数值与计算方法chapter1-2

1第一章绪论（二）有效数字数据误差的影响误差危害的防止小结21.5.3有效数字

取3位数，

取5位数，当准确值x*的位数比较多，或者有无限多位小数时，常常按四舍五入的原则得到x*的前几位数值，如3位有效数字5位有效数字10-210-431.5.3有效数字定义3

如果近似值x的绝对误差限是其某一位上的半个单位，从左边第1位非零数字到该位一共有n位，则称近似值x有n位有效数字。误差不超过该位的半个单位自左向右看，第1个非零数字41.5.3有效数字若取x3=1.7320（注意:不是1.7321）,其误差限为一般，按四舍五入原则得到的近似值，其绝对误差不会超过末位数的半个单位。即：四舍五入得到的数字都属于有效数字。只有4位有效数字10-351.5.3有效数字例1-6：对下列各数写出具有5位有效数字的近似值：

236.478,0.00234711,9.000024,9.000034×103解：从不为零的数开始，从左到右取5位数，第6位四舍五入。236.478:0.0023471:9.000024:9.000034×103:236.480.00234719.00009.0000×10361.5.3有效数字若x具有n位有效数字，则可以表示为其绝对误差限满足：相对误差限满足：如何证明？71.5.3有效数字例1-7:已知的十进制浮点数第一位是4，要使近似值的相对误差限小于0.1%，浮点数的有效数字位数至少应为多少？解：a1=4,利用取n≥4,有

|er(x)|≤0.125×10-3<10-3浮点数的有效数字位数至少应取4位。81.5.3有效数字例1-8:用3.1416来表示π时，其相对误差是多少？解：3.1416有5位有效数字，且a1=3,其相对误差为9用3.1416来表示π，而π≈3.1415926，其相对误差为所以，利用第1位有效数字及有效数字位数，估计的是相对误差限，其值比相对误差大。1.5.3有效数字101.一元函数y=f(x)误差分析(准确值y*=f(x*))1.5.4数据误差的影响用泰勒公式在x处展开f(x*)误差微分111.5.4数据误差的影响112.二元函数y=f(x1,x2)误差分析由泰勒公式，在(x1,x2)处展开f(x1*,x2*)121.5.4数据误差的影响3.多元函数z=f(x1,x2,…,xn)误差分析可用函数的全微分近似表示函数的绝对误差。131.5.4数据误差的影响和、差、积、商的误差估计：绝对误差令：证：141.5.4数据误差的影响同理：151.5.4数据误差的影响相对误差161.5.4数据误差的影响例1-9:已测得某物体行程s*的近似值s=800m，所需时间t*的近似值t=35s。若已知解：试求平均速度v的绝对误差限和相对误差限。171.5.4数据误差的影响得181.5.4数据误差的影响圆面积计算公式:y=r2由全微分近似:△y≈2r△r=>e(y)≈

2re(r),若取r=50cm,e(r)=0.5cm,则有er(r)=e(r)/r=1%e(y)≈150cm2,er(y)≈2×1%=2%例1-10:圆面积计算时的误差估计.191.6误差危害的防止避免相近数相减避免用绝对值很小的数作除数防止大数吃掉小数简化计算步骤，减少运算次数使用数值稳定的算法201.6误差危害的防止

避免相近数相减避免用绝对值很小的数作除数防止大数吃掉小数简化计算步骤，减少运算次数使用数值稳定的算法211.6.1避免相近数相减两数差的相对误差关系式若x1和x2相近，则或的绝对值很大，造成很大。22例1-11：求x2-16x+1=0的小正根（计算过程中保留3位有效数字）。解：x2只有1位有效数字。若要得到3位有效数字，中间过程必须增加精度。设保留5位有效数字：x2有3位有效数字。1.6.1避免相近数相减若不增加中间过程的精度，而是改变算法：23例1-12：

计算A=107(1-cos2º)。由于cos2º=0.9994,直接计算

A=107(1-cos2º)=107(1-0.9994)=6×103若利用A=107(1-cos2º)=2×(sin1º)2

×107

=6.090×1034位有效数字1位有效数字1.6.1避免相近数相减1.6.1避免相近数相减24例1-13：

计算。解：设，它们有6位有效数字的近似数为：x1=44.7325,x2=44.7102.解法一：解法二：25分析精度：1.6.1避免相近数相减两相近数相减：计算两相近数相加的倒数：26

