如何设计正交实验

正交试验设计进行一项科研如同建造一座大厦，其设计、质量控制、分析、验收等都十分重要。如果大厦没有良好的设计和质量控制，就会出现问题，甚至倒塌。科研工作若没有良好的设计和质量控制，就会失败，得出错误的结果，浪费国家的钱财。科研设计如同建筑设计一样举足轻重。实验设计实验设计大致可以分为四种类型：析因设计、区组设计、回归设计和均匀设计。析因设计又分为全面实施法和部分实施法。析因实验设计方法就是我们常说的正交实验设计。正交实验正交法五十年代由日本统计学家和质量管理专家田口玄一博士发展完善，并广泛应用到国民经济的各个域，极大地促进了日本经济的高速增长。均匀设计则由中国统计学家方开泰和王元所创。正交实验

正交试验设计是用于多因素试验的一种方法，它是从全面试验中挑选出部分有代表的点进行试验，这些代表点具有“均匀”和“整齐”的特点．正交试验设计是部分因子设计〔fractionalfactorialdesigns)的主要方法，具有很高的效率。本节介绍正交设计的方法、数学模型及其数据分析。正交试验设计的概念正交试验设计是从全搭配中应用均衡抽样的原理，选出具有代表性的试验来做，而不需要象析因设计，设计全搭配。因此能节省财力，实验效率很高。是我国目前正在推广的软科学方法之一。三个因素：A(3)B(3)C(3)全搭配：3×3×3=27A1A2A3B1B2B3C1C2C3只要做9次试验逐一实验工作量大无法进行没有必要正交表正交表是安排实验、分析实验的—种简单而容易掌握的有力工具。它是根据数理统计原理归纳出来的一种合理安排实验的表格。L4(23)正交表的L代表“正交”之意，在L底部的数字，表示表中的横行数，是安排实验的次数，此表可安排4次实验；括号内的大数字表示表内有几种数字，即每个因子可安排的水平数，此表每个因子可安排两个水平；括号内大数字右上角的小数字，表示表中纵列数，为可安排的因子数，此表最多可安排三个因子之意。以L4(23)表的l、2、3列安排A、B、C三因子实验为例，从纵列来讲，第一列表内的数字l代表安排A的第一个水平，2代表安排A的第二个水平(其它列号也照此安排)；以横行来讲，第一号实验，表示做A1,B1,C1配方实验，第二号实验做A2,B2,C2配方实验(其它以此类推)。特点

1．每一列中，数字1和数字2出现的次数相等(这里都是2次)。2．任意两列中，将同一横行的二个数字看作有次序的数对(就是按左边的放在前，右边的放在后，这一次序排列的数对)，共有四种：(1，1)，(1、2)，(2，1)，(2，2)，每种数对出现的次数相等(这里都是一次)。以上两点就是正交表的两个数学性质，凡满足这个性质的数字表都称为正文表。如何来选用正交表根据实验因子水平数减一乘以因子数，最后加一，若有交互影响，再加上交互作用因子的自由度乘以交互作用因子数，即是最少需超过的实验次数，最后根据最少需超过的实验数和因子水平数选用正交表。以4因子2水平实验来讲，最少需超过实验次数＝(2-1)x4+1＝5，又因为水平数是2，所以只能从2n因子正交表中选实验稍大于5的正交表，根据这点选L8(27)表安排实验。这就成了全实施的1/2实验方案了。(因为全实施是24=16)试验号1（A）2（B）3（C）1A1B1C12A1B2C23A1B3C34A2B1C35A2B2C26A2B3C17A3B1C38A3B2C19A3B3C2正交表ABC全搭配27999只要求做9种搭配设计矩阵8/128=6.25%工作量：正交设计的试验次数是水平数平方的整数倍实验设计的目的1、高效，用最少的投入，说明尽可能多问题。2、控制误差，将真正的因素效应显示出来3、结果科学、可靠为什么要进行实验设计？正交设计的另一特点，是能把各个因素的效应进行分解，利用正交表的性质，可以进行单因素分析。Y分解ABC将效应投射到不同的平面，这样就能区分效应分解的前提：必须按正交的要求来安排实验。123123123YABC效应分解作用效应或反应(response)效应分解而不混杂：前提按正交表要求安排实验多因素正交试验与单因素设计的区别科学中，多种因素相互作用后，产生的某种效应，显然这种效应是受多种因素影响，而且这些因素之间，常常相互影响（即所谓交互作用：协同作用和拮抗作用），不能简化为单因素优选进行考察，单因素分析不能反映实际情况。正交设计能分析这种多因素及它们间的相互作用。实例说明：配方ABCY效应因素效应正交试验设计方案制定制定因素及水平表设计试验方案选择合适的正交表表头设计开展试验步骤一制定因素及水平表

