海南大学电磁场与电磁波第四版第三章

第3章静态电磁场及其边值问题的解本章研究静态场的求解关系：*提供电位、矢磁位两个位函数，建立位函数与场源的关系以及在各种坐标系下的展开，整理基于位函数的边界条件表达*研究高斯定理、安培环路定律在求解一维场的应用*探讨位函数的求解方法（具有降低矢量求解的难度，扩大可求解的场域的作用），一些典型结构的结论*推导典型结构的电容、电感、电导计算*表达能量关系，提出能量密度函数，基于能量守恒定律提出电场、磁场力的计算关系（标性能量梯度的计算关系）注意本章处理问题时，求解观点的转换。*本章只讨论到3.3节，3.4等边值问题简略说明

本章内容

3.1

静电场分析

3.2

导电媒质中的恒定电场分析

3.3

恒定磁场分析

3.4

静态场的边值问题及解的惟一性定理(简略说明）

3.5

镜像法（略)3.6

分离变量法（略）

静态电磁场：场量不随时间变化，包括：

静电场、恒定电场和恒定磁场

时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立

3.1静电场分析

学习内容

3.1.1

静电场的基本方程和边界条件

3.1.2

电位函数

3.1.3

导体系统的电容与部分电容

3.1.4

静电场的能量

3.1.5

静电力（略）本课时要点：*回顾静电场的基本关系，引出位函数，明确电位函数与E矢量，与场源的相互关系*基于点电荷的电位表达处理场源明确已知且连续分布时的电位求解，一些相关题例*整理基于电位的边界条件表达，处理场源分布未知，场的作用结果已知时，基于泊松方程、拉普拉斯方程的静电场的求解关系，说明电位函数的作用*推导电容，对比各种不同的解法2.边界条件微分形式：本构关系：1.基本方程积分形式：或若分界面上不存在面电荷（两层理想介质），即ρS＝0，则或3.1.1静电场的基本方程和边界条件介质2介质1

在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的边界条件为

或

场矢量的折射关系

导体表面的边界条件

介质1导体结论：导体表面只有垂直分量，切线分量为零由即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数称为静电场的标量电位或简称电位。1.电位函数的定义（条件是无旋）3.1.2

电位函数关注几个问题：*引入电位函数的条件是什么？*点位函数与场源有什么关系？如何求解？*一维场典型结构的位函数*为什么说位函数能简化求解的难度、扩大可求解的场域范围场源场量媒质边界条件位函数位函数的引入需要明确三组关系：与E矢量的关系，与场源的关系,基于位函数的边界条件2.电位的表达式对于连续的体分布电荷，由面电荷的电位：故得点电荷的电位：线电荷的电位：连续电荷分布时是点电荷电位的标量积分上述式子使用条件是：场源分布明确已知，虽然标量电位的积分比直接求矢量E的积分相对容易，但也只能在特殊结构特殊场点处得到结果，仍然具有局限性。3.电位差两端点乘，则有将上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得关于电位差的说明

P、Q两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至Q点所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处；电位差也称为电压，可用U表示；电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。P、Q两点间的电位差电场力做的功

静电位不惟一，可以相差一个常数，即选参考点令参考点电位为零电位确定值(电位差)两点间电位差有定值

选择电位参考点的原则

应使电位表达式有意义；应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无限远作电位参考点；同一个问题只能有一个参考点。4.电位参考点

为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即简略说明相关题例：（电偶极子，注意泰勒展开和近似处理）

例3.1.1

求电偶极子的电位.

解在球坐标系中用二项式展开，由于，得代入上式，得

表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。+q电偶极子zod－q将和代入上式，解得E线方程为

由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度等位线电场线电偶极子的场图

电场线微分方程：

等位线方程：

解选定均匀电场空间中的一点o为坐标原点，而任意点P的位置矢量为r，则若选择点o为电位参考点，即，则

在球坐标系中，取极轴与的方向一致，即，则有

在圆柱面坐标系中，取与x轴方向一致，即，而，故

例3.1.2（略）

求均匀电场的电位分布。xyzL-L

解

采用圆柱面坐标系，令线电荷与z轴相重合，中点位于坐标原点。由于轴对称性，电位与无关。在带电线上位于处的线元，它到点的距离，则

例3.1.3求长度为2L、电荷线密度为的均匀带电线的电位。

在上式中若令，则可得到无限长直线电荷的电位。当时，上式可写为当时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限区域内，而将电位参考点选在无穷远点之故。这时可在上式中加上一个任意常数，则有并选择有限远处为电位参考点。例如，选择ρ=a

的点为电位参考点，则有在均匀介质中，有5.

