理论力学第二章

第二章平面力系平面力系——力系中各力都处于同一平面可分为：平面力偶系平面平行力系平面任意力系平面汇交力系1.平面汇交力系合成的几何法——力多边形法则§2-1平面汇交力系力平行四边形力三角形两个力的情况：.........力多边形首尾相连三个力的情况：N个力的情况：首尾相连平衡条件2.平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的力多边形自行封闭。（即起点和终点重合）已知：AC=CB，F

=10kN，各杆自重不计；求：CD杆及铰链

A

的受力。解：CD为二力杆，取

AB

杆，画受力图。用几何法，画封闭力三角形。按比例量得例2-1或利用三角公式计算合力在坐标轴上的投影为3、平面汇交力系合成的解析法合力等于各力矢量和，即由合矢量投影定理，得合力投影定理根据合矢量投影定理：合矢量在某一轴上的投影，等于各分矢量在该轴上投影的代数和。合力矢大小、方向的确定：例2-2已知:图示平面共点力系,F1=200N,F2=300N,

F3=100N,F4=250N。求:力系的合力。解：用解析法4.平面汇交力系的平衡方程平衡条件平衡方程即已知：求：系统平衡时，杆AB、BC所受的力。例2-3

系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，P=20kN；解：AB、BC杆为二力杆，取滑轮B（或点B），画受力图用解析法，建图示坐标系坐标轴应尽量选取与未知力作用线相垂直（可简化平衡方程）解得：解得：例2-4已知：液压夹紧机构，F=3kN，l=1500mm，

h=200mm。忽略自重；求：平衡时，压块

C对工件的水平压力，以及AB杆受力。解：AB、BC杆为二力杆。取销钉

B用解析法得例2-4求：平衡时，压块

C对工件的水平压力，AB杆受力。已知：

F=3kN,l=1500mm,h=200mm.忽略自重；得压块

C对工件的水平压力为§2-2平面力对点之矩平面力偶一、平面力对点之矩（力矩）力矩作用面，O称为矩心，O到力的作用线的垂直距离h称为力臂。1.大小：力F与力臂h的乘积2.方向：转动方向两个要素：力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负。常用单位

或

。力的作用线通过矩心时，力矩为零二、汇交力系的合力矩定理即

平面汇交力系平面汇交力系的合力对于平面内一点的矩，等于所有各分力对该点的矩的代数和。（合力矩定理）力矩与合力矩的解析表达式汇交力系的合力矩定理代入，得例2-5解:直接按定义按合力矩定理求:已知:啮合力F=1400N,压力角，半径例2-7求：已知：平衡时,CD杆的拉力。由杠杆平衡条件(对

A点)解得解：

CD为二力杆，取踏板DCABF解：取微元如图由合力矩定理得例2-6求：已知：q,l；合力及合力作用线位置。合力其实是载荷所覆盖的面积积分，得合力三.力偶和力偶矩1.力偶(couple)由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的力系称为力偶，记作两个要素：a.大小：力与力偶臂乘积b.方向：转动方向力偶对物体的转动效应，用力偶矩M来度量。力偶中两力所在平面称为力偶作用面力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂2.力偶矩方向规定：逆时针方向转动时为正，顺时针方向转动时为负。

二.力偶与力偶矩的性质1.力偶在任意坐标轴上的投影等于零。2.力偶没有合力，所以不能用一个力来平衡。力偶只能由力偶来平衡。力矩的符号力偶矩的符号

M3.力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。4.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力臂的长短，对刚体的作用效果不变。=====已知：对每一个M，任选一段距离d，在平面内移转，使力的作用线重合三.平面力偶系的合成和平衡条件======构成力偶平面力偶系平衡的充要条件M=0，有如下平衡方程

平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和等于零。力偶系合成为一个力偶从力偶理论知道，力不能与力偶平衡。但为什么螺旋压榨机上，力偶似乎可以用被压榨物体的反抗力来平衡？为什么如图所示轮子上的力偶

