用数学语言说话

《数学建模素养》入门篇之用数学语言说话主讲教师高全胜教授1.用数学说话的重要性1.1.学生的问题数学语言并没有内化到自己的语言系统中。不会对问题进行阅读、理解、转换和编码。应更加重视“理解”和“转换”。这就是美国数学教师全国委员会将“学会数学地交流”列为学校数学教育5类基本目标之一的重要原因。例子：过曲面上某点的所有曲线的切线共面。本节素材来自《数学教育学报》，版权归《数学教育学报》所有1.2.用数学语言说话的好处通过用数学语言说话可以培养数学感觉。前苏联的数学教育家维林金在《中小学数学的现代基础》中认为数学语言具有消除烦琐性、清除多值性和扩展表达的可能性的作用。这只是从数学语言的功能的角度而言的。在更高层次上，数学语言是一种要被数学共同体所公认并共同遵守的规范形式，因此在培养学生的数学感觉上具有特别的意义。数学感觉是以数学符号为主要词汇，以数学公理、定理、公式等为语法规则构成的感觉。通过数学地组织现实世界，对数学思想、理论、知识等进行表述、加工、交流、记录时，就会逐渐形成数学感觉。“数学语言”包括两个不同范畴的概念，狭义的概念是指“数学所使用的语言”，广义的概念是指“数学就是一种人们进行交流的语言”，因此学生通过用数学语言进行交流，就会形成数学感觉。例子：ax+by的三种解释。（行话）通过用数学语言说话还可以培养数学感情。数学语言在数学感情的形成中具有重要作用，数学知识和思想的表征、交流、传播甚至构造，都离不开数学语言。数学语言是沟通思维和实在的中介，数学的发展历史也包含着数学语言的生成发展过程，数学语言与数学的演进本身同步进行。数学语言是数学的重要知识单元，它的各个组成要素，诸如术语、符号、概念、文本等，共同构成了完整的知识结构，塑造了数学的知识框架，既是数学理论的表述载体，也是保证数学思想进行无障碍交流的必备条件。通过不断的交流，在逐渐强化数学感觉的基础上会形成对数学的“感情”，提高学生的数学素养和学习兴趣。对于9.4元给10元的认识。1.3.用数学语言说话的训练结构1建立符号基本单位系统：语素2直接解码单词和词组3阅读与翻译句子和句群4用数学语言解构段落5整合与数学化篇章情景2.建立符号基本单位系统：语素进行数学语言的交流与表达，如同任何一种语言一样，必须具有构成语言系统的基本单位，类似于英语中的字母或汉字中的语素，是最小的语音语义结合体。在数学语言中基本的语素包括的范围更加广泛，例如点、线、面也是基本的语素内容。通过这些基本单位再来进行组合形成内涵丰富的单词和词组。数学语言在数学中的基本形式有：文字语言、符号语言、图形语言。2.1.文字语言

是表达数学内容最基本的语言形式，是数学概念、符号关系与自然语言的有机融合。文字语言的基本形式为：数学概词，即表示数学概念的语言基本单位；数学关联词，即将数学概词进行组合。具体来说，文字语言系统包括最基本的数学概念，例如自然数、负数、实数、概率、正态分布等。2.2.符号语言

是数学对象、数学运算、数学关系、数学的推理过程等做出表述的一种语言形式，它具有形式化、公理化、模式化的特征。符号系统一般可分为：象形符号（如符号≠、≌等）、缩写符号（如f表示函数，ln

表示对数，sin表示正弦等）约定符号（如用表示增量，表示求和）。这些符号有的是通用的固定符号，如阿拉伯数字、运算符号、数的标识、辅助运算符号、关系符号、逻辑符号、图形符号、集合号、组合号、函数号、重要常数等，不同分支的特殊约定符号。有一些是临时约定的符号，非通用符号每次都要有相关说明，这样便于针对特定数学问题创造性的构造和应用符号系统。2.3.图形语言

