山东大学自动控制原理相平面法

自动控制原理课件17．3相平面法

相平面法是庞加莱(Poincare)于1885年首先提出的，它是一种求解二阶微分方程的图解法。相平面法又是一种时域分析法，它不仅能分析系统的稳定性和自振荡，而且能给出系统运动轨迹的清晰图象。这种方法一般适用于系统的线性部分为一阶或二阶的情况。27.3.1相平面法的基本概念

设一个二阶系统可以用下列常微分方程来描述：

令x=x1，dx/dt

=x2以x1为自变量，以x2为因变量的一阶微分方程。二阶系统常微分方程方程的解既可用x与t的关系来表示，也可用x2与x1的关系来表示。实际上，看作一个质点的运动方程，则x1(t)代表质点的位置，x2(t)代表质点的速度。3用x1、x2描述二阶系统常微分方程方程的解，也就是用质点的状态来表示该质点的运动。在物理学中，状态又称为相。把由x1—x2所组成的平面坐标系称为相平面，系统的一个状态则对应于相平面上的一个点。当t变化时，系统状态在相平面上移动的轨迹称为相轨迹。xx0t1t2t3t4x0tt1t2t4t3(x,x0)4绘制相平面图可以用解析法、图解法和实验法。

1.解析法解析方法一般用于系统的微分方程比较简单或可以分段线性化的方程。应用解析法求取相轨迹方程时一般有二种方法：一种是对式（7-35）直接进行积分。显然，这只有在上述方程可以进行积分时才能运用。另一种方法是先求出x和对t的函数关系，然后消去t，从而求得相轨迹方程。下面举例加以说明。7.3.2相平面图的绘制

而与不同初始状态对应的一簇相轨迹所组成的图叫做相平面图。利用相平面图分析系统性能的方法称为相平面法。5[例7-5]二阶线性系统当

=0时的微分方程式为对上式积分，便得相轨迹方程绘制相平面图。解：xx0xt06

2.图解法目前比较常用的图解法有两种：等倾线法和

法。下面介绍等倾线法。等倾线法的基本思想是采用直线近似。如果我们能用简便的方法确定出相平面中任意一点相轨迹的斜率，则该点附近的相轨迹便可用过这点的相轨迹切线来近似。设系统的微分方程式为式中dx/dx表示相平面上相轨迹的斜率。若取斜率为常数，则上式可改写成------等倾线方程7对于相平面上满足上式的各点，经过它们的相轨迹的斜率都等于a。若将这些具有相同斜率的点连成一线，则此线称为相轨迹的等倾线。给定不同的a值，则可在相平面上画出相应的等倾线。8利用等倾线法绘制相轨迹的一般步骤是：

(1)先求系统的等倾线方程；

(2)根据等倾线方程在相平面上画出等倾线分布图；在等倾线上各点处作斜率为a的短直线，则构成相轨迹的切线方向场。

(3)利用等倾线分布图绘制相轨迹。即从由初始条件确定的点出发，近似地用直线段画出到相邻一条等倾线之间的相轨迹。该直线段的斜率为相邻两条等倾线斜率的平均值。这条直线段与相邻等倾线的交点，就是画下一段相轨迹的起始点。如此继续做下去，即可绘出整个相轨迹曲线。9

[例7-6]

二阶线性系统的微分方程式为试用等倾线法绘制其相轨迹。故等倾线方程为解：由微分方程式可得或等倾线是过相平面原点的一些直线。当

=0.5、n=1时的等倾线分布图:10假设由初始条件确定的点为图中的A点。则过A点作斜率为[(1)+(1.2)]/2=1.1的直线，与a=1.2的等倾线交于B点。再过B点作斜率为的[(1.2)+(1.4)]/2=1.3直线，与a=1.4的等倾线交于C点。如此依次作出各等倾线间的相轨迹线段，最后即得系统近似的相轨迹。=1/(a+1)xxa=1，k=a=2，k=1a=3，k=1/2a=1231.21.462100.40.8ABC11

1）横坐标与纵坐标轴应选相同的比例尺，以便于根据等倾线斜率准确绘制等倾线上一点的相轨迹切线；

2）在相平面的上半平面，由于x>0，则x随t增大而增加，相轨迹的走向应是由左向右；在相平面的下半平面，由于x<0，则x随t增大而减小，相轨迹的走向应是由右向左；总之，相轨迹上的箭头方向总是按顺时针方向。