M似乎与重物的力

P相平衡？力偶由螺杆上的摩擦力和法向力的水平分力形成的力偶平衡，螺杆上的摩擦力与法向力的铅直方向的分力与平衡。例2-7求：光滑螺柱

AB所受水平力。已知：工件上作用有3个力偶。解得解：由力偶只能由力偶平衡的性质，其受力图如右图例2-8：圆轮上销子A放在摇杆BC上的光滑导槽内。求：平衡时的

M2及铰链O，B处的约束力。解:（1）取轮,由力偶只能由力偶平衡的性质,画受力图解得

系统平衡。

（2）取摇杆BC，画受力图。解得

当力系中各力的作用线处于同一平面内且任意分布时，称其为平面任意力系。§2-3平面任意力系的简化平面任意力系实例1、力的平移定理可以把作用在刚体上点

A

的力

F

平行移到任一点

B

，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力

F

对新作用点

B

的矩。力力＋附加力偶（可逆性）乒乓球一边受力单桨划船火箭尾部发动机推力不对称丝锥攻螺纹2、平面任意力系向作用面内一点简化·主矢和主矩O点称为简化中心主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关。主矢主矩如何求出主矢、主矩？主矢大小方向作用点作用于简化中心上主矩平面固定端约束一端完全固定在另一物体上树根补充一个新的约束类型=≠对平面情形，固定端的约束力用FAx、FAy和

MA表示

3、平面任意力系的简化结果分析=4种情况：其中合力矩定理合力合力若为O1点，如何？（与简化中心的位置无关）合力偶平衡主矢主矩最后结果说明合力合力合力作用线过简化中心合力偶平衡与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关合力作用线距简化中心ROFM¢0=OM0¹OM0¹OM0=OM思考题如图所示，在刚体上A、B、C三点分别作用三个大小相等的力F1、F2、F3，问该力系是否平衡？为什么？ABC向任意一点（如A点）简化最后结果为合力偶0¹OM思考题力系如图所示，且F1=

F2=

F3=

F4，问该力系向点A和B简化的结果是什么？二者是否等效？向A点简化，结果为AB向B点简化主矢大小方向不变(主矢与简化中心无关)二者当然等效（都和原力系等效）例2-7重力坝受力情形如图(3)合力作用线方程。(2)力系的合力与OA的交点到点O的距离

x，求:(1)力系向O点简化的结果，解：方向余弦主矩大小（1）向O点简化，求主矢和主矩（2）求合力及其作用线位置

x值。（3）求合力作用线方程即有：合力对原点的矩的解析表达式为平面任意力系平衡的充要条件是：

力系的主矢和对任意点的主矩都等于零。即

§2-4平面任意力系的平衡条件和平衡方程因为平面任意力系的平衡方程

平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零。1、平面任意力系的平衡方程平面任意力系平衡方程的三种形式一矩式二矩式A、B两点连线，不得与投影轴垂直三矩式A、B、C三个矩心，不得共线基本形式2、平面平行力系的平衡方程平面平行力系的方程为两个，有两种形式各力不得与投影轴垂直A，B两点连线不得与各力平行无效方程例3-1已知：AC

=CB

=l

,F

=10kN求：铰链

A

和

CD

杆受力。（用平面任意力系方法求解）解：取

AB

梁，画受力图解得矩心取在多个未知力的交点上方程中变量都是代数量，不带箭头FyxF例2-8已知：尺寸如图；求：轴承

A、B处的约束力。解：取起重机，画受力图解得试用二矩式写平衡方程P2P1……………(1)……………(2)……………(3)试用二矩式写平衡方程A、B两点连线，不得与投影轴垂直已知：求：支座

A、B处的约束力。解：取

AB梁，画受力图解得解得例2-9例2-10已知：求：固定端

A处约束力。解：取

T

型刚架，画受力图其中解得解得解得2m2m已知：尺寸如图；求：（1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3取值范围；（2）P3=180kN时，轨道

AB给起重机轮子的约束力。解：（1）取起重机，画受力图满载时，为不安全状况(临界状态)解得例3-6满载和空载两种极端情况平行力系，两个平衡方程（2）P3=180kN时解得FB

