第三章 离散时间信号的傅里叶变换

第三章离散时间信号的傅里叶变换3.1连续时间信号的傅里叶变换3.2DTFT；3.3抽样定理；3.4DFS；3.5DFT；3.6DFT计算线性卷积；3.7DFT相关问题傅立叶变换是信号分析与处理的基本工具光的色散1.

傅立叶级数3.1连续信号的傅立叶变换周期信号展开为傅里叶级数的条件Dirichlet条件傅立叶系数是第次谐波的系数，所以在频率坐标轴上是离散的，间隔是。2.傅立叶变换：FT定义FS：

频谱密度单位频带内的频谱值请深刻理解FS和FT的定义，及它们的区别与联系！

对应连续非周期对应连续周期连续离散密度强度FTFSFT存在的必要条件：说法1：说法2：因为因为所以，如果是绝对可积的，那么它一定是平方可积的，但是反之不一定成立。例如，是平方可积的，但不是绝对可积的。所以，取更稳妥（即更严格）。周期信号：可以实现傅里叶级数的分解，属于功率信号；非周期信号：可以实现傅里叶变换，属于能量信号；那么，周期信号可否实现傅里叶变换?

在经典数学的意义上是不可实现的，但在引入了奇异函数后可以实现。周期信号FSFT密度FS强度例：令求其傅立叶变换。因为：所以，严格意义上的傅立叶变换不存在，可将其展开为傅立叶级数：现利用函数将作傅立叶变换：FSFT线谱

DiscreteTimeFourierTransform,DTFT3.2

离散时间信号的傅里叶变换DTFT和Z变换的关系！（一）定义1.

是离散的，所以变换需要求和；2.是的连续函数；3.是的周期函数，周期为；4.存在的条件是空间（二）特点可以看作是将在频域展开为傅立叶级数，傅立叶系数即是；5.DTFT7.由可以得到的幅度谱、相位谱及能量谱，从而实现离散信号的频频分析；6.是在单位圆上取值时的变换：8.反变换四种傅立叶变换:1.连续非周期连续非周期()FT2.连续周期

离散非周期

()

FS3.离散非周期连续周期（）DTFT4.离散周期离散周期DFS切实理解四种FT之间的对应关系

时域频域

四种傅立叶变换（三）性质如果是实信号，即Hermitian对称性时域卷积定理频域卷积定理！6.时域相关定理互相关：自相关：自相关函数的DTFT

始终是的实函数！DTFT7.Parseval’s定理

注意：Parseval’s定理有着不同的表示形式；：上述关系只对能量信号成立；：能量谱8.Wiener—Khinchin定理对功率信号，其自相关函数定义为：定义：功率谱说明：1.在内的积分等于信号的功率，所以称为功率谱，同理，为能量谱；2.始终是的实函数；3.相关函数和功率谱是随机信号分析与处理的主要工具，它们都需要靠“估计”得到，这就形成了丰富的“估值理论”。4.思考：由功率谱是否可以得到原信号？例1：（四）应用

越大，主瓣越窄函数过零点例2.信号截短：令：则：是周期的线谱，与卷积后，频谱将发生失真，影响其分辨率(Resolution)注意：所有有限长的信号都应看作一无限长的信号和一矩形窗相乘的结果。关键是对频域的影响。两个线谱和函数的卷积：窗函数频谱：峰值左、右第一个过零点之间的距离称为主瓣，主瓣外第一个峰值称为边瓣。我们希望主瓣的宽度越小越好，边瓣的幅度越小越好。若想分辨出两个谱峰，数据的长度：是矩形窗主瓣的宽度例3:低通高通相频？？？

上图中，a=0.6，该幅频响应具有低通特性，且|a|越接近于1，其幅频相应越尖。3.3抽样定理现研究信号抽样的数学模型：请掌握公式的推导！FTDTFT的性质周期延拓，无穷迭加迭加后可能产生的影响或要求：若保证相等则可保留全部信息即：抽样频率至少要等于信号最高频率的两倍。此即抽样定理。Nyquist抽样定理，或Shannon抽样定理如何保证？1.做频谱分析，了解的行为；2.使用抗混迭滤波器，限制的范围。：抽样频率；：折迭频率；如果抽样频率不满足要求，将出现频谱的混迭（Aliasing),将无法恢复原信号。如何由重建出？

工程上：使用D/A转换器；在满足抽样定理的情况下，的一个周期即等于，因此，可截取之。理论上：导出如下：其余为零插值函数插值公式

权Tsfs(t)tTsh(t)Tsf(t)卷积Fs(w)wmws1wcH(w)相乘F(w)wm如何对作频谱分析？因为是离散的，故频谱是周期的；因为是周期的，故频谱是离散的；