电位的微分方程（电位与场源的关系）在无源区域，标量泊松方程拉普拉斯方程注意：均匀媒质条件，两阶微分算符的含义是梯度的散度。式子的具体坐标系的展开应用是本章重要的考点论证此结果，具体使用视电位的实际分布情况取舍如平板电容：（一维场）obaxy两块无限大平行板通解同轴线对于同轴线：6.静电位的边界条件

设P1和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为1和2。当两点间距离⊿l→0时

若介质分界面上无自由电荷，即导体表面上电位的边界条件：由和媒质2媒质1常数，

例3.1.4两块无限大接地导体平板分别置于x=0和x=a处，在两板之间的x=b处有一面密度为

的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。

解在两块无限大接地导体平板之间，除x=b处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程方程的解为obaxy两块无限大平行板利用边界条件，有

处，最后得

处，

处，所以由此解得此题场源分布未知，场的作用结果体现在边界条件上已知，寻找满足媒质所决定的电位通解有符合边界的特解成为基本手段，电位函数的使用，扩大了可求解的场域本课时要点：*处理电位函数的相关习题：习题3.4，3.5，3.7*明确电容计算的五种观点，针对例3.3.1.5展开，交代其他结构的结果，交代部分电容的概念*讨论静电场的能量关系，提出能量密度函数，具有电能表达处理单导体系统的电容计算，处理静电力的计算（虚拟位移法）*总结静电场的场图相互关系，明确求解方向*对比恒定电场与静电场无源区域的基本方程，明确类比关系，习题3.4：下列函数是否是无源区域的电位函数表达习题3，5半径为R0的介质球，介电系数为，其内均匀分布有体密度为的自由电荷，证明其介质球中心点的电位为解法一：常规解法，电荷量高斯定理球内外的E矢量球面电位球心电位解法二：介质球外为无源区域，确定满足拉普拉斯方程一维径向场的通解。介质球内为有源区域，确定一维径向场的通解，介质球内为有源区域，确定满足泊松方程的通解。利用如下四个边界条件求球内外电位函数的定解，得出球心电位。根据两层理想介质间的边界条件即：解法二是对电位问题的综合练习，微分方向求电位的通解、特解是一种突破电容器广泛应用于电子设备的电路中：在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁路、选频等作用；通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂电路；在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以减少电能的损失和提高电气设备的利用率；

3.1.3导体系统的电容与部分电容（主要讨论单导体的一维场结构）

电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统储存电荷能力的物理量。

孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位的比值，即1.电容（五种方法）

孤立导体的电容

两个带等量异号电荷（q）的导体组成的电容器，其电容为

电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。电容求解的五种思路关于电容的其他计算方法：解法三：视为已知结构电容的串并联解法四：利用单导体的电能密度解法五：与同等结构的电导做类比，置换对应的场量每种解法均要注意场量的变换关系(1)假定两导体上分别带电荷+q和-q；

(2)计算两导体间的电场强度E；

计算电容的常规步骤（结合例3.1.5对比）(4)求比值，即得出所求电容。(3)由 ，求出两导体间的电位差；

解：设内导体的电荷为q，则由高斯定理可求得内外导体间的电场同心导体间的电压球形电容器的电容当时，

例3.1.4

同心球形电容器的内导体半径为a、外导体半径为b，其间填充介电常数为ε的均匀介质。求此球形电容器的电容。孤立导体球的电容

例3.1.4如图所示的平行双线传输线，导线半径为a，两导线的轴线距离为D，且D>>a，求传输线单位长度的电容。

解设两导线单位长度带电量分别为和。由于，故可近似地认为电荷分别均匀分布在两导线的表面上。应用高斯定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点P的电场强度为两导线间的电位差故单位长度的电容为

例3.1.5同轴线内导体半径为a，外导体半径为为b，内外导体间填充的介电常数为的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。内外导体间的电位差

解法一：设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为和，应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为故得同轴线单位长度的电容为同轴线解法二;根据边界条件：

电容结果必须为正例4.1.4平行双线的电容表达例4.1.5同轴线的电容的电容表达都是单位长度下的结果，是一种分布参数思考：此电容表达对什么结构的波仍成立？2＊

部分电容（多导体系统，讨论略）

在多导体系统中，任何两个导体间的电压都要受到其余导体上的电荷的影响。因此，研究多导体系统时，必须把电容的概念加以推广，引入部分电容的概念。多导体存在部分电容，多导体间为等效电容，其结果主要基于测试

在多导体系统中，把其中任意两个导体作为电容器的两个电极，设在这两个电极间加上电压U，极板上所带电荷分别为，则比值称为这两个导体间的等效电容。（4）等效电容如图所示，有三个部分电容导线1和2间的等效电容为导线1和大地间的等效电容为导线2和大地间的等效电容为12大地大地上空的平行双导线

如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过程中外加电源所作的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能量就等于外加电源在此电场建立过程中所作的总功。

静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量

静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有能量。

任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终电荷分布的建立(或充电)过程。在此过程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而作功。3.1.4静电场的能量

观点：静电场的能量来自于建立导体系统时电源克服电场的斥力所做的机械功的储存引入Q1电荷时不做功距离r1r2距离r3引入Q2电荷时电源需克服q1的斥力做功W12引入Q3电荷时电源需克服q1,q2的斥力做功W13,W231.静电场的能量(连续分布时）

