下三角阵，且有由A对称即则用平方根法解对称正定线性代数方程组的算法（1）对矩阵A进行Cholesky分解，即A=LLT，由矩阵乘法对j=1,2,…,n计算（2）求解下三角形方程组Ly=b

（3）求解LTx=y3．改进平方根法

其中改进平方根法解对称正定方程组的算法（1）

（2）

（3）

解下三角形方程组LDY=b得解上三角形方程组LTX=Y得§4解三对角方程组的追赶法其中定理5如果三对角矩阵A满足对角占优条件，即（1）（2）（3）则存在唯一的和，使得，其中下求

L和U

，令A=LU

，即有（1）（2）由得由得§5向量和矩阵的范数

1．向量的范数定义1设表示定义在上的一个实值函数,称之为的范数，它具有下列性质（3）三角不等式：即对任意两个向量，恒有

(2)齐次性：即对任何实数，(1)非负性：即对一切有

设，则有

（1）（2）（3）三个常用的范数：范数等价:设和是上任意两种范数，若存在常数使得,则称

和等价。定理6

定义在上的向量范数

是变量分量的一致连续函数。定理7

在上定义的任一向量范数

都与范数

等价，

即存在正数

与对一切，不等式成立。推论：

上定义的任何两个范数都是等价的。

对常用范数，容易验证下列不等式：

称为向量序列

的极限，或者说向量序列依坐标收敛于向量，记为。定义2设给定中的向量序列，其中若对任何都有，则向量

定理8

向量序列依坐标收敛于

的充要条件是向量序列依范数收敛与依坐标收敛是等价的。2．矩阵的范数（1）（2）对任意实数k和任意A有（3）对任意两个n阶矩阵A、B有（4）对任意两个n阶矩阵A、B，有定义3设

为定义在上的实值函数，若满足以下性质，称为上的一个矩阵范数：Frobenius范数:例如设，定义例证明这样定义的非负实数不是矩阵范数。证明：设从而注：1.若成立则称所定义的向量范数和矩阵范数是相容的。2.

设

是上的一个向量范数，相应的定义矩阵的非负实数则是上的矩阵范数，且满足相容性称这种矩阵范数为矩阵的算子范数。（Ⅰ）与相容的矩阵范数是（Ⅲ）与相容的矩阵范数是其中1为矩阵ATA的最大特征值。（Ⅱ）与相容的矩阵范数是上述三种范数分别称为矩阵的1-范数、2-范数和∞-范数。定理9

设n

阶方阵，则注:(1)

以上三种范数均为矩阵的算子范数，矩阵的

Frobenius范数不是算子范数。

(2)中的任意两个矩阵范数也是等价的。

(3)单位矩阵I的任何一种算子范数均为1。3．矩阵的范数与特征值之间的关系定理10

矩阵A

的任一特征值的绝对值不超过A的范数，即

定义4矩阵A的诸特征值的最大绝对值称为A的谱半径，记为并且如果A为对称矩阵，则

推论

设，则，并且如果A为对称矩阵，则。

为与之间的距离。定义5

设为

上的矩阵范数，称定义6设给定

中的矩阵序列，若则称矩阵序列收敛于矩阵，记为定理11

设，则由的各幂次得到的矩阵序列收敛于零矩阵（）的充要条件为

。

4.矩阵的条件数定义7

设矩阵为非奇异矩阵，则称

为矩阵

的条件数，其中是矩阵的算子范数。对矩阵的任意一个算子范数有(3)若，则。(2),k为非零常数;注:

与所取的范数有关。常用条件数有：cond(A)2cond(A)1cond(A)特别地，若A对称，则，其中是矩阵的特征值。定理12

设

，且，则相对误差放大因子§6线性方程组的性态和解的误差分析求解时，

和的误差对解有何影响？引理

若则为非奇异矩阵，且设精确，有误差(扰动)，设扰动后解为，有设精确，A有误差，设扰动后解为，有定理13

设

，且，如果则有注:1.只要A充分小，即时，上成立式。2.条件数是关键，是误差的放大因子，越大，则A越病态。例：Hilbert阵cond

(H2)=27cond

(H3)748cond

(H6)=2.9106cond

(Hn)asn注：现在用Matlab数学软件可以很方便求矩阵的条件数!定义8

设线性方程组的系数矩阵是非奇异的,如果cond(A)

越大,就称这个方程组越病态；反之,cond(A)越小,

就称这个方程组越良态.一般判断矩阵是否病态，并不计算条件数，而由经验得出：行列式很大或很小（如某些行、列近似相关）；元素间相差大数量级，且无规则；主元消去过程中出现小主元；特征值相差大数量级。历史与注记

高斯(CarlFriedrichGauss,1777-1855)高斯是德国数学家、物理学家、天文学家。1777年生于德国布伦瑞克，1855年在哥廷根逝世。高斯是近代数学奠基者之一，在历史上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之称。1795年进入格丁根大学学习。1798年转入黑尔姆施泰特大学，1799年获博士学位。

1807年以后一直在格丁根大学任教授和哥廷根天文台台长，一直到逝世。1833年和物理学家W.E.韦伯共同建立地磁观测台，组织磁学学会以联系全世界的地磁台站网。

高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都做出了开创性的贡献。高斯还把数学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究，他在数值计算方面的贡献主要有：提出了高斯消去法和高斯迭代法、高斯积分，发明了最小二乘法原理等。

1810年，高斯提出了消去法，矩阵是凯莱在1855年提出的，而将高斯消去表示成矩阵分解是在20世纪40年代由Dwyer、冯.诺伊曼等人提出的。参考文献

[1]J.H.Wilkinson.Erroranalysisofdirectmethodsofmatrixinversion.J.ACM,8:281-330,1961.[2]J.H.Wilkinson.RoundingErrorsinAlgebraicP