是用直观图形对数学对象以及性质做出一种刻画的语言形式，它包括几何图形、函数图像及其他图形语言（示意图、表格等）。图形语言在数学上具有非常重要的地位，它的直观性可以弥补符号语言的抽象性，便于人们对数学内容的理解和认识。一篇好的数学建模文章，从数学语言上看，这几种语言都要有。2.4.数学语言的扩展数学语言中的语素发展随着学生不断的学习而不断扩展并不断抽象。在幼儿园阶段基本的语素单元包括生动直观的图像和图表，以加减乘除为代表的语素则是进入小学阶段的标志。在中学阶段，方程、函数、平面和立体几何中的线和面等语素成为学生学习的主题，这标志着由常量数学上升到变量数学的水平。进入大学，基本的语素被扩展为极限、导数、积分、向量、矩阵、概率等，并向抽象和多维扩展。以后的发展则是专业化语素的出现，最高层次就是对新的语素符号的创造。2.5.学生出现的主要问题由于数学语言的基本单位系统的建立直接关系到数学语言的表达，没有这些基本的语言单位系统，就会出现数学问题不能被表达出来，或者表达有错误，表达不全面，表达不清楚，不能用不同的语言形式来表达同一个数学信息。这是一个长期积累的过程，需要多次反复呈现才能够完全被掌握，对数学语言基本单位的掌握可以评价学生对某一数学知识的理解程度。另外的问题是学生在不同表达形式的数学语言之间，或在同一表达形式的数学语言的内部进行转换时产生了困难。3.直接解码单词和词组词是代表一定的意义、由语素或语素组构成可以独立运用的最小的语言单位。词所表达的概念一般是单纯的固定的，其内部的语义组合关系往往是融合性的。语素不是语言的“独立运用”单位，它不能充当句子结构中的成分。而词则可以作为句子的结构要素，是最小的独立运用的充当句子成分的结构要素。（极限是语素，极限的和是词组了。）只有对单词和词组进行数学语言的转换，才是真正掌握数学语言的第一步。否则，当基本的语言单位体系完全建立后，学生仍然不能够用数学语言灵活地表达实际问题。最基础的练习方法是学会对单词和词组的数学语言转换，在转换时，必须做的是将日常生活单词给换一个说法。案例1：极限的定义问题

极限是初学高等数学的学生难于理解不易掌握的一个重要概念，而数列极限概念在极限理论中起着关键的作用。刘徽的割圆术，首先作圆的内接正六边形，再作圆的内接正十二边形、内接正二十四边形等等，当边数无限增大时,这一串圆的内接正多边形就无限接近该圆周，这个圆的内接正多边形的周长无限地趋近于一个常数，这个常数就是该圆的周长。把一串周长看成一列数。国籍姓名比赛成绩（秒）日期(按时间排序)比赛地点当时年龄牙买加博尔特9.582009年8月17日德国柏林23牙买加博尔特9.692008年8月16日中国北京22牙买加博尔特9.722008年6月1日美国纽约22牙买加鲍威尔9.742007年9月9日意大利雷蒂25牙买加鲍威尔9.772005年6月14日希腊雅典23美国蒙哥马利9.782002年9月14日法国巴黎26美国格林9.791999年6月16日希腊雅典25加拿大贝利9.841996年7月27日美国亚特兰大29美国伯勒尔9.851994年6月7日瑞士洛桑25美国刘易斯9.861991年8月25日日本东京30美国伯勒尔9.901991年6月14日美国纽约22美国刘易斯9.921988年9月24日韩国汉城27美国史密斯9.931983年7月3日科罗拉多22美国海因斯9.951968年10月14日墨西哥首都22德国哈里10.01960年6月21日瑞士苏黎世