设系统从零开始充电，最终带电量为q、电位为

。充电过程中某一时刻的电荷量为αq、电位为α。(0≤α≤1)

当α增加为(α+dα)时，外电源做功为:α(qdα)。对α从0到1积分，即得到外电源所做的总功为

根据能量守恒定律，此功也就是电量为q的带电体具有的电场能量We，即

对于电荷体密度ρ为的体分布电荷，体积元dV中的电荷ρdV具有的电场能量为故体分布电荷的电场能量为对于面分布电荷，电场能量为对于多导体组成的带电系统，则有——

第i个导体所带的电荷——

第i个导体的电位式中：2.电场能量密度（基于场量表达式）

从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。

电场能量密度：

电场的总能量：积分区域为电场所在的整个空间

对于线性、各向同性介质，则有由于体积V外的电荷密度ρ＝0，若将上式中的积分区域扩大到整个场空间，结果仍然成立。只要电荷分布在有限区域内，当闭合面S无限扩大时，则有故

推证：ρρ＝0S

例3.1.5的解法三：基于电能密度

单位长度电荷已知，根据高斯定理求得电场强度

以三种观点讨论习题3.9的电容

以三种观点求如下结构的电容：（上下各一半，填充两种介质）同轴线

已知带电体的电荷分布，原则上，根据库仑定律可以计算带电体电荷之间的电场力。但对于电荷分布复杂的带电系统，根据库仑定律计算电场力往往是非常困难的，因此通常采用虚位移法来计算静电力。

虚位移法：假设第i个带电导体在电场力Fi的作用下发生位移dgi，则电场力做功dA＝Fidgi，系统的静电能量改变为dWe。根据能量守恒定律，该系统的功能关系为其中dWS是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。

具体计算中，可假定各带电导体的电位不变，或假定各带电导体的电荷不变。3.1.5静电力（略）虚拟位移处理静电力计算避免了库仑力的多重矢量积分，转换为能量的标性问题例3.1.7

有一平行金属板电容器，极板面积为l×b，板间距离为d，用一块介质片（宽度为b、厚度为d，介电常数为ε）部分填充在两极板之间，如图所示。设极板间外加电压为U0，忽略边缘效应，求介质片所受的静电力。所以电容器内的电场能量为由可求得介质片受到的静电力为

解平行板电容器的电容为部分填充介质的平行板电容器dbU0lx由于ε>ε0，所以介质片所受到的力有将其拉进电容器的趋势

此题也可用式来计算q不变设极板上保持总电荷q不变，则由此可得由于同样得到讨论习题3.10本课时要点：*整理恒定电场的基本方程，与静电场比较，明确场量的类比关系*明确电导的计算计算方向*了解磁场矢磁位引入的条件，矢磁位与场量、场源的关系，明确矢磁位的特点*整理场源一维分布的长直导线，圆环的矢磁位的结果*讨论例3.2.1，习题3.11，3.12，3.13，*讨论例;3.3.1,例3.3.2等题例3.2导电媒质中的恒定电场分析

由J＝E可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生的电场称为恒定电场。恒定电场直接的源是电流J，隐含的源是未知的恒定电荷分布

恒定电场与静电场重要区别：（1）恒定电场可以存在导体内部。导体在静电场中内部无场量（2）恒定电场中有电场能量的损耗,要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。静电场无需外部电源维持

恒定电场和静电场都是有散无旋场，具有相同的性质。3.2.1恒定电场的基本方程和边界条件1.基本方程

恒定电场的基本方程为微分形式：积分形式：

恒定电场的基本场矢量是电流密度J（r)和电场强度

线性各向同性导电媒质的本构关系

恒定电场的电位函数由若媒质是均匀的，则均匀导电媒质中没有体分布电荷均匀导电媒质2.恒定电场的边界条件媒质2媒质1

场矢量的边界条件即即

导电媒质分界面上的电荷面密度场矢量的折射关系均匀媒质中恒定电场的源是若

电位的边界条件

恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场既有法向分量又有切向分量，电场并不垂直于导体表面，因而导体表面不是等位面；

说明：媒质2媒质1媒质2媒质1

如2>>σ1、且2≠90°，则1＝0，即电场线近似垂直于与良导体表面。此时，良导体表面可近似地看作为

等位面；

若媒质1为理想介质，即1＝0，则

J1=0，故J2n=0且

E2n=0，即导体中的电流和电场与分界面平行。3.2.2恒定电场与静电场的比拟

如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场的方法称为比拟法。恒定电场与静电场（无源区域）的比拟基本方程静电场（区域）本构关系位函数边界条件恒定电场（电源外）对应物理量静电场恒定电场

工程上常在电容器两极板之间，同轴电缆的芯线与外壳之间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压U时，必定会有微小的漏电流J存在。

漏电流与电压之比为漏电导，即其倒数称为绝缘电阻，即3.2.3漏电导单位长度，分布参数(1)假定两电极间的电流为I；计算两电极间的电流密度矢量J；由J=E得到E;