=870kN解得FA=210kN空载时，为不安全状况解得所以解：取

AB梁，画受力图。解得例3-14已知：尺寸如图；求：BC杆受力及铰链

A受力。FAx=15kNxy又可否列下面的方程？（三矩式）（2）可否列下面的方程？（二矩式）xy可直接解FT可直接解FAy可直接解FAx§2-5物体系的平衡·静定和超静定问题1.静定和超静定问题在静力平衡问题中，若未知量的数目等于独立平衡方程的数目，则全部未知量都能由静力平衡方程求出，这类问题称为静定问题。如果未知量的数目多于独立平衡方程的数目，则由静力平衡方程就不能求出全部未知量，这类问题称为超静定问题。静定超静定静定超静定由2部分组成，共6个平衡方程。静定静定超静定例3-5已知：曲轴冲床简图，OA=R，AB=l,不计物体自重与摩擦，系统在图示位置平衡。求:力偶矩

M的大小，轴承

O处的约束力，连杆

AB受力，冲头给导轨的侧压力。解:取冲头

B，画受力图。(平面汇交力系)解得解得取轮，画受力图解得解得解得能否用力偶只能和力偶平衡来求解？例3-6

已知:F=20kN,q

=10kN/m,l=1m求:插入端A及滚动支座

B的约束力。解:取

CD梁,画受力图。解得解得解得解得取整体,画受力图先局部后整体，也可先整体后局部例3-7已知:齿轮I：r，P1求:物

C匀速上升时，作用于轮

I

上的力偶矩

M；轴承

A，B处的约束力。解:取轮

II，III

及重物

C,画受力图解得由解得共重P2=2P1,重物P=20P1,压力角齿轮II：R=2r塔轮III：rskip解得解得取轮

I，画受力图解得解得解得例3-8已知:P=60kN,P2=10kN,P1=20kN,风载F=10kN,尺寸如图;求:A,B处的约束力。解:取整体,画受力图解得解得skip取吊车梁,画受力图解得取右边刚架,画受力图解得解得对整体图先整体后局部例2-13一般先取整体求A、E约束力，BD杆所受的力？即可求出A、E约束力对C点取矩即可求出BD杆所受的力取整体,画受力图解:取DCE杆,画受力图(拉)skip列两个矩方程，分别以A、B点为矩心求A、B的约束力？例2-14一般先取整体，不能全部求出4个未知量，但能求出两个，FAx和FBx再取BC为研究对象，杆上带滑轮时，不要将滑轮拆下对D点取矩即可求出FBy求出FBy后，再由整体即可求出FAy求固定端A约束力？例2-15先观察整体，共5个未知量，不能先求出其中的未知量。然后看分离体，BC为二力杆。取CD为研究对象。(滑轮不拆开)可求出3个未知量。再取AB为研究对象，可求解。例2-16求A、D的约束力？3个研究对象，每个可列3个平衡方程。共9个未知量先观察整体，共5个未知量，不能先求出其中的未知量。取分离体，受力分析可联立求解。解：以BC为研究对象，受力如图所示以AB为研究对象，受力如图所示skip再分析BC以AB为研究对象，受力如图所示例2-17求C、D的约束力，及杆AC受力？解：取整体为研究对象，受力分析可求出FCx、FCy和FD再取AB为研究对象，受力分析(不含销钉)可求出FAx、FAy和FB，其中FB为后面求解所需例2-17再取BC为研究对象，受力分析(含销钉)对E点取矩即可求出FAC固定铰支约束力(已求出)AC杆二力杆作用力Skip另解例2-17已知：a,b,P,

各杆重不计，C,E处光滑；求证：AB杆始终受压，且大小为

P。解：取整体，画受力图得

取销钉A，画受力图得取BC，画受力图得对ADC杆得对销钉A解得取ADC杆，画受力图

(不含销钉)已知：F,a,各杆重不计；求：A,

B,D处约束反力。解：取整体，画受力图解得取

DEF杆，画受力图得习题2-31得取

ADB杆，画受力图已求得§2-6平面简单桁架的内力计算桁架是一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构，受力后几何形状不变。桁架中杆件的铰链接头称为节点。工程中的桁架结构高压电输送塔架起重机塔架工程力学中常见的桁架简化计算模型3.桁架的各部分名称跨度L节间长度d桁高H下弦杆上弦杆腹杆斜杆竖杆1、各杆件为直杆，各杆轴线位于同一平面内；2、杆件与杆件间均用光滑铰链连接；3、载荷作用在节点上，且位于桁架几何平面内；4、各杆件自重不计或均匀分布在节点上。在上述假设下，桁架中每根杆件均为二力杆。两种计