首先根据研究目的和条件，根据文献研究、实际经验，从专业上全面分析和考虑，将要开展的试验大概涉及哪些因素（主要因素和次要因素）和水平数。遵循的基本原则：1、抓住主要的关键性因素2、已经研究清楚的因素可少取，也可固定在某个水平上，未知因素可多取3、重点考察对试验结果影响较大，但还没有掌握规律的因素4、切忌不分主次考察很多因素，增加试验难度，漏掉重要因素5、分析因素间的是否有交互作用存在

是否存在交互作用主要从专业上考虑步骤一制定因素及水平表

水平数的选择也很重要，直接影响试验的质量，注意以下几点：1、初次试验，水平数可以2~3个为宜，不能贪多，水平数可以相等，也可不等。2、重要因素水平数可多取3、用数量表示水平的因素，各水平间的距离要选择恰当，过近结果差异不显然，过远，有可能漏掉两水平间重要信息应用实例-1：

某研究者欲观察，理中汤中四味中药对治疗纳呆久泻的脾阳虚证的疗效作用的规律。1、研究因素理中汤中有四味中药，以每味中药作为因素A——人参B——白术C——干姜D——甘草交互作用人参与白术——A×B人参与干姜——A×C白术与干姜——B×C

在影响试验结果的诸因素中，有些因素不仅单独对效应起作用，而且还与其它一个或多个因素联合起来影响响应值（效应值）。这种联合作用就称为“交互作用”。如果两个因素联合则称为双因子交互作用；如果三个因素联合则称为叁因子交互作用；如果多个因素联合则称为多因子交互作用，或称为高级交互作用；一般情况下，高级交互作用通常可以忽略。交互作用的定义——A1B1B2B1B2A2A1B1因素A1B2A2B1A2B2Y举例：交互作用的分类ABCDA×BA×CA×DB×CB×DC×DA×B×CA×B×DB×C×DA×B×C×D主效应一级交互作用二级交互作用三级交互作用一般情况只考虑一级交互作用2、确定因素水平

因素在试验中所取的各种状态称为因素的水平，一个因素取几种状态就叫它为几水平的因素。

本研究根据文献记载临床用药量已经固定，为分析各中药（因素）对效应的影响及是否存在交互作用，因此各因素取相等的两个水平。B（白术）：C（干姜）：D（甘草）：A（人参）：A1=0gA2=6gB1=0gB2=9gC1=5gC2=0gD1=6gD2=0g步骤二设计试验方案1、找合适的正交表一般统计书中都给出常用的正交表表示正交表意思表示正交表有n行，可安排n次试验表示正交表的水平数为k表示正交表有m列，最多可安排m个因素常见正交表常见正交表A——人参B——白术C——干姜D——甘草交互作用人参与白术——A×B人参与干姜——A×C白术与干姜——B×C因素考察最小试验组数①无交互作用时最小试验组数n=1+Σ（每个因素水平+1）=（k-1）m+1②有交互作用时应加上每一交互作用：（A因素水平–1）×（B因素水平-1）实例分析（k-1）m+1=51+1+1=3n=8n=8确定正交表2、表头设计要求：①没有交互作用时，可随意安排因素在各列中；②有交互作用时，不能随意安排，要优先安排具有交互作用的因素，A、B、C因素先考虑；列号1234567（1）325476列（2）16745（3）7654号（4）123（5）32（6）1交互作用表ABA×BCA×CB×CD1234567表头设计人参白术干姜甘草ABA×BCB×CA×CDA1B1C2D2A2B1C2D1A1B2C2D1A2B2C2D2A1B1C1D2A2B1C1D1A1B2C1D1A2B2C1D2AB药用BD药用AD药用都不用ABC药用BCD药用ACD药用C药用1234567812345678开展试验——做试验1、严格按正交表分组做试验2、动物或病人在分组时要遵循随机化原则或采用区组设计3、试验次序也要随机化4、实验过程中应力要其它条件在各组中保持不变，这样能保证组间的可比性