由，求出两导体间的电位差；(5)求比值，即得出所求电导。

计算电导的方法一：

计算电导的方法二：(1)假定两电极间的电位差为U；

(2)计算两电极间的电位分布；

(3)由得到E;(4)由J=E

得到J;(5)由 ，求出两导体间电流；

(6)求比值，即得出所求电导。

计算电导的方法三：静电比拟法：解法一的场量变换关系：解法二的场量变换关系：

例3.2.1

解法一：求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为a、b，长度为l

，其间媒质的电导率为σ、介电常数为ε。解：直接用恒定电场的计算方法电导绝缘电阻则设由内导体流向外导体的电流为I。解法二：参见例3.1.5的解法二解法三：与例3.1.5的结果类比注意;电导的结果应为正，有些结构只支持特定的解法，单位长度意味着分布参数如：如;习题3.11填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a，外导体半径为c，介质的分界面半径为b。两层介质的介电常数为1和2

、电导率为

1和2

。设内导体的电压为U0

，外导体接地。求：（1）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（2）同轴线单位长度的电容及漏电阻。外导体内导体介质2介质1Eｚ＝０

（1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为I,则由

可得电流密度介质中的电场：

解电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量，所以电流密度成轴对称分布。可先假设电流为I，由求出电流密度的表达式，然后求出和，再由确定出电流I。法线J连续故两种介质中的电流密度和电场强度分别为由于于是得到（２）根据电导为此问题也可利用已知结构的电容表达置换对应的场量后，电导为方程通解为

习题3.１３的（３）在一块厚度h的导电板上，由两个半径为r1和r2的圆弧和夹角为0的两半径割出的一段环形导电媒质，如图所示。计算沿方向的两电极之间的电阻。设导电媒质的电导率为σ。

解：设在沿方向的两电极之间外加电压U0，则电流沿方向流动，而且电流密度是随变化的。但容易判定电位只是变量的函数，因此电位函数满足一维拉普拉斯方程代入边界条件可以得到环形导电媒质块r1hr20σ电流密度两电极之间的电流故沿方向的两电极之间的电阻为所以习题３.１２在电导率为的无限大均匀介质内，有两个半径分别为和的理想导体小球，两小球之间的距离为，试求两个小导体球之间的电阻先高斯定理＋叠加原理求电容，置换对应场量得电阻两个导体球的电荷量已知，小球Ａ点的电位为电位差为：小球Ｂ点的电位为：将电荷置换为电流Ｉ，介电系数即可得电阻：3.3.1恒定磁场的基本方程和边界条件3.3.2

恒定磁场的矢量磁位和标量磁位（重要）3.3.3

电感3.3.4

恒定磁场的能量3.3.5

磁场力（略）

3.3恒定磁场分析矢磁位是求解线天线结构的突破口*本节回顾恒稳磁场的基本关系，引入矢磁位函数。*了解磁场矢磁位的特点，明确矢磁位与场量、场源的关系。*整理场源一维分布的长直导线，圆环的矢磁位的结果*计算自感、互感，对比常规解法和基于矢磁位的解法微分形式:1.基本方程2.边界条件本构关系：或若分界面上不存在面电流，即JS＝0，则积分形式:或3.3.1恒定磁场的基本方程和边界条件（回顾）

矢量磁位的定义

磁矢位的任意性与电位一样，磁矢位也不是惟一确定的，它加上任意一个标量的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即由即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。

磁矢位的任意性是因为只规定了它的旋度，没有规定其散度造成的。为了得到确定的A，可以对A的散度加以限制，在恒定磁场中通常规定，并称为库仑规范。1.恒定磁场的矢量磁位矢量磁位或称磁矢位只规定了旋度，散度没有约束

3.3.2恒定磁场的矢量磁位和标量磁位

磁矢位的微分方程在无源区：泊松方程，A与矢量J同方向矢量拉普拉斯方程

磁矢位的表达式

磁矢位的边界条件由此可得出（可以证明满足）对于面电流和细导线电流回路，磁矢位分别为面电流：细线电流：

利用磁矢位计算磁通量：矢磁位的特点是与电流同方向.场源一维分布时，上式表明，先积分再旋度时积分的维数少，而先X乘再积分则积分的维数多，对于线分布：整理两个基本结果：圆环和长直导线对比如下式子

例

3.3.1求小圆环电流回路的远区矢量磁位与磁场。小圆形回路的半径为a，回路中的电流为I。

解如图所示，由于具有轴对称性，矢量磁位和磁场均与无关，计算xz平面上的矢量磁位与磁场将不失一般性。小圆环电流aIxzyrRθIP距离对于远区，有r>>a

，所以（泰勒展开）由于在=0面上，所以上式可写成于是得到球坐标下的表达式中S=πa2是小圆环的面积。

载流小圆环可看作为磁偶极子，为磁偶极子的磁矩（或磁偶极矩），则或此结果表明，采用矢磁位，可求解的场域从圆环轴线上，扩大到整个场域解：先计算长度为2L的直线电流的磁矢位。电流元到点的距离。则