3）除平衡点（dx/dx=0/0）外，相轨迹与x轴的相交处切线斜率应为+或，即相轨迹与x轴垂直相交；

4）等倾线法的准确度，取决于等倾线的分布密度。为保证一定的绘制准确度，一般取等倾线的间隔以5~10为宜。

5）对于线性系统，等倾线是简单的直线。对于非线性系统，等倾线不再是简单的直线而是曲线。12

3.实验法对一个实际的系统，如果把x和x直接测量出来，并分别送入一个示波器的水平和垂直信号的输入端，便可在示波器上直接显示出系统的相轨迹曲线，还可以通过X—Y记录仪记录下来。用实验的方法，不仅可以求得一条相轨迹，并且也可以多次地改变初始条件而获得一系列的相轨迹，从而得到完整的相平面图。这对于非线性系统的分析和研究是极为方便的。137．3．3线性系统的相平面图

线性系统是非线性系统的特例，对于许多非线性一阶和二阶系统（系统中所含非线性环节可用分段折线表示），常可以分成多个区间进行研究，而在各个区间内，非线性系统运动特性可用线性微分方程描述；此外，对于非线性微分方程，为研究各平衡状态附近的运动特性，可在平衡点附近作增量线性化处理，即对非线性微分方程两端的各非线性函数作泰勒展开，并取一次项近似，获得平衡点处的增量线性微分方程。因此，研究线性一阶、二阶系统的相轨迹及其特点是十分必要的。下面研究线性一阶、二阶系统自由运动的相轨迹，所得结论可作为非线性一阶、二阶系统相平面分析的基础。14

1.线性一阶系统描述线性一阶系统自由运动的微分方程为相轨迹方程为相轨迹是位于过原点，斜率为1/T的直线。当T>0时，相轨迹沿该直线收敛于原点；当T<0时，相轨迹沿该直线发散至无穷。xx0xx015

2。线性二阶系统描述线性二阶系统自由运动的微分方程为相轨迹方程为线性二阶系统的特征根当c>0时，上述微分方程又可以表示为16其中k为等倾线的斜率。当b24c>0，且c0时，可得满足k=a的两条特殊的等倾线，其斜率为令，可得等倾线方程为该式表明，特殊的等倾线的斜率等于该等倾线上相轨迹任一点的切线斜率，即当相轨迹运动至特殊的等倾线上时，将沿着等倾线收敛或发散，而不可能脱离该等倾线。17

1）c<0。系统特征根s1，s2为两个符号相反的互异实根，s1

>0，s2<0，系统相平面图：由图可见，图中两条特殊的等倾线是相轨迹，也是其它相轨迹的渐近线，此外作为相平面的分隔线，还将相平面划分为四个具有不同运动状态的区域。因此，c<0时，线性二阶系统的运动是不稳定的。xx0182）c=0。系统特征根s1=0，s2=

b，相轨迹方程为运用积分法求得相轨迹方程相轨迹为过初始点，斜率为b的直线。当b>0时，相轨迹收敛并最终停止在轴上；当b<0时，相轨迹发散至无穷。xx0xx019

3）c>0。并分以下几种情况加以讨论：

①0<<1。系统特征根为一对具有负实部的共轭复数根。由时域分析结果知，系统的零输入响应为衰减振荡形式。相轨迹为向心螺旋线，最终趋于原点（参阅例7-6），系统相平面图:xx020②

>1。系统特征根为两个互异负实根，系统的零输入响应为单调形式，存在两条特殊的等倾线，其斜率分别为当初始点落在=s1x或=s2x直线上时，相轨迹沿着该直线趋于原点；除此之外，相轨迹最终沿着=s1x的方向收敛至原点。xxxxx0x=

s2xx=s1x21

③

=1。系统特征根为两个相等的负实根。与

>1相比，相轨迹的渐近线即特殊等倾线蜕化为一条，不同初始条件的相轨迹归结将沿着这条特殊的等倾线趋于原点，系统相平面图:xx022④

=0。系统特征根为一对纯虚根。系统的自由运动为等幅正弦振荡。给定初始点，系统的相平面图为围绕坐标原点的一簇椭圆