例：观察理中汤对纳呆久泻的脾（阳）虚证的疗效，以化验指标、体征与症状改善综合评分进行疗效判断，每个处方观察3个病人，如何随机化开展实验。8组每组三个病人24病例24个病例随机分入8组列号1234567ABABCACBCD人参白术干姜甘草综合评分疗效分数（r=3）合计Σ12345678III△R处方组合1111222211221122112222111212121212122121122112211221211210430-375131531514313024951042932421182620327815923127416823420832025818614324918320922399-45-13181-511药物P0.0000.005

0.0010.1120.1850.0170.947最佳组合：A2B2C1D1A2B2C1D2平均101.6710.3310.3331.679.6739.3326正交试验设计中应注意的问题1、必须严格按正交表来安排试验。2、试验分组和安排试验都要遵循随机化或采用区组设计思想处理。3、如果存在交互作用，表头安排时单独效应和交互效应要能区分。4、当水平数很多时，要考虑因素与效应之间是否是线性关系。如果是线性可理采用常规的分析方法，如果不是线性，宜采用多项式回归。5、必须按正交表的搭配来安排实验，不同试验号的试验尽可能同时进行。应用实例-2：过去生产乙酰胺苯，产率一直保持在65%左右，为了提高产量，根据工人经验，提出反应温度、反应时间、硫酸浓度和操作方法四个因素(子)的两个水平的研究题目。

1、正交表选择根据原则，确定最少需超过实验次数=(2-1)×4+(2-1)(2-1）×1+1＝6，也由于研究条件A，B，C，D因子均是2水平的，因此选入L8(27)表较为适宜。表头设计表头设计原则：第一，注意不要让主效应之间、主效应与其它交互作用有混杂现象。第二，当知道A与B有交互作用时，就要查交互作用表，将A×B安排在A与B交互作用列上。安排实验根据表头设计，按随机法照各号主效应配方进行实验。如一号实验，就取A1，B1，C1，D1进行配方实验；6号实验，就取A2，B1，C2，D1进行配方实验。其测得收得率填入各号实验结果项内。其结果见表：表格中各项计算

直观分析a．看表中的各因子对应的K1与K2值的大个，可知：A取A1好，B取B1好，C取C2好，D取D2好，即它的最优工艺是A1B1C2D2。b．从表中的各因子K1-K2值来看，C和A×B是影响产量的主要关键，A次之，B、D再次之。c．由于A×B是影响产量的关键，因此就得进一步作A×B的各水平K值比较。直观分析由此比较，知A1B2值大，A2B1次之，A2B2最差。因此，前面确定的A1B1C2D2工艺应改为A1B2C2D2。直观分析一般来讲，这项研究到直观分析结束时即可终止，但由于A1B2C2D2配方没有作过实验，为了慎重可补作这一配方实验，看看结果是否最优。也由于B1改为B2，即由反应时间1小时改为2小时，从缩短生产时间来讲，就要考虑是否真的反应时间增加1小时收得率就高？要解决这个问题就得进一步作方差分析了。方差分析由于正交设计关系，此虽未作重复实验，也可以分析各种交互作用，这就是正交设计长处之一。为了节省计算时间，此2水平的计算还有一简切的方法。即：

S=（K1-K2）2/实验次数关于各种自由度f，2n因子正交表规定每列为2-1＝1。此表误差占2列自由度为2。此表有7列，总自由度为7。SA=121/8SB=81/8SA×B=361/8SC=361/8SD=81/8

SE=9/8+25/8=34/8SE的自由度为2,其它为1所以：F=（各因素方差/各因素自由度）/误差方差/误差方差自由度FA=(121/8)/[(9+25)/(8×2)]=121/17=7.12FB=(81/8)/[(9+25)/(8×2)]=81/17=4.76FA×B=(361/8)/[(9+25)/(8×2)]=361/17=21.24FC=(361/8)/[(9+25)/(8×2)]=361/17=21.24FD=(81/8)/[(9+25)/(8×2)]=81/17=4.76