例3.3.2求无限长线电流I的磁矢位，设电流沿+z方向流动。与计算无限长线电荷的电位一样，令可得到无限长线电流的磁矢位xyzL-L上式利用了如下定积分利用了泰勒展开对此结果的验算：无限长直导线用安培定律的结果为用矢磁位的结果为结论是一致的，正确的矢磁位的意义在于利用矢磁位与电流同方向的特点，叠加方便，对如下结构的求解较为简便补充题：通有电流I的两无限长直导线，电流相反，线间距为2a，求场点（x，y,0)处的B矢量eyezexaI-aP(x,y,0)右边导线电流为I，到场点的距离为在场点处的矢磁位为：左边导线电流为-I，到场点的距离为场点处的好处矢磁位为则场点的B矢量为：同理：综合上述题例：场源一维分布时，利用矢磁位辅助求解，扩大了看求解的场域，简化了计算2.恒定磁场的标量磁位（用于无源区域）一般情况下，恒定磁场只能引入磁矢位来描述，但在无传导电流（J＝0）的空间中，则有即在无传导电流（J＝0）的空间中，可以引入一个标量位函数来描述磁场。

标量磁位的引入标量磁位或磁标位

磁标位的微分方程(均匀线性各向同性介质磁场并不是处处有旋的，无源区域仍可引入标磁位，先求标磁位，在计算H矢量。电流回路的标磁位为进一步的讨论略磁场场量的计算有五种基本观点：*场量一维对称分布，可用安培环路定律求解*矢量积分求场量*场源一维分布可先求矢磁位，在计算场量*任意小电流回路远场区，可先求磁矩，在求矢磁位和场量*无源区域可利用标磁位电感包括：导体内部的内自感，导体外部的外自感和两个导体回路间的互感等部分

3.3.3电感要了解其定义和计算方向，电感的结果应为正。1.磁通与磁链

单匝线圈形成的回路的磁链定义为穿过该回路的磁通量

多匝线圈形成的导线回路的磁链定义为所有线圈的磁通总和

CI细回路注意：N匝同有电流的线圈，磁链与磁通的关系为

设回路C中的电流为I，所产生的磁场与自生回路C交链的磁链为，则磁链与回路C中的电流I有正比关系，其比值称为回路C的自感系数，简称自感。——导体外自感2.自感——导体内自感；粗导体回路的自感：L=Li+Lo

自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围磁介质有关，与电流无关。

自感的特点：自感计算的三种基本观点：*I已知安培定律计算H或B完成*I已知计算矢磁位A基于（注意回路与面元的关联方向）磁能密度的观点尤其适合于内自感的计算*I已知计算H或B表达磁能密度

解法一：先求内导体的内自感。设同轴线中的电流为I，由安培环路定理穿过沿轴线单位长度的矩形面积元dS=d的磁通为

例3.3.4求同轴线单位长度的自感。设内导体半径为a，外导体厚度可忽略不计，其半径为b，空气填充。得与dΦi交链的电流为则与dΦi相应的磁链为难点因此内导体中总的内磁链为故单位长度的内自感为再求内、外导体间的外自感。则故单位长度的外自感为单位长度的总自感为重要结论外自感部分的解法二说明：基于矢磁位的解法,利用无限长直导线无源区域的矢磁位在内径a处：在外径b处：回路选择与面元关联的方向电流I：

例3.3.5计算平行双线传输线单位的长度的自感。设导线的半径为a，两导线的间距为D，且D>>a。导线及周围媒质的磁导率为μ0。穿过两导线之间沿轴线方向为单位长度的面积的外磁链为

解设两导线流过的电流为I

。由于D>>a

，故可近似地认为导线中的电流是均匀分布的。应用安培环路定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点P的磁感应强度为PII于是得到平行双线传输线单位的长度的外自感两根导线单位的长度的内自感为故得到平行双线传输线单位的长度的自感为解法二的对比:两根导线单位长度的内自感为外自感用矢磁位完成两根导线提供的矢磁位的合成面元dS方向与磁感应B一致，回路选为面元的关联方向，则PIIB矢量A点B点

互感计算、磁能表达（本课时要点）*了解互感的定义和计算方向，处理相关题例*整理磁能的主要表达，提出磁能密度*基于磁能的观点处理自感（特别是内自感），此解法物理意义明确*简略说明磁场力的虚拟位移法计算观点

对两个彼此邻近的闭合回路C1和回路C2

，当回路C1中通过电流I1时，不仅与回路C1交链的磁链与I1成正比，而且与回路C2交链的磁链12也与I1成正比，其比例系数称为回路C1对回路C2的互感系数，简称互感。3.互感同理，回路C2对回路C1

