理论力学-力偶系

第三章§3-1力对点的矩nO1.力对刚体的转动效应用力对点的矩来度量a.平面力系的力对同平面中的点之矩hOABF假设力作用在图示平面内，且O点也在此平面内，则力F对O点的矩为

MO

(F

)=±Fh

或：

MO

(F

)=±2△OAB

力对点之矩使物体绕矩心逆时针转为正，反之为负。

O——称为矩心

h——称为力臂单位：N·m或kN·mhOABhOABhOABrFFnnnnhABMO(F)rhABMO(F)r空间力系中力对点的矩需用矢量表示：hABOzxyMO(F)矩的矢量记作MO(F)，且

MO

(F)=

r×F——定位矢量b.空间力系中的力对点的矩2）矢量的方位与力和矩心组成的平面的法向同，矩心为矢起端；3）矢量的指向确定了转向，按右手法则。r1）矢量的模等于力矩的大小；hABMO(F)r显然|M

O(F)|=Fh=2△OABF见后续力对点的矩为零的条件：要使|MO(F)|=0，就有r×F=0，得：1）r=0或r与F共线，即力通过矩心；2）F=0力对点的矩采用行列式可得如下形式：由：

r

=xi+y

j+zk和F=X

i+Y

j+Z

k可得：=(yZ-zY)i+(zX-xZ)j+(xY-yX)k2.

合力矩定理设r为矩心到汇交点的矢径，R

为F1、F2、…、Fn的合力，即：R

=F1+F2+…+Fn

可得：MO

(R)=r×R=r×(F1+F2+…+Fn

)

=r×F1+r×

F2

+…+r×Fn

=MO

(F1)+MO

(F2)+…+MO

(F

n

)也就是：汇交力系的合力对点的矩等于该力系所有分力对同一点的矩的矢量和。证：①两个同向平行力的合力

大小：R=Q+P

方向：平行于Q、P且指向一致 作用点：C处确定C点由合力距定理3.

平行力的合成②两个反向平行力的合力

大小：R=Q-P

方向：平行于Q、P且与较大的相同 作用点：C处（推导同上）§3-2力偶与力偶矩1.力偶与力偶矩力偶——由两个等值、反向且不共线的平行力系组成。记作（F，F

’）这一矢量称作力偶矩矢1）其长度表示力偶矩大小；dFF’BA两个力组成的平面称

力偶作用面两个力间的垂距d称为

力偶臂空间力系因力偶作用面的方位可能各不相同，故把力偶用矢量表示。M2）方位与作用面法方向方位n同。3）指向与力偶转向的关系服从右手螺旋法则。nMdddMnMMnMMnM按前述的力偶三要素可知，力偶矩矢可以平行搬移，且不需确定矢的初端位置。为进一步说明力偶矩矢为自由矢，显示力偶的等效性质，可以证明：ndFF’BAMnM∵F=-F’显见力偶矩的大小为M为自由矢M为自由矢M为自由矢M为自由矢Oa.力偶矩矢是自由矢力偶对空间任一点的矩都相等，即等于力偶矩矢。证：如图求力偶（F，F’）对任意点，如O点的矩。画出O点到二力作用点A、B的矢径所以，力偶对空间任意点的矩矢与矩心无关。b.平面力偶系的力偶若在所研究的问题中，所有的力偶都作用在同一平面内，则称为平面力偶系。FF’BACd将平面力偶系的力偶记作M(F,F’)，简称

M

。力偶矩为代数量即：M=±Fd=±2△ACB以逆时针为正，反之为负，单位与力矩相同。作用于刚体上的两力偶，若它们的力偶矩矢相等，则此二力偶等效。——力偶等效定理2.力偶的性质性质一证：分两部分加以证明（1）力偶作用面可平行移动而不改变力偶对刚体的效应。（2）在同平面内的两力偶，若力偶矩相等，转向相同，两力偶对刚体的作用彼此等效。等效eabdc证：设==-Fd力的作用线分别相交于a、b两点，等效地移至a、b两点，力=-2△acb∵两三角形同底等高∴△aeb=△acb得：=-Fd=的力偶臂也为d∴