最优工艺选取①F检验C显著，而C1估计值为-19/8，C2估计值为19/8，所以C取C2好。(表中各值按2水平简切计算法，其值是各因子水平1的，而因子水平2的只加上一个负号，而值不变，C1=-19/8，C2=19/8）②F检验A×B显著，而AXB（K1）是与2个A1B1及2个A2B2相对应，所以可看作A1B1=A2B2=（AB）1=-19/8，以此类推，AXB的K2，即A2B1=A1B2=（AB）2=19/8，由此可知A2B1或A1B2是AXB的最好配方。但考虑在生中宜缩短工时，以取A2B1为好。③F检验说明A、B水平间差异不显著，可根据A×B最优配方来取，D水平间差异亦不显著，可任意选取，但考虑不搅拌方便，所以取D2。经过以上三点分析，乙酰胺苯最优生生产工艺可以确定为A2B1C2D2。即反应温度70℃，反应时间一小时，硫酸浓度为27%，操作方法不搅拌这个生产条件是乙酰胺苯最优生生产工艺。最优生产工艺平均收得率估计做完一批实验．选出了最优生产条件(或方法)，还要从这些数据中算出今后用这工艺生产的收得率的均数有95%落在什么范围内。这就称最优工艺平均点的估计值。它的计算方法分两个步骤，第—步先算出最优工艺平均点的估计值（μ优），再算出它的平均点半径值（δ），最后将μ优±δ就是这工艺理论平均估计值。a．最优工艺平均点估计μ优μ优=全部实验平均值十显著因子的好水平估计值=μ+C2+A2B1+简化时除去之值μ=T/8=－5/8C2=19/8A2B1=19/8简化值=70μ优=－5/8+19/8+19/8+70=74.13b．最优工艺平均点的半径值δ①算出新的误差S。

Se’=Se+不显著因子的S之和=Se+SA+SB+SD=34/8+121/8+81/8+81/8=317/8②算出新的误差自由度fe′：

fe′=fe+不显著因子的自由度之和=fe+fA+fB+fD=2+1+1+1=5

ne=实验总次数/（1+显著因子自由度之和）=8/（1+1+1）=8/3c．根据上述数据从F表中查出Fa值

Fa＝F0.05（1，fe′）=F0.05(1，5)＝6.61d．将上述各数据代入下式于是可以预料，用A2B1C2D2条件生产，其收得率平均值有95%落在其69.70%—78.56%之间。讨论由于试验中客观存在误差，不作统计分析往往会得出错误的结论。经过统计分析选出的最优条件不仅是已做过试验的八个条件中最好的，而且是全面试验的十六个条件中最好的。用正交表安排试验，不但简化方差分析手续，而且试验次数也可以减少，交互作用也可以分析，这就是正交设计的长处。应用实例三：晶体退火工艺的改进

检查癌细胞用到一种碘化钠晶体，要求应力越小越好，希望不超过2度，晶体的退火工艺是影响晶体质量的一个重要环节验，采用的工艺如图所示，先将晶体放在炉内以50℃/小时的速度升温至600℃，然后恒温6小时，再用1.5安培的电流使晶体降温至250℃，最后断电，使其自然降温。在此工艺下，其它指标都已合格，但应力未能低于7度。现在，通过正交试验，希望找到能降低应力的工艺条件。考核指标：应力(度)确定试验方案，分析试验结果

1、挑因素、选水平，制定因素水平表因素升温速度A恒温温度B恒温时间C降温速度D水平130℃/hr600℃6hr1.5安培水平250℃/hr450℃2hr1.7安培水平3100℃/hr500℃4hr15℃/hr确定试验方案，分析试验结果2.利用正交表，确定试验方案所需实验最小组数：（3-1）×4+1=9，所以选取L9（34）正交表确定试验方案，分析试验结果3、结果分析每号条件做一炉试验，应力结果记在表相应条件的右边