的互感为C1C2I1I2Ro

互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围磁介质有关，而与电流无关。

满足互易关系，即M12=M21

互感的特点：（依据是纽曼公式）4.纽曼公式

如图所示的两个回路C1和回路C2

，回路C1中的电流I1在回路C2上的任一点产生的矢量磁位回路C1中的电流I1产生的磁场与回路C2交链的磁链为C1C2I1I2Ro故得同理纽曼公式自感计算的三种基本观点：*I已知安培定律计算H或B完成*I已知计算矢磁位A基于（注意回路与面元的关联方向）*基于纽曼公式，双重积分，大多数情况下不容易完成互感的计算方向，视具体结构选择最合理的解题方向，许多情况下，矢磁位的解法有优势由图中可知长直导线与三角形回路穿过三角形回路面积的磁通为

解设长直导线中的电流为I，根据安培环路定律，得到

例3.3.6如图所示，长直导线与三角形导体回路共面，求它们之间的互感。因此故长直导线与三角形导体回路的互感为此题的特点：B垂直穿越解法回路，面元的表达采用dS=Zdp,Z为面元的高度如果结构为：a2边，b电流Ic无限长直等效与矩形平面回路共平面1边两种解法可用a1边2边，b对于习题3.18，长直导线与回路不共平面作业：基于矢磁位求习题3.18结构的互感

例3.3.7如图所示，两个互相平行且共轴的圆形线圈C1和C2，半径分别为a1和a2，中心相距为d。求它们之间的互感。于是有

解利用纽曼公式来计算，则有两个平行且共轴的线圈式中θ=2－1为与之间的夹角，dl1=a1d1、dl2=a1d2，且

若d>>a1，则于是

一般情况下，上述积分只能用椭圆积分来表示。但是若d>>a1或d>>a2时，可进行近似计算。纽曼公式的解法相对较困难，需要查表此结构用矢磁位的解法，优点突出。两个平行且共轴的线圈A1<<d,视为小电流回路，电流I1已知，则回路2上的矢磁位为3.3.4恒定磁场的能量1.

磁场能量

在恒定磁场建立过程中，电源克服感应电动势作功所供给的能量，就全部转化成磁场能量。

电流回路在恒定磁场中受到磁场力的作用而运动，表明恒定磁场具有能量。

磁场能量是在建立电流的过程中，由电源供给的。当电流从零开始增加时，回路中的感应电动势要阻止电流的增加，因而必须有外加电压克服回路中的感应电动势。

假定建立并维持恒定电流时，没有热损耗。

假定在恒定电流建立过程中，电流的变化足够缓慢，没有辐射损耗。3.3.4恒定磁场的能量观点：磁场的能量来自于建立恒稳电流的过程中，电源克服感应电势作功的储存对于单导体回路;电流从对于两个导体回路之间，存在三个部分的储能C1C2I1I2Ro建立电流I1时的储能建立电流I2时的储能建立电流I2时，I1电流回路上存在互感，I1电流要维持恒定，电源仍需克服i2电流的影响做功，存在相互作用能，表达为推广到N个回路的导体系统对于连续的体分布电流，则有若电流分布在有限区域内，当闭合面S无限扩大时，则有

故

推证：S2.磁场能量密度

从场的观点来看，磁场能量分布于磁场所在的整个空间。

磁场能量密度：

磁场的总能量：积分区域为场所在的整个空间

对于线性、各向同性介质，则有利用单导体回路的磁能表达计算自感，尤其是内自感，物理意义明确

解法三:例3.3.8同轴电缆的内导体半径为a，外导体的内、外半径分别为

b和c，如图所示。导体中通有电流I

，试求同轴电缆中单位长度储存的磁场能量与自感。

解：由安培环路定律，得三个区域单位长度内的磁场能量分别为单位长度内总的磁场能量为单位长度的总自感内导体的内自感内外导体间的外自感外导体的内自感习题3.19可考虑这种解法3.3.5

磁场力（略）

假定第i个回路在磁场力的作用下产生一个虚位移dgi

。此时，磁场力做功dA＝Fidgi，系统的能量增加dWm。根据能量守恒定律，有式中dWS是与各电流回路相连接的外电源提供的能量。

具体计算过程中，可假定各回路电流维持不变，或假定与各回路交链的磁通维持不变。虚位移原理1.各回路电流维持不变

若假定各回路中电流不改变，则回路中的磁链必定发生改变，因此两个回路都有感应电动势。此时，外接电源必然要做功来克服感应电动势以保持各回路中电流不变。此时，电源所源提供的能量

即于是有故得到

不变系统增加的磁能

2.各回路的磁通不变故得到式中的“－”号表示磁场力做功是靠减少系统的磁场能量来实现的。

若假定各回路的磁通不变，则各回路中的电流必定发生改变。由于各回路的磁通不变，回路中都没有感应电动势，故与回路相连接的电源不对回路输入能量，即

dWS＝0，因此不变对两个电流回路,

例3.3.9

如图所示的一个电磁铁，由铁轭（绕有N匝线圈的铁芯）和衔铁构成。铁轭和衔铁的横截面积均为S，平均长度分别为l1和l2。铁轭与衔铁之间有一很小的空气隙，其长度为x。设线圈中的电流为I，铁轭和衔铁的磁导率为。若忽略漏磁和边缘效应，求铁轭对衔铁的吸引力。

