江苏专用2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.6双曲线课件理

§9.6双曲线基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.双曲线定义平面内到两个定点F1，F2的

等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做

，两焦点间的距离叫做

.集合P＝{M||MF1－MF2|＝2a}，F1F2＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当

时，P点的轨迹是双曲线；(2)当

时，P点的轨迹是两条射线；(3)当

时，P点不存在.知识梳理距离的差的绝对值双曲线的焦点双曲线的焦距2a<F1F22a＝F1F22a>F1F22.双曲线的标准方程和几何性质标准方程(a>0，b>0)(a>0，b>0)图形性质范围________________________________________对称性对称轴：

对称中心：_____顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线________________离心率e＝

，e∈_________，其中c＝_______x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a坐标轴原点(1，＋∞)性质实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A2＝

；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B2＝

；a叫做双曲线的

，b叫做双曲线的_________a、b、c的关系c2＝

(c>a>0，c>b>0)2a2b实半轴长虚半轴长a2＋b2知识拓展巧设双曲线方程(1)与双曲线

＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为

＝t(t≠0).(2)过已知两个点的双曲线方程可设为

＝1(mn<0).思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(

)(2)方程

＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.(

)(3)双曲线方程

＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是

＝0，即

＝0.(

)××√(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(

)(5)若双曲线

＝1(a>0，b>0)与

＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则

＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线).(

)√√考点自测1.(教材改编)若双曲线

＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为____.答案解析由题意得b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.2.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，AB＝

，则C的实轴长为____.答案解析4由题设C：

＝1.∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，∴a＝2，∴2a＝4.∴C的实轴长为4.3.(2016·无锡一模)已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y＝

，那么双曲线的离心率为_____.答案解析根据题意，设双曲线的方程为

＝1，即双曲线的离心率为.4.(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy中，双曲线

＝1的焦距是_____.答案解析由已知，a2＝7，b2＝3，则c2＝7＋3＝10，故焦距为2c＝.5.双曲线

－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于_____.答案解析双曲线的一个顶点坐标为(2,0)，一条渐近线方程是y＝

，即x－2y＝0，则顶点到渐近线的距离题型分类深度剖析题型一双曲线的定义及标准方程命题点1利用定义求轨迹方程例1

已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为__________________.答案解析x2－

＝1(x≤－1)几何画板展示如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得MC1－AC1＝MA，MC2－BC2＝MB，因为MA＝MB，所以MC1－AC1＝MC2－BC2，即MC2－MC1＝BC2－AC1＝2，所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于C1C2＝6.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－

＝1(x≤－1).命题点2利用待定系数法求双曲线方程例2

根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为

；解答设双曲线的标准方程为由题意知，2b＝12，e＝.∴b＝6，c＝10，a＝8.∴双曲线的标准方程为(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；解答∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.∴双曲线的标准方程为设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0).(3)经过两点P(－3,)和Q(，－7).解答∴双曲线的标准方程为命题点3利用定义解决焦点三角形问题例3

已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左，右焦点，点P在C上，PF1＝2PF2，则cos∠F1PF2＝___.答案解析∵由双曲线的定义有PF1－PF2＝PF2＝2a＝

，∴PF1＝2PF2＝

，几何画板展示引申探究1.本例中，若将条件“PF1＝2PF2”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？解答不妨设点P在双曲线的右支上，则PF1－PF2＝2a＝

，在△F1PF2中，由余弦定理，得所以PF1·PF2＝8，所以2.本例中，若将条件“PF1＝2PF2”改为“

＝0”，则△F1PF2的面积是多少？解答不妨设点P在双曲线的右支上，则PF1－PF2＝2a＝

，所以(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程.(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1－PF2|＝2a，运用平方的方法，建立与PF1·PF2的联系.(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值，如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为

＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可.思维升华跟踪训练1

(1)已知F1，F2为双曲线

＝1的左，右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则AP＋AF2的最小值为__________.由题意知，AP＋AF2＝AP＋AF1－2a，要求AP＋AF2的最小值，只需求AP＋AF1的最小值，当A，P，F1三点共线时，取得最小值，∴AP＋AF2的最小值为AP＋AF1－2a＝.答案解析几何画板展示(2)设F1，F2分别为双曲线

＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，双曲线上存在一点P使得PF1＋PF2＝3b，PF1·PF2＝

，则该双曲线的离心率为___.答案解析不妨设P为双曲线右支上一点，PF1＝r1，PF2＝r2.根据双曲线的定义，得r1－r2＝2a，又r1＋r2＝3b，故题型二双曲线的几何性质例4

(1)(2016·盐城三模)若圆x2＋y2＝r2过双曲线

＝1的右焦点F，且圆与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为A，B，当四边形OAFB为菱形时，双曲线的离心率为____.答案解析2若四边形OAFB为菱形，且点A在圆x2＋y2＝r2上，则点A坐标为()，此时r＝c.又点A在渐近线上，所以

，(2)(2015·山东)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：

＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为____.答案解析由题意，不妨设直线OA的方程为y＝

，直线OB的方程为y＝.设抛物线C2的焦点为F，则

，∵△OAB的垂心为F，∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，设C1的离心率为e，则双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝

满足关系式e2＝1＋k2.思维升华跟踪训练2

(2016·全国甲卷改编)已知F1，F2是双曲线E：

＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝

，则E的离心率为_____.答案解析离心率e＝

，由正弦定理得题型三直线与双曲线的综合问题例5

(2016·苏州模拟)已知椭圆C1的方程为

＋y2＝1，双曲线C2的左，右焦点分别是C1的左，右顶点，而C2的左，右顶点分别是C1的左，右焦点.(1)求双曲线C2的方程；解答设双曲线C2的方程为

＝1(a>0，b>0)，则a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.故C2的方程为

－y2＝1.(2)若直线l：y＝kx＋

与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且>2(其中O为原点)，求k的取值范围.解答将y＝kx＋

代入

－y2＝1，得(1－3k2)x2－

－9＝0.由直线l与双曲线C2有两个不同的交点，得∴k2≠且k2<1. ①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又∵>2，得x1x2＋y1y2>2，解得<k2<3，

②由①②得<k2<1.故k的取值范围为.(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程.当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定.(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验.思维升华跟踪训练3在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：

＝1.设过点M(0,1)的直线l与双曲线C交于A，B两点．若

，则直线l的斜率为___．答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入双曲线方程联立解得所以A(4,3)，B(－2,0)或A(－4,3)，B(2,0)，即直线l的斜率为±.典例已知双曲线x2－

＝1，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？直线与圆锥曲线的交点现场纠错系列10(1)“点差法”解决直线与圆锥曲线的交点问题，要考虑变形的条件.(2)“判别式Δ≥0”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的通用方法.错解展示现场纠错纠错心得返回解设点A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，且线段AB的中点为(x0，y0)，若直线l的斜率不存在，显然不符合题意.设经过点P的直线l的方程为y－1＝k(x－1)，即y＝kx＋1－k.得(2－k2)x2－2k(1－k)x－(1－k)2－2＝0(2－k2≠0). ①由题意，得

＝1，解得k＝2.当k＝2时，方程①可化为2x2－4x＋3＝0.Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解.∴不能作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P(1,1)是线段AB的中点.返回课时作业1.(2016·泰州联考)已知双曲线C：

＝1(a>0，b>0)的焦距为10，点P(2,1)在C的一条渐近线上，则C的方程为__________.答案解析依题意解得∴双曲线C的方程为

＝1.12345678910111213142.(2016·全国乙卷改编)已知方程

＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是________.答案解析∵方程

＝1表示双曲线，(－1,3)∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2<n<3m2，由双曲线性质，知c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2(其中c是半焦距)，∴焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1，∴－1<n<3.12345678910111213143.(2016·盐城模拟)已知双曲线

＝1的左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与该双曲线的右支交于A，B两点，若AB＝5，则△ABF1的周长为____.答案解析由双曲线

＝1，知a＝4.26由双曲线定义AF1－AF2＝BF1－BF2＝2a＝8，∴AF1＋BF1＝AF2＋BF2＋16＝21，∴△ABF1的周长为AF1＋BF1＋AB＝21＋5＝26.12345678910111213144.(2016·北京)已知双曲线

＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝____，b＝____.答案解析由2x＋y＝0，得y＝－2x，所以

＝2.1又c＝

，a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝2.212345678910111213145.已知点F是双曲线

＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是______.答案解析由题意易知点F的坐标为(－c,0)，A(－c，)，B(－c，)，E(a,0)，∵△ABE是锐角三角形，(1,2)∴e(e3－3e－3＋1)<0，∴e(e＋1)2(e－2)<0，解得e∈(0,2)，又e>1，∴e∈(1,2).整理得3e2＋2e>e4，12345678910111213146.(2016·浙江)设双曲线x2－

＝1的左，右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则PF1＋PF2的取值范围是________.答案解析如图，由已知可得a＝1，b＝

，c＝2，从而F1F2＝4，由对称性不妨设P在右支上，设PF2＝m，则PF1＝m＋2a＝m＋2，由于△PF1F2为锐角三角形，结合实际意义需满足解得－1＋

＜m＜3，又PF1＋PF2＝2m＋2，∴

＜2m＋2＜8.12345678910111213147.(2016·南京三模)设F是双曲线的一个焦点，点P在双曲线上，且线段PF的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为____.答案解析不妨设双曲线方程为

＝1(a>0，b>0)，设F(－c,0)，线段PF的中点为(0，b)，则P(c,2b).由点P在双曲线上，得

－4＝1，所以e＝.12345678910111213148.设双曲线

＝1的左，右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上位于第一象限内的一点，且△PF1F2的面积为6，则点P的坐标为_________.由双曲线

＝1的左，右焦点分别为F1，F2，所以F1F2＝6，设P(x，y)(x>0，y>0)，因为△PF1F2的面积为6，所以

F1F2·y＝

×6×y＝6，解得y＝2，将y＝2代入

＝1得x＝.所以P(，2).答案解析12345678910111213149.已知F1，F2分别是双曲线

＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M，使得

＝0(其中O为坐标原点)，且

，则双曲线的离心率为______.答案解析1234567891011121314在△MF1F2中，边F1F2上的中线等于F1F2的一半，可得

.∴根据双曲线定义得∴双曲线的离心率e＝

＋1.123456789101112131410.(2015·课标全国Ⅰ改编)已知M(x0，y0)是双曲线C：

－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若<0，则y0的取值范围是__________.答案解析由题意知a＝

，b＝1，c＝

，∵点M(x0，y0)在双曲线上，123456789101112131411.已知双曲线

＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF1＝4PF2，则此双曲线的离心率e的最大值为___.答案解析由定义，知PF1－PF2＝2a.又PF1＝4PF2，∴PF1＝

a，PF2＝

a.在△PF1F2中，由余弦定理，得要求e的最大值，即求cos∠F1PF2的最小值，∴当cos∠F1PF2＝－1时，得e＝

，即e的最大值为.123456789101112131412.(2015·课标全国Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－

＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A().当△APF的周长最小时，该三角形的面积为______.答案解析设左焦点为F1，PF－PF1＝2a＝2，∴PF＝2＋PF1，△APF的周长为AF＋AP＋PF＝AF＋AP＋2＋PF1，△APF周长最小即为AP＋PF1最小，当A、P、F1三点在一条直线时最小，过AF1的直线方程为

＝1，与x2－

＝1联立，解得P点坐标为()，此时123456789101112131413.(2016·江西丰城中学模拟)一条斜率为1的直线l与离心率为

的双曲线

＝1(a>0，b>0)交于P，Q两点，直线l与y轴交于R点，且

＝－3，

，求直线和双曲线的方程.解答1234567891011121314∵e＝

，∴b2＝2a2，设直线l的方程为y＝x＋m.∴双曲线方程可化为2x2－y2＝2a2.x2－2mx－m2－2a2＝0，∴Δ＝4m2＋4(m2＋2a2)>0，∴直线l一定与双曲线相交.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝2m，x1x2＝－m2－2a2.∴x1＝－3x2，∴x2＝－m，

＝－m2－2a2.1234567891011121314消去x2，得m2＝a2.

＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1＋m)(x2＋m)＝2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝m2－4a2＝－3，∴m＝±1，a2＝1，b2＝