数值计算方法-正交多项式

§4正交多项式(1),则称函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上正交.(2),则称函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上带权(x)正交.(3)代数多项式序列(下标k为多项式的次数,gk(x)表示k次多项式),在区间[a,b]上满足一、正交多项式定义1当m≠n当m=n则称多项式序列为区间[a,b]上带权(x)的正交多项式序列若n次多项式gn(x)中含xn项的系数为dn,则称dn为gn(x)的首次系数;dn≠0时,称为首次系数为1的n次多项式.定义2

若是区间[a,b]上带权(x)的正交多项式序列,则它们线性无关.对任意的x[a,b]若两边同乘(x)gl(x)(l=0,1,..n),并从a到b积分,由的正交性定义中的(3)可知必有cl=0故正交多项式序列线性无关.性质1证明二、正交多项式性质若为[a,b]上带权(x)的正交多项式序列,且,则(1)k=n+1,n+2,…(2)i=0,1,…,n-1记[a,b]上带权函数(x)的正交多项式序列相邻三项的递推关系为i=1,2,…其中性质2性质3[a,b]上带权函数的正交多项式序列中任意相邻两个正交多项式gn(x)和gn+1(x)的根相间.为的首项系数若记gn(x),gn+1(x)的根分别为,则所谓与的根相间,即是指这两个正交多项式的根有如下的关系.i=1,…,n-1性质4常见的正交多项式有Legendre(勒让德)多项式、Hermite多项式、Chebyshev多项式以及Jacobi多项式。

(1)区间[a,b]上带权函数(x)的正交多项式序列与对应元素之间只相差一个比例常数.(2)区间[a,b]上带权函数(x)首项系数为1的正交多项式序列唯一.性质5施密特正交化公式线性无关…三、Legendre多项式Pn(x)[-1,1]上由{1,x,…,xn,…}带权ρ(x)≡1正交化得到的多项式序列.(1)多项式定义定义3隐式表达式显式表达式其中当n为偶数时当n为奇数时在[-1,1]上带权ρ(x)≡1正交化{1,x,…,xn,…}例解…(2)多项式的主要性质①

n次Legendre多项式Pn(x)的首项系数当x=-1②当x=1,当mn当m=n③④Legendre多项式相邻三项的递推关系为n=1,2,…⑤

在所有最高项系数为1的n次多项式中,最高项系数为1的Legendre多项式Pn(x)在[-1,1]上与零的平方误差最小.(1)多项式定义定义4四、Chebyshev多项式Tn(x)[-1,1]上由{1,x,…,xn,…}带权

正交化得到的多项式序列.显式表达为:Tn(x)=cos(n

arccosx),|x|≤1Chebyshev多项式序列在[-1,1]上满足性质6n次Chebyshev多项式Tn(x)的首项系数为2n-1性质7n次Chebyshev多项式相邻三项有递推关系：

T0(x)=1,T1(x)=x,

Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x),n=1,2,….性质8(2)Chebyshev多项式的性质当时，即{x1,…,xn}为Tn(x)的n个零点。当时，交错取到极大值1和极小值1，即记显然是首项系数为1的n次Chebyshev多项式性质9性质10记为一切定义在[－1,1]上首项系数为1的n次多项式的集合在中，的无穷模最小即这个性质，称为Chebyshev多项式最小模性质.性质11——多项式降次(

reducethedegreeofpolynomialwithaminimallossofaccuracy)设f(x)Pn(x)。在降低Pn(x)次数的同时,使因此增加的误差尽可能小,也叫economiza-tionofpowerseries。从Pn中去掉一个含有其最高次项的,结果降次为,则：Pn~Pn1|)(|max|)()(|max|)()(|max]1,1[]1,1[1]1,1[xPxPxfxPxfnnn----+--~因降次而增的误差设Pn

的首项系数为an，则取可使精度尽可能少损失。12)()(-=nnnnxTaxP(3)Chebyshev多项式的应用f(x)=ex

在[1,1]上的4阶Taylor展开为，此时误差请将其降为2阶多项式。取（查表知）取（查表知）若简单取，则误差注：对一般区间[a,b]，先将x

换为

t，考虑f(t)在[1,1]上的逼近Pn(t)，再将t

换回x，最后得到Pn(x)。例1解定义6(1)第二类Chebyshev

多项式Un(x)相邻三项的递推关系为五、其它正交多项式(-1,+1)上权函数的正交多项式序列显式表达:U0(x)=1,U1(x)=2xn=1,2,…定义7(2)拉盖尔Laguerre多项式Ln(x)相邻三项的递推关系为[0,+∞)上权函数的正交多项式序列显式表达:L0(x)=1,L1(x)=1-xn=1,2,…定义8(3)Hermite多项式Hn(x)相邻三项的递推关系为