美国威廉姆斯10.11956年8月3日德国柏林

美国欧文斯10.201936年6月20日德国柏林

加拿大威廉斯10.301930年8月9日多伦多

美国帕多克10.401921年4月23日

美国利平科特10.61912年7月6日

美国伯克11.81896年

通俗定义给出一列数，随着这列数的个数的无限增加，这一列数会慢慢靠近一个固定的数，这个固定的数就是这一列数的极限STEP1：原始单词解码STEP2：派生单词解码极限历史明确地将极限作为微积分基本概念的是法国数学家达朗贝尔(D′Alembert，1717—1783):一个变量趋于一个固定量,趋于程度小于任何给定量,且变量永远达不到固定量。但他没有把它公式化,他的极限概念仍是描述性的、通俗的。但是他所定义的极限已初步摆脱了几何、力学的直观原型。因此,达朗贝尔的极限概念被看作是现代严格极限理论的先导。严格的极限理论是由法国数学家柯西（1789—1857)初建,由德国数学家外尔斯特拉斯完成的。1821年,柯西在《教程》中写道:“当一个变量逐次所取的值无限趋一个定值,最终使变量的值和该定值之差要多小有多小,这个定值叫做所有其它值的极限。”柯西使极限概念明确的成为算术的,而摆脱了长期以来的几何说明。他提出了极限理论的ε

-方法，把整个极限用不等式来刻画,引入“lim”来表示极限,并且用希腊字母ε

表示任意小的差。以极限的算术定义为基础,柯西给出了无穷小,无穷大定义:“当一个变量的数值这样地无限减小,使之收敛到极限零,那么这个变量就叫做无穷小;当变的数值这样地无限的增大,使该变量收敛到极限∞,那么该变量就成为无穷大。”在1851—1854年期间,外尔斯特拉斯对柯西的ε-方法进行了改造。外尔斯特拉斯反对“一个变量趋于一个极限”的说法,因为这种说法使人们想起了时间和运动。他把一个变量简单的解释成一个字母,该字母代表它可以取值的集合中的任何一个数,这样运动就消除了。一个连续变量是这样一个变量,若x0是该变量的集合中的任一值而ε

是任意正数,则一定有变量的其它值在区间(x0-ε,x0+ε)中。STEP3：综合单词解码综合前面的描述（许多时候需要多次反复，逐步深入），可以得到极限的精确定义：对数学语言进行操作所出现的困难一方面是在实际生活单词及其数学术语之间不能建立有效的联系，例如看到“近”后不知道可以用“距离”表示。有时候学生表现出的困难是在数学问题的解决过程中，学生很难构造出适当的数学语言来表示所研究的数学术语。例如，同样是“距离”，在直线上和在平面上的距离在表达形式上是有所区别的，在解释问题时仅仅需要符号“d”就可以了，但在运算时，则可能需要符号。

4.阅读与翻译句子和句群由“词”到“句子”有三种途径：(1)词组成词组，词组再带语调转化成句子；(2)词带语调转化成句子；(3)词直接组合成句子。在数学语言的转化过程中，主要是词或词组直接组合成句子的过程。词汇是构成语句的最小意义单元，对语句的理解是以正确理解单个词汇意义为前提的。但掌握了词义信息并不能保证能够正确理解语言，因为句子中的词汇都是按照一定的句法关系组织起来的，只有在正确理解这些句法关系的前提下，才能把不同的词语意义连贯起来组成完整的语义概念。在具体的对句子进行翻译的过程中，常常使用的手段有：(1)顺序译法，如果汉语句子的逻辑顺序与数学表达习惯大致相同，就可以按照原句的顺序译出来；(2)倒叙译法，数学语言和汉语是两种有各自特点的语言，它们在行文习惯和表达方式等方面必然存在许多差异。有时数学语言和汉语的叙述层次相反，需要在理解的基础上，改变原句的顺序；(3)拆译法，有时根据逻辑的需要，可以将原有的汉语句子拆译为两个或两个以上的句子，而有时则需要用连接成分将原有的两句话连成一句。案例2：无穷小的和还是无穷小问题