改变计算公式可以避免或减少有效数字的损失

如果x1和x2很接近，则

当x很大，则1.6.1避免相近数相减27一般地，当，可利用泰勒展开式取右端的有限项近似左端。若无法改变算式时：则应增加有效数字位数；在计算机上则采用双倍字长计算(缺点：增加机器计算时间、增加内存占用)1.6.1避免相近数相减281.6误差危害的防止避免相近数相减

避免绝对值很小的数作除数防止大数吃掉小数简化计算步骤，减少运算次数使用数值稳定的算法291.6.2避免绝对值小的数作除数由当x1或x2的绝对值很大时，|e(x1x2)|可能很大。应尽量避免用绝对值很小的数作除数，或用绝对值很大的数作乘数。由当x2的绝对值很小时，|e(x1/x2)|可能很大。30机器上用很小的数作除数时，可能会因为数据溢出而造成停机；很小的数作除数，若除数有少量误差，会造成结果出现很大误差。计算时既要避免两个相近的数相减，更要避免用相减之后的差作除数。0.0011≈2471.11.6.2避免绝对值小的数作除数311.6误差危害的防止避免相近数相减避免用绝对值很小的数作除数

防止大数吃掉小数简化计算步骤，减少运算次数使用数值稳定的算法321.6.3防止大数吃掉小数a=109，b=9，设想在8位浮点数系中相加a+b=0.10000000×1010+0.90000000×10-1=

0.10000000×1010+0.0000000009×1010

=0.10000000×1010

由于只保留8位有效数，数据09被舍去,实际加法操作

a+b计算结果是将

a的值作为计算结果赋给

a+b.多个数相加，应按绝对值从小到大的顺序依次进行，以避免被大数吃掉。33例1-13：计算0.4994+1000+0.0006000+0.4090,保留4位有效数字。解：0.4994+1000≈10001000+0.0006000≈10001000+0.4090≈10001.6.3防止大数吃掉小数34改变顺序：0.4994+0.0006000≈0.50000.5000+0.4090≈0.90900.9090+1000≈10011.6.3防止大数吃掉小数351.6误差危害的防止避免相近数相减避免用绝对值很小的数作除数防止大数吃掉小数

简化计算步骤，减少运算次数使用数值稳定的算法361.6.4减少运算次数例1-14：

计算x31的值。方法一：将x的值逐个相乘，共需30次乘法。方法二：x31=x

x2x4x8x16而x2=x

x

，x4=x2x2，x8=x4x4，x16=x8x8

共8次乘法。37例1-3：

对给定的x，求多项式方法一：的值。直接计算的每一项，再逐项求和。乘法次数：1.6.4减少运算次数38方法二：乘法次数：，加法次数：……1.6.4减少运算次数练习：请写出此算法的递推公式。39秦九韶算法1.6.4减少运算次数编程计算：递推公式40求多项式值的秦九韶算法P(x)=a0xn

+a1xn-1+······+an-1x+an输入

x；a0，a1，…，an

b←an；u←1k

从

n到1循环u←x×ub←b+ak-1×u输出数据b

；结束输入

x；a0，a1，…，an

b←a0k

从

1到n循环b←ak+x×b输出数据b

；结束秦九韶算法41求多项式值的秦九韶算法a0a1a2……an-1anx=x0b0x0b1x0……bn-2x0bn-1x0b0b1b2……bn-1bn例1-15：

求f(x)=2+x-x2+3x4

在x0=2的值。30-112x0=2612224636112348=f(x0)=f(2)421.6误差危害的防止避免相近数相减避免用绝对值很小的数作除数防止大数吃掉小数简化计算步骤，减少运算次数使用数值稳定的算法1.6.5使用数值稳定的算法例1-16:

建立积分的递推关系式。解：因为递推关系式：初始值：(1)1.6.5使用数值稳定的算法计算I0时的舍入误差设为e0，且求得的I0的近似值为(1)-(2)式，并不断递推，可得e0对第n步的影响是扩大了5n倍，算法不稳定；n较大时，误差会非常大。(2)1.6.5

使用数值稳