升温速度恒温温度恒温时间降温速度应力1113262211173312315412218522330.56321277131318232269333113试验结果的分析（一）直观分析1）直接看第5号试验A2B2C3D3的0.5度最好，第7号A1B2C1D3的1度次之。这两号试验的具体条件是

升温速度恒温温度恒温时间降温速度策5号50℃／小时450℃4小时15℃／4小时第7号30℃／小时500℃6小时15℃／小时试验结果的分析2）算一算(1)对于各因素列，算出各个位级相应的三次应力之和。如第三列恒温时间;K1＝位级三次应力之和＝第2、6、7号应力之和＝7+7+1＝15度；K2＝第3、4、8号应力之和＝15+8+6＝29度；K3＝第l、5、9号应力之和＝6+0.5+13＝19.5度。升温速度恒温温度恒温时间降温速度应力1113262211173312315412218522330.56321277131318232269333113K115281529K213.515.52919K3352019.516.5R21.512.51412.5对于每列，比较各自K1、K2和K3的大小，因为应力越小越好，所以应力之和小的位级较好。第l列(A列)K2小，所以A2较好；第2列(B列)K2小，所以B2较好；C列K1小，所以C1较好；D列K3小，所以D3较好。把这四个好位级结合在一起，A2B2C1D3，称为全体配合(本例有四个因素，每个有三个位级，因此全体配合有81个)中关于应力的可能好配合。(二)计算各列的极差RR＝相应列的K1、K2和K3中的最大数—相应列的K1、K2和K3中的最小数。如第3列恒温时间K1=15、K2

＝29、K3

＝19.5，它们的最大数是29，最小数是15．因此按公式R=29—15＝14度。四个极差记在表的最下一行。极差大的因素通常意味着该因素三个位级相应的应力差别大，是重要因素，极差小的因素可能是不重要的因素。（三）画趋势图计算完极差后，对于数量性水平的三水平因素，应该画出用量与试验结果之和的关系图，以便从图形上直接看出试验结果随各因素用量变化的大体关系。具体来说，对于每个因素，以实际用量(而不是位级号码的大小)作为横坐标，试验结果之和作为纵坐标，画出三个点，得出该因素的趋势图。(四)可能好配合(1)通过“算一算”得到A2B2C1D3为81个配合中的可能好配合。

(2)可能好位级与大范围的可能好配合。对于分两个位级的因素，能看出两个用量谁好谁差，但看不出继续提高效果的好用量的方向；对于分三个位级的因素，情况起了变化。请注意恒温温度B的趋势图通过对趋势图的分析，可以得到如下的好条件:最后，把展望的四个好位级结合到一起，得A2B4C8D3，它称为大范围的可能好配合，或称为“算一算”的好条件。具体是：升温速度：50℃/小时恒温温度：400℃

恒温时间：4小时降温速度：15℃/小时(五）第二批撒小网由恒温温度的趋势图看出，降低应力还有潜力。为进一步降低应力，决定再做第二批正交试验。

1．制定因素水平表关于升温速度，上批试验中，升温快的A3＝100℃/小时，第3、6、9号试验应力都很坏，不能再用。速度慢的A1＝30℃/小时，升温时间过长，不愿再用。所以在这批试验中，一律用50℃/小时，不再实验其他水平。换句话说，在这批试验中，升温速度保持在良好的固定状态50℃/小时，而不再作为要考察的因索。另外三个因素，以算一算的好水平B4、C3、D3为主，即以大范围的可能好配合为主，参看“直接看”的好水平，各取两个水平。其因素水平表如下：因素水平表因素恒温温度恒温时间降温速度水平1450℃3hr15℃/hr水平2400℃5hr25℃/hr2.确定试险方案所需实验最小组数：（2-1）×3+1=4，所以选取L4（23）正交表恒温温度恒温时间降温速度11112212312242213．试验结果恒温温度恒温时间降温速度应力1111022120.231220.442210K10.40.20K20.20.40.6R0.20.20.6由表右方看出，这批四个试验基本消除了应力总结

通过各种举例，说明用正交设计安排试验，既能合理地少做试验达到满意的结果又能从多因素中分析出那些因子是主要的，那些因子是次要的，以及对试验影响的规律。所以正交设计确实是一种符合多快好省的科研方法。为广便