解在忽略漏磁和边缘效应的情况下，若保持磁通Ψ不变，则B和H不变，储存在铁轭和衔铁中的磁场能量也不变，而空气隙中的磁场能量则要变化。于是作用在衔铁上的磁场力为电磁铁空气隙中的磁场强度若采用式计算，由储存在系统中的磁场能量由于和，考虑到，可得到同样得到铁轭对衔铁的吸引力为根据安培环路定律，有本课时要点：（略）*说明边值问题关心的重点;直角坐标系和圆柱坐标系的分离变量法（熟悉通解结构）*交代静态场唯一性定理的内容和含义*定性说明镜像法的解题思路，熟悉“电壁”和“磁壁”两个概念*重点讨论直角坐标系分离变量法的通解结构，每一个解的成分所需的匹配的边界特征，初步体会直角坐标系分离变量法的解题步骤

静态场边值问题概述

静态场许多情况下边界上存在感应源（如导体上的),场由已知的激励源和分布未知的边界感应源共同形成。

边值问题中场量的求解方向：矢量积分法无法使用，多数情况下场量分布也不是一维场，高斯定理和安培定律无法发挥作用。边值问题可视为场域媒质条件已知，场的作用结果惟一且已知（体现在充分而不矛盾的边值条件上），场源分布未全部已知的求解问题解题方向是求解符合场域泊松方程（有源区域）或拉普拉斯方程的位函数的通解有符合边界特征的定解。边值问题虽然场源分布未完全已知，但激励源和感应源共同作用形成的场是明确已知的，场的作用结果是唯一的。首先的问题是如何给出充分而不矛盾的边界条件，要充分了解静态场唯一性定理的含义边值问题的求解观点：镜像法：将边界上的感应电荷集中在维持原边界条件不变的镜像位置上，场域求解视为点源系统的求解关系分离变量法：场的分布视为若干一维独立函数的合成，提出满足场域的各种可能的解的结构，同时解又要符合边界条件，根据边界条件选择与边界条件匹配的解的成分，处理定解。分离变量法在静态场主要是处理拉普拉斯方程问题，部分泊松方程问题也可转换后用分离变量法处理。分离变量法在时变场中则是寻找无源区域波动方程的通解，在确定匹配边界条件的定解。分离变量法通常要求边界规则，主要讨论直角坐标系的分离变量法和圆柱指标系的分离变量法，结论要延伸到矩形波导和圆柱波导。分离变量法是本章的主要考点之一，记住通解结构，熟悉根据边界条件选择匹配的结果分离变量法是本章的主要考点之一，记住通解结构，熟悉根据边界条件选择匹配的结果有些情况需要对边界做适当的分解才能得到结果，（难点所在）有限元分析：场域划分网格，基于麦克斯韦方程组的积分形式或微分形式建立网格之间的数值迭代关系，利用边界上已知的结果递推整个场域的结果3.4静态场的边值问题及解的惟一性定理3.4.1边值问题的类型 已知场域边界面上的位函数值，即

边值问题：在给定的边界条件下，求解位函数的泊松方程或拉普拉斯方程

第一类边值问题（或狄里赫利问题）已知场域边界面上的位函数的法向导数值，即

已知场域一部分边界面上的位函数值，而另一部分边界面上则已知位函数的法向导数值，即

第三类边值问题（或混合边值问题）

第二类边值问题（或纽曼问题）边界条件中还包括隐含的边界条件，之类边界条件没有直接声明，但对于特定的边界结构必定成立

球的自然边界条件（无界空间）

圆柱周期边界条件

衔接条件（分层介质）不同媒质分界面上的边界条件，如例：（第一类边值问题）（第三类边值问题）例：x,y二维分布

在场域V的边界面S上给定或的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V具有惟一值。3.4.2惟一性定理

惟一性定理的重要意义给出了静态场边值问题场的作用结果唯一的条件为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据为求解结果的正确性提供了判据

惟一性定理的表述唯一性定理要求边界上在指定电位分布的同时不能再指定电位的法线梯度（即感应电荷的面密度），两者同时指定，场的作用结果通常是矛盾的，不唯一的。说明如下：半径为a的导体球，面电荷密度（即电位的法线梯度）静态场的唯一性定理同时说明，只要边界条件充分而不矛盾，任何符合场域的方程，同时又匹配边界条件的解的表达都是正确的，等价的。边值问题的解法不是唯一的

3.5镜像法简介了解其原理、适用场合、注意对理想导体边界，理想磁介质边界的等效镜像关系。了解电壁和磁壁这两个概念（将来在平行耦合线的分析中会用上)2.镜像法的原理(泊松方程问题，场域有点源）

用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化的一种间接求解法。

在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不变的前提条件下，根据惟一性定理，只要找出的解答满足在同一泛定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且是惟一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法3.

镜像法的理论基础——解的惟一性定理

像电荷的个数、位置及其电量大小——“三要素”；4.镜像法应用的关键点5.