STEP1：寻找语素，符号表示STEP2：寻找新语素，简化表示STEP3：单词解码，逐步表示

STEP4：形成句群，综合表示只要将上述表示进行综合就可以得到句群的表示。注意到这里的分析方法和证明的顺序是完全颠倒的，如果按照教材的顺序讲授就忽视了证明问题的本质过程，另外这里的证明只要将问题用适当的数学语言进行描述就可以完全找到证明的关键点。在数学题设条件中，字母符号所呈现的各种特征，可以暗示着解题思路。特别地，在题设条件里地位相同的未知量暗示着它们在解答中的地位也相同。根据这个原理在很多时候能使我们预测到问题的解，或者发现解题途径。学生出现的问题在学生的学习过程中，用数学语言对句子进行识别过程中的问题主要是学生不能识别数学语言的基本属性及其暗示的信息，包括不能识别数学语言的基本属性及其所表示的数学对象以及不能识别符号语言的暗示功能。用数学语言理解句子中的问题包括学生在理解数学词语、数学命题等数学语言信息时产生了困难，从而不能完全理解数学语言并把握它们之间的关系。例如本案例中，出现了多个“无穷小”的概念，学生往往都把他们看成是处于一个地位，不加以区别，在识别和理解上都会出现困难。另外的困难是学生在运用数学的符号语言进行推理、运算的过程中出现错误。5.用数学语言解构段落正如段落是由一组语义相关的句子构成一样,篇章是由一组相互关联的段落构成的,段落是篇章组织的基本构成单位。段落作为介于语篇与句子之间的语篇单位，段落有表示始末的句法标记，作为文章基本单位的段落,它是由一组相互关联的、能表达同一个中心思想的句子包括主题句、支持句及结论句构成。段落语言的数学表达练习中，因为有上下文的帮助，所以采用迂回表达方式一般都能准确或比较准确地表达出作者的意图。在完全理解段落的意图后，对段落用数学语言进行结构的主要手段是发现主题句中的关键词，对主题句的限定语句，以及支持句中的关键词的数学表达。案例3：马步问题

马在国际象棋棋盘中的某个位置，按照马步规则，移动马并让马访问所有的格子，每个格子每次访问且仅仅访问一次，请问能否走？如何走？说明：我们不关注如何解决这个问题，而是关注如何将问题数学化。

STEP1：段落分解，寻找关键词本问题中主题句、限定语句和支持句的划分不很明确，几乎每一句都需要进行解构。通过对段落中的句子进行解构，首先要注意几个主要关键词：棋盘，位置，马步规则，访问，所有。STEP2：语素对应，解码关键词STEP3：单词连接，回到段落学生遇到的问题在学生的学习过程中，学生出现的主要问题首先是不能正确理解数学词语，这仍然属于前面的问题。其次，由于文本内容长度增加，一方面学生难以理解各个数学语言信息块，另一方面学生也更加难以正确理解数学语言信息块之间的关系。学生在数学语言的理解过程中，应该重视体现自己的已有知识对语言理解的程度，缺乏有关的信息，或者未能激活记忆中的相关信息，就会导致数学语言理解障碍。最后就是有的题目，思路有了，因语言迟钝，就是写不清、道不明。6.整合与数学化篇章情景当读者加工一篇文章时，首先是对篇章文字表层的解码，获得表层结构，然后将这些表层结构解释为一连串基本命题，这些命题按照语义关系被组织起来。篇章的这种语义结构包括两种水平：一是微结构水平，一是宏结构水平。微观结构又称课文基面，是篇章的局部水平，即一个个命题以及它们间关系的结构，宏观结构是一个更为全局、整体性的结构。篇章理解是一个从微观结构到宏观结构不断循环往复的过程。读者在加工篇章中特定的命题以形成宏观结构的过程中，需要对某些命题运用一定的规则，譬如删除、概括和构造等。通过一系列这样的宏规则，能够浓缩、抽象篇章基面的细节、要点，以产生篇章的主题意思，即宏观结构案例4（人口预测问题）