F1=F将=-2△aeb和分别分解性质一的实质（1）力偶在其作用面内只要力偶矩不变（即力与力偶臂的积不变），它就可以随意的转移，也可以增大力的同时减小力偶臂（或减小力的同时增大力偶臂），不改变它对刚体的作用效应。（2）力偶的作用面可以随意平行搬移，不改变它对刚体的作用效应。性质一实质的图解不同平面力偶等效

平行搬移性质二

力偶不能与一个力相平衡。证：用反证法。即假设平衡力存在。1、平衡力与力偶作用面平行。由性质一知总可以转动力偶和平行搬移力偶作用面使三力有两个交点，这与平衡汇交定理相矛盾。2、平衡力与力偶作用面不平行。仍由性质一知总可以转动力偶和平行搬移力偶作用面使力偶中的一个力与所谓的平衡力合成为一个大小及方位都与力偶的另一个力不同的力,这与二力平衡原理相矛盾。性质三 力偶没有合力。证：

仍用反证法，即假定力偶有合力，那么总可找到一个与此力大小相等，方向相反而作用线共线的力与此力平衡，即力与力偶相平衡。与性质二矛盾。

性质一、二和三告诉我们力偶只能与力偶等效而不能与单个力等效。力偶只能与力偶相平衡力偶只能与力偶相平衡力偶只能与力偶相平衡力偶只能与力偶相平衡3.力偶系的合成任意个力偶可以合成为一个合力偶，这个合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。M=

M1+M2+…+Mn

=∑MiM1+M2+…+M

n=rBA×F1+rBA×F2+…+rBA×Fn=rBA×(F1+F2+…+Fn

)=rBA×R=MM1MnM2RBABA证：

设有n个力偶，由性质一,总可得到两个汇交力系，汇交点分别为A和B。证毕。4.力偶系的平衡条件在平面力偶系中合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。

M=M1+M2+…+Mn

=∑Mi由合成结果可知：力偶系平衡的充分必要条件是力偶系的合力偶矩等于零，即所有力偶矩矢的矢量和等于零。平面力偶系平衡条件：三铰刚架由两直角刚架组成，AC部分上作用一力偶，其力偶矩为M，自重不计，且a:c=b:a，求A、B支座的反力。例3-1MACMbcaACBCBAC为对象，∑M=0,考虑CB部分为二力构件，得：解： 由a:c=b:a知：AC⊥CB，受力分析CBA图示机构自重不记。圆轮上的销子A放在摇杆BC上的光滑导槽内。M

1=2kNm，OA=r=0.5m。图示位置OA⊥OB，α=30°，且系统平衡。求作用于摇杆BC上力偶的矩M

2及O、B支座的反力。αAOα例3-2M2M

1αBACαBACOrM2M1解：受力分析ABAO

续例3-2先以轮为对象，∑M=0，M1-FArsinα=0M2αBACαAOαM

1再以摇杆为研究对象，由力偶平衡条件∑M=0，M2=4M1=8kNmM

1=2kNm，OA=r=0.5m本章小结1、汇交力系的合力（1）几何法求合力

R=F1+F2+…FN=Σ

Fi（2）解析法求合力方向余弦

cos(R,

i)=Rx/R

cos(R,

j)=Ry/R

cos(R,

k

)=Rz/R汇交力系平衡的充要条件：

R

=F1+F2+…FN=0

即

ΣFi=0汇交力系平衡的几何条件： 力多边形自行封闭。汇交力系平衡的解析条件：

ΣXi=0;ΣYi=0;ΣZi=0本章小结（2）2、汇交力系的合力本章小结（3）3、力对点的矩MO

(F)=r×F——MO

(F)是定位矢量|MO

(F)|=Fh=2△OAB4、合力矩定理汇交力系的合力对点的矩等于该力系所有分力对同一点的矩的矢量和。

MO

(R)=MO

(F1)+MO

(F2)+…+MO(Fn

)本章小结（4）5、力偶力偶——由两个等值、反向且不共线的平行力系

组成。记作（F，F’）力偶对物体的作用效应决定于力