2024-2025学年四川省巴中市高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年四川省巴中市高一（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(x,4)，b=(3,−3)，且a⊥b，则xA.4 B.−4 C.3 D.−32.已知复数z(1−i)=3i，则z在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.在正方体ABCD−A1B1C1D1A.30° B.45° C.60° D.90°4.在△ABC中，设D是AB边上的一点，且AD=2DB，则(

)A.CD=13CA−23CB 5.要得到y=cos(2x−π4)的图象，只要将A.向左平移π8个单位 B.向右平移π8个单位 C.向左平移π4个单 D.6.已知5−2i是关于x的方程x2−mx+n=0(m,n∈R)的一个根，则m的值为(

)A.10 B.−6 C.6 D.−107.棱长为6的正四面体内放置了一个球，球的体积与正四面体的体积之比为15，则球的表面积为(

)A.12π(210π)23 B.36π(8.化简计算12tan40°−2cos50°的值为(

)A.3 B.−32 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.学校为调研同学们对某旅游城市景区的了解情况，随机调查了6名同学所知道的景区个数，得到一组样本：1，2，3，2，4，5，则(

)A.这组数据的众数为2 B.这组数据的平均数为3

C.这组数据的极差为4 D.这组数据的60%分位数为310.已知函数f(x)=sin(2x+π3A.f(x)的图象关于点(−2π3,0)对称

B.若f(x1)=f(x2)=0，则x1−x2是π的整数倍

C.f(x)11.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD为正三角形，且AD=2，平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是(

)A..平面PAD与平面PBC的交线平行于直线AD

B.二面角P−BC−D的余弦值为277

C.点B到平面PCD的距离为2

D.四棱锥P−ABCD的外接球的半径为213

三、填空题：本题共312.母线长和底面圆的直径都为4的圆锥的侧面积为______．13.某大品牌家电公司从销售员工中随机抽出50名调查销售情况，销售额都在区间[5,25](单位：百万元)内，将其分成5组：[5,9)，[9,13)，[13,17)，[17,21)，[21,25]，并整理得到如右的频率分布直方图，据此估计销售员工销售额的平均值为______(百万元)，(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，P是平面任意一点，满足sinAsinB=ac，B=π3，且PA2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

已知△ABC内角A，B，C对的边分别为a，b，c，且a=7，b=5，c=6．

(1)求cosA；

(2)求△ABC16.(本小题15分)

已知函数f(x)=4sinxcos(x−π6)．

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求函数f(x)在17.(本小题15分)

如图，在正方体ABCD−A′B′C′D′中，E是AD的中点，BD与AC交于点O，A′B与AB′交于点G．

(1)证明：OG//平面BCC′B′；

(2)证明：EG⊥平面A′BC′；

(3)求直线BA′与平面BDD′B′所成角的大小．18.(本小题15分)

统计学家将战争中摧毁敌军的战机序列号作为样本，用样本估计总体的方法推断敌军每年生产的战机数量.假设敌军某年生产的战机数量为N，摧毁某年生产的n架战机编号从小到大为x1，x2，x3，…，xn，最大的编号为xn，摧毁敌军战机是随机的，摧毁战机的编号x1，x2，x3，…，xn，相当于从[1,N]中随机抽取的n个整数，这n个数将区间[0,N]分成(1+n)个小区间(如图)，可以用前n个区间的平均长度xnn估计所有(1+n)个区间的平均长度Nn+1进而得到N的估计值．

已知在某次战斗中摧毁敌军的战机编号为：2，5，7，13，15，17，21，据此回答下列问题．

(1)根据材料估计敌军生产的战机数量；

(2)已知敌军所有现役战机分为三个等级(四代战机，四代半战机，五代机)，通过分层抽样调查三类战机的飞行高度，得到各个等级飞行高度的样本平均数为x−，y−，z−．

(ⅰ)根据上述信息是否可以估计敌军所有现役战机的平均飞行高度？若不能，还需要什么条件，请补充条件并写出估计式；

(ⅱ)若敌军现役战机是按照比例生产的，四代战机，四代半战机，五代机的战机数量分别为A19.(本小题17分)

已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．

(1)若2cosB+1=ca；

(ⅰ)求证：B=2A；

(ⅱ)求sinAsinC的取值范围；

(2)若G是△ABC的重心且AG⊥BG，求cosC的取值范围．参考答案1.A

2.B

3.C

4.C

5.B

6.A

7.D

8.B

9.ACD

10.AD

11.ABD

12.8π

13.14.52

14.315(1)因为a=7，b=5，c=6，

所以由余弦定理得：cosA=b2+c2−a22bc=25+36−72×5×6=910；

(2)因为sin16.(1)f(x)=4sinx⋅(cosxcosπ6+sinxsinπ6)

=23sincosx+2sin2x

=3sin2x−cos2x+1

=2sin(2x−π6)+1，

可得f(x)的最小正周期T=2π|ω|=2π2=π；

(2)方法1：令−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ，k∈Z，解得：−π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z，

可得f(x)的单调递增区间为[−π6+kπ,π3+kπ]，k∈Z，

又17.(1)证明：在正方体ABCD−A′B′C′D′中，连接B′C，因为ABCD为正方形，

所以O为AC中点，同理，G为AB′中点，

所以GO//B′C，因为GO⊄平面BB′C′C，B′C⊂平面BB′C′C，

所以GO//平面BB′C′C；

(2)证明：连接DB′，在△AB′D中，G、E分别为AB′、AD的中点，所以DB′//EG．

在正方形A′B′C′D′中，A′C′⊥B′D′，

又因为ABCD−A′B′C′D′为正方体，

所以BB′⊥平面A′B′C′D′，

因为BB′⊂平面A′B′C′D′，所以BB′⊥A′C′，

因为B′D′∩BB′=B′，B′D′，BB′⊂平面BB′D′D，

所以A′C′⊥平面BB′D′D，

因为B′D⊂平面BB′D′D，所以A′C′⊥B′D，

同理可得：A′B⊥B′D，A′B∩A′C′=A′，

所以B′D⊥平面A′BC′，

所以EG⊥平面A′BC′；

(3)设A′C′∩B′D′=Q，并连接QB，

由(2)可知A′C′⊥平面BB′D′D，

所以直线BA′与平面BB′D′D所成的角为∠QBA′，

设正方体棱长为2a，Rt△A′QB中，A′B=22a，A′Q=2a，所以∠QBA′=π6，

18.(1)解：∵可用xnn估计Nn+1，

∴217=N8，解得N=24．

∴估计敌军生产的战机数量为24架．

(2)(ⅰ)解：不能估计敌军所有现役战机的平均飞行高度，

需要知道这三个等级战机具体的个体数量X，Y，Z，或者抽取样本的数量m，n，l，

估计式为XX+Y+Zx−+YX+Y+Zy−+ZX+Y+Zz−

或mm+n+lx−+nm+n+ly−+19.(1)(ⅰ)证明：根据题意可知，2cosB+1=ca，

∴2acosB+a=c，由正弦定理得：2sinAcosB+sinA=sinC，

∵A+B+C=π，∴sinC=sin(A+B)，

原式等价于2sinAcosB+sinA=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA，

得：sinAcosB−sinBcosA=−sinA，

sin(A−B)=sin(−A)，又∵A∈(0,π2)，B∈(0,π2)，

∴A−B=−A，即2A=B；

(ⅱ)由(1)知2A=B，∴3A+C=π，sin3A=sinC，

sinAsinC=si