中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测（2007年全国大学生数学建模竞赛A题）。

STEP1：情景分析，设定模型首先需要从语篇中首先获得表层结构，即对语篇文字表层的解码。本问题是一个对我国人口数量进行中短期和长期预测问题。对人口数量进行预测目前有许多比较成熟的方法，但根据我国目前人口状况的新的特点和形势，所选择的预测模型必须要考虑到我国老龄化程度的加快、人口性别比例失调和城镇化加剧的实际。人口系统是一个典型的社会动态系统，因此人口预测应是一项实时性研究，需要根据人口生育水平和死亡水平的最新变化特点，不断跟踪分析人口发展态势。为了清晰地了解生育率、死亡率及迁移率等因素对人口系统的影响，在此利用带有Leslie矩阵的状态空间简化模型来研究人口系统的动态结构。我们选择利用矩阵方法进行人口数量预测的动态模型，该模型比较全面地考虑了上述问题。使用的主要参数包括：各年龄段的婴儿出生比例，可用来研究我国目前人口比例逐渐不合理问题，人口死亡率和存活率指标可以用来研究老龄化进程加快的影响，迁移人口指标可以用来刻画城镇化加剧的影响。STEP2：篇章分解，表示模型然后将这些表层结构解释为一系列基本命题，命题按照语义关系组织在一起，形成一个连贯的语义表征。为此先要用一些符号表示关键词，将关键词连接为句子，包括一些隐含的限制条件。则有下面的人口变动条件：（1）t+1年0岁人口总数=（1－婴儿死亡率）*（t时刻各年龄段性别比例、t时刻各年龄段的妇女生育率和t时刻各年龄段人口总数的乘积之和）＋净迁移人数；（2）t+1时刻i+1岁的人口总数=（1-i岁人口死亡率）*t时刻人数+t时刻i岁净迁移人数；将上述条件符号化，得到：STEP3：归纳整理，形成模型最后是通过宏观规则建立语篇的整体意义结构，它呈现语篇的整体联系。整合阶段的主要务是产生新的激活向量，使得文章网络中与问题要求有关的重要信息有较高的激活性，无关信息失去活，从而突出表征中的有用节点，剔除无用信息，形成一个高度整合的篇章表征。但进行实际计算时，由于数据资料的限制，上述数据不可能全部得到，为此需要进行数据的补充。写成矩阵的形式为：

学生出现的困难在学生的学习过程中，学生出现的困难主要是数学语言组织困难，它是指学生在接收数学语言信息时不能有效地进行筛选、整合、贮存等加工过程。数学语言组织困难包括三个层次，第一个层次是由于语篇的巨大长度，学生难以在短时间内把握语篇的要点，不能明确解决问题的思路，得出解决问题的方法。第二个层次是不能筛选出有关数学语言特征的信息，审题发生困难，理解出现偏差，例如本案例中所选择的预测模型必须要考虑到我国老龄化程度的加快、人口性别比例失调和城镇化加剧的实际。第三个层次是不能分析出数学语言之间的联系，列出关系式，不能归纳出各个数学公式间的关系，不能再现概念的定义、公式和定理的证明等，也体现在数学语言信息输入学生头脑时，不能顺利地对旧语言信息进行回忆（提取），使新旧信息之间建立联系。在本案例中的表现是不能找到人口的变化方程，找到方程后不会用矩阵符号进行转换和简化。案例5：飞行管理问题（1995年全国大学生数学建模竞赛题）在约10000m高空的某边长160km的正方形区域内,经常有若干架飞机作水平飞行,区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据,以便进行飞行管理.当一架欲进入该区域的飞机到达边界区域边缘时,记录其数据后,要立即计算并判断是否会与其区域内的飞机发生碰撞.如果会碰撞

,则应计算如何调整各架(包括新进入的)飞机飞行的方向角,以避免碰撞.现假设条件如下:1)不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8km;2)飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度;3)所有飞机飞行速度均为每小时为800km;4)进入该区域的飞机在到达区域边缘时,与区域内飞机的距离应在60km以上;5)最多考虑6架飞机;6)不必考虑飞机离开此区域后的状况;请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型.列出计算步骤,对以下数据进行计算(方向角误差不超过0.01度),要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小

.设该区域4个顶点坐标为(0,0),(160,0),(160,160),(0,160).记录数据为:

飞机编号横坐标x纵坐标y方向角(度)1