确定镜像电荷的两条原则

等效求解的“有效场域”。

镜像电荷的确定

像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中；

像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场区域的边界条件来确定。1.点电荷对无限大接地导体平面的镜像满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。3.5.1接地导体平面的镜像镜像电荷电位函数因z=0时，q有效区域q静态场中，理想导体内部无场量（E=0,H=0),导体为等位体，故其镜像位置对称，电荷等量异号。导体外部边界上，电场处处垂直于导体表面，磁场处处相切与表面，称为“电壁”2.线电荷对无限大接地导体平面的镜像镜像线电荷：满足原问题的边界条件，所得的解是正确的。电位函数原问题有效区域当z=0时，电与磁存在对偶关系，如果边界为磁导率无穷的的铁磁介质，如铁板平面，则介质外部的场量分布为磁场处处垂直于铁磁介质表面，电场处处与铁磁介质表面相切，称为磁壁。此时图1线电流与理想磁介质分界平面镜像电流I=I/等量同号，维持边界上磁场处处垂直于理想磁介质表面I=I/B矢量注意电壁与磁壁两个概念3.6分离变量法

将偏微分方程中含有n个自变量的待求函数表示成n个各自只含一个变量的函数的乘积，把偏微分方程分解成n个常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它们线性叠加起来，得到级数形式解，并利用给定的边界条件确定待定常数。

分离变量法是求解边值问题的一种经典方法

分离变量法的理论依据是惟一性定理

分离变量法解题的基本思路：分离变量法：直接适用于场域无源时电位函数的拉普拉斯方程问题，部分泊松方程问题也可转换后用分离变量法处理，分离变量法的思路在研究规则波导的传输模式及其规则条件时非常有用（对于时变场，则是E矢量所满足的波动非常问题）。首先了解直角坐标系分离变量法的通解结构（7种成分）在直角坐标系中，若位函数与z无关，则拉普拉斯方程为3.6.1直角坐标系中的分离变量法（重点研究两维场结构）将

(x,y)表示为两个一维函数X(x)和Y(y)的乘积，即将其代入拉普拉斯方程，得再除以X(x)Y(y)，有对整个场域成立，分离系数应是常数无源区域

若取λ＝－k2，则有当X,Y两个方向的分离系数应大小相等，两者可以同时为零(一维场基于分布)X,Y两个方向的分离系数不为零时，一个为实数，另一个必为虚数将所有可能的

(x,y)线性叠加起来，则得到位函数的通解，即

若取λ＝－k2，则有场域一边开放无界时还包括指数项，需要根据边界条件进一步裁剪选择根据

若取λ＝－k2，则有

若取λ＝k2，同理可得到(当然还包括指数项）直角坐标系二维场的分离变量任何一个方向上都有七种可能的选择，如果写全解在逐一待定，工作量很大，应该了解每种解的结构选用时匹配的边界特征，根据边界的具体情况直接选择匹配的通解结构，计算工作量会较小要点：通解选择所需的匹配的边界特征需要X方向或Y方向电位为一维场分布，两维场分布一般无需考虑此项直角坐标系分离变量法的解题步骤一般为：*判断场域电位的实际分布维数*熟悉通解结构及具体选择每一个成分所需的边界特征*一般先从正弦、余弦方向的选择着手，根据两个边为零的条件选用正弦函数并确定分离系数（二维场中实分离系数确定虚分离系数），有些情况下需要对边界做一定的分解才能处理*根据虚分离系数方向的边界特征选择合理的解的结构，（有界的场域为正余弦双曲线，一边开放的边界选择指数项。如果不能与一项匹配，可以选择一个组合）*写出通解表达后，利用正交化处理待定的系数，得出定解最重要的是准确快速写出通解表达。

例3.6.1无限长的矩形金属导体槽上有一盖板，盖板与金属槽绝缘，盖板电位为U0，金属槽接地，横截面如图所示，试计算此导体槽内的电位分布。

解：位函数满足的方程和边界条件为正交化处理定解故得到此题的几种变化如下：X方向仍选择正弦函数并确定分离系数没有两个边为零，无法突破正弦方向并确定分离系数，应考虑分解。分解前后要保证总的边界条件不变++分解的观点不同，表达不一样，但都是等价的，正确的（只有边界条件充分而不矛盾，场的作用结果唯一，任何符合媒质所决定的通解有匹配边界的特解都是成立的）例3.6.2矩形槽结构和边界条件如下图所示，求槽内电位分布思考：如果矩形槽的边界条件如下,写出电位函数的通解结构两种结果，都等价eyexba对此结构充分展开，讨论其各种变化下的通解选择*讨论例题3.6.2的各种变化*习题3.29，习题3.30的变化。充分体会通解选择，什么情况下需要分解，如何分解。思考题1：导体边界结构如下：写出电位分布的通解结构此结构要考虑的问题是如何分解出两个边为零的边界条件，突破正弦方向的选择，可视为如果分解为思考题2：导体边界结构如下：写出电位分布的通解结构此结构首先要考虑分区转换为两个均匀场，符合拉普拉斯方程，才能使用分离变量法