即：

的频谱应是离散的、且是周期的。但：是功率信号，不能直接作DTFT；3.4

离散傅立叶级数（DFS）周期序列显然：离散、非周期FS:离散化离散、周期简记为X(k)周期?即：是周期的，周期是，间隔是

是周期的，周期是，间隔是所以，各取一个周期，有：此即DFS!DFS中，仍取无穷长，实际上没必要！改为：此即DFT!从实际上，当我们在计算机上实现信号的频谱分析时，要求：时域、频域都是离散的；时域、频域都是有限长；FT、FS、DTFT、DFS都不符合要求但利用DFS的时域、频域的周期性，各取一个周期，就形成新的变换对：从原理上，和的各自一个周期即可表示完整的序列；但DFT并不是“第五种”傅立叶变换！为什么要由DFS过渡到DFT？

这一对式子，左、右两边都是离散的，有限长，因此可方便地用来实现频谱分析。但使用时，一定要想到，它们均来自DFS,即是和都是周期的！3.5

离散傅立叶变换（DFT）DFT的图形解释Z变换、DTFT、DFT的取值范围关系：DFT的性质：2.正交性正交阵3.循环移位

为实序列：4.奇、偶、虚、实对称性质复序列纯虚序列5.Parseval’s定理6.循环卷积线性卷积都是点序列当和DFT联系起来时，注意到都是以为周期的周期序列。移位时移进也有出。信号在一个域及其对应的变换域中的能量守恒原理

循环卷积定义为：点序列循环卷积定理NNDFT对应周期信号，所以，，及都是周期的！循环矩阵为什么有循环卷积？3.6用DFT计算线性卷积都是非周期如何用DFT来实现？DFT有快速算法存在什么矛盾DFT对应循环卷积补零补零DFTDFT相乘IDFT例：

没有全部进入，如何实现卷积全部进入再卷积，又如何保证实时实现长序列卷积的计算：数字信号处理的优势是“实时实现”，即信号进来后，经处理后马上输出出去。然而：？关键是将分段和卷积将分成段，每段长?Overlap—addmethod叠接相加法Overlap—savemethod叠接舍去法自己看书及使用MATLAB文件来掌握另外：较短（FIR：长度在20～50之间，IIR:尽管无限长，但有限长度要小于50），可能很长，也不适宜直接卷积。一、分辨率

分辨率问题是信号处理中的基本问题，包括频率分辨率和时间分辨率。

频率分辨率：通过频域窗观察到的频率宽度；时间分辨率：通过时域窗观察到的时间宽度；3.7

与DFT有关的几个问题

窗函数的“宽度”越小越好！窗函数的“宽度”能随信号的变化 自适应当调整！希望

频率分辨率又可定义为：将信号中两个靠的很近的谱峰区分开的能力。频率分辨率：一是取决于信号的长度，二是取决于频谱分析的算法。时间和频率是描述信号的两个主要物理量，它们通过傅里叶变换相联系。对FT:

设

长度为，则的分辨率？主瓣宽度反比于时间长度主瓣宽度反比于时间长度对DTFT:

设抽样间隔为，则

用计算机分析和处理信号时，信号总是有限长，其长度即是矩形窗的宽度，要想分辨出处的两个频谱，数据长度必须满足：这为数据长度的选择提供了依据。“物理分辨率”：取决于信号的有效长度。对矩形窗，，其他类型的窗函数，主瓣宽度的另一定义：3dB带宽的幅平方降到0.5（即3dB时频谱的宽度）对矩形窗，这一宽度约为频率分辨率限制为：物理分辨率不够小？增加的信号的长度N对DFT:此为相邻两点的频率间隔，也是最大分辨“细胞”。若要分辨出处的两个谱峰，必须大于。例：试确定将三个谱峰分开所需要的数据的长度。在本例中，最小的由有即要想分辨出这三个谱峰，数据的长度至少要大于1000，从DFT的角度看若令则下图，分别等于256和1024，可见，时无法分辨三个谱峰。使用DFT的步骤：DFT和线性卷积是信号处理中两个最重要的基本运算，有快速算法，且二者是“相通”的。

不变，若增加,“计算分辨率”不能提高分辨率！

不能提高分辨率，没有增加数据有效长度！例：令在正频率处应该有三根谱线。数据后补零的影响：为什么要补零？

数据过短，补零后可起到一定的插值作用；使数据长度为2的整次幂，有利于FFT。（几根谱线）补个零补7个零补29个零三个正弦二、DFT对FT的近似问题的提出：原：频谱：

抽样：频谱：