微积分下学期

回顾第一节：定积分的概念1、定义：2、几何意义：各部分面积代数和3、可积条件：且只有有限个间断点第三节：微积分基本定理第二节：定积分的性质则变上限函数定理1.

若(牛顿-莱布尼兹公式)

定理2.函数,则

基本积分法换元积分法分部积分法换元必换限配元不换限边积边代限第四节：定积分的计算

反常积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限第五节：广义定积分转化第六节利用元素法解决:定积分在几何上的应用定积分在经济上的应用定积分的应用知识回放：求曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.机动目录上页下页返回结束矩形面积梯形面积解决步骤:1)

大化小.在区间[a,b]中任意插入

n–1个分点用直线将曲边梯形分成n

个小曲边梯形;2)

常代变.在第i

个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得机动目录上页下页返回结束3)近似和.4)取极限.令则曲边梯形面积机动目录上页下页返回结束（一）机动目录上页下页返回结束定积分的元素法一、什么问题可以用定积分解决?二、如何应用定积分解决问题?表示为一、什么问题可以用定积分解决?

1)所求量

U

是与区间[a,b]上的某分布f(x)

有关的2)U

对区间[a,b]

具有可加性

,即可通过“大化小,常代变,近似和,取极限”定积分定义机动目录上页下页返回结束一个整体量

;二、如何应用定积分解决问题?第一步

微分表达式第二步求出整体量的精确值积分表达式这种分析方法成为元素法

(或微元分析法)元素的几何形状常取为:条,带,段,环,扇,片,壳等求出局部量的近似值第二节目录上页下页返回结束一、平面图形的面积二、立体图形的体积机动目录上页下页返回结束（二）定积分在几何上的应用

一、平面图形的面积设曲线与直线及

x

轴所围曲则机动目录上页下页返回结束边梯形面积为A,右下图所示图形面积为例1.

计算两条抛物线在第一象限所围所围图形的面积.解:

由得交点机动目录上页下页返回结束例2.

计算抛物线与直线的面积.解1:

由得交点所围图形例2.

计算抛物线与直线的面积.解2:

由得交点所围图形为简便计算,选取

y

作积分变量,则有机动目录上页下页返回结束例3.求椭圆解1:

利用对称性,所围图形的面积.有应用定积分换元法得当a=b

时得圆面积公式机动目录上页下页返回结束例3.求椭圆解2:

利用对称性,所围图形的面积.有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得机动目录上页下页返回结束一般地,当曲边梯形的曲边由参数方程

给出时,按顺时针方向规定起点和终点的参数值则曲边梯形面积机动目录上页下页返回结束巩固：P182

1（2.3.4.5）二、立体图形的体积1、平行截面面积为已知的立体体积2、旋转体的体积1、平行截面面积为已知的立体的体积设所给立体垂直于x

轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为机动目录上页下页返回结束上连续,特别,当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时,有当考虑连续曲线段绕y

轴旋转一周围成的立体体积时,有机动目录上页下页返回结束2、旋转体的体积例4.

计算由椭圆所围图形绕x

轴旋转而转而成的椭球体的体积.解:方法1

利用直角坐标方程则(利用对称性)机动目录上页下页返回结束方法2

利用椭圆参数方程则特别当b=a

时,就得半径为a的球体的体积机动目录上页下页返回结束例5：求底面半径为R，高为H的圆锥体的体积[分析]：[练习]：[分析]P1822(1)[分析]：P1822（4）P1822（2）例6.

一平面经过半径为R

的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,解:

如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x

轴的截面是直角三角形,其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积

.机动目录上页下页返回结束思考:

可否选择y

作积分变量?此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积?提示:机动目录上页下页返回结束巩固：P1823（1.2）1.平面图形的面积边界方程参数方程直角坐标方程上下限按顺时针方向确定机动目录上页下页返回结束2.平行截面面面积已知的立体体积旋转体的体积绕

x

轴:绕

y

轴:内容小结作业P1821（1）2（3）一、由边际函数求原函数二、由变化率求总量机动目录上页下页返回结束（三）定积分在经济上的应用

三、收益流的现值和将来值一、由边际函数求原函数边际函数。则有于是例1：生产某产品的边际成本函数为求生产x个产品的总成本函数。[分析]：例2：求收益函数R(x)[分析]：二、由变化率求总量例3：的总量。[分析]：例4：当产量由200增加到300时，需追加成本多少？[分析]：追加成本例5：[分析]：巩固：P1824、5、6三、收益流的现值和将来值若以连续复利率r计息，一笔P元人民币从现在起存入银行，t年后的价值（将来值）：若t年后得到B元人民币，则现在需要存入银行的金额（现值）：一年后的本利和：二年后的本利和：k年后的本利和：若一年分n期计息，年利率仍为r,则每期利率为于是一年后的本利和有关连续复利问题：k年后的本利和(称为连续复利）则k年后的本利和为：收益流：若某公司的收益是连续地获得的，则其收益看作是一种随时间连续变化的收益流收益流量：收益流对时间的变化率和单笔项一样，收益流的将来值定义为将其存入银行并加上利息之后的存款值；而收益流的现值是这样一笔款项，若把它存入银行，将来从收益流中获得的总收益，与包括利息在内的银行存款值，有相同的价值。若有一笔收益流的收益流量为下面计算其现值和将来值。（连续复利率为r)若有一笔收益流的收益流量为结论例6：假设以年连续复利率r=0.1计息（1）求收益流量为100元/年的收益流在20年期间的现值和将来值。（2）将来值和现值的关系如何？解释这一关系。[分析]：(1)(2)

以后连续复利率r=0.1计息，则20年中这笔单独款项的将来值为：这正好是上叙述收益流在20年期间的将来值。例7：设有一项计划现在（t=0)需要投入1000万元在10年中每年收益为200万元，若连续利率为5%，求：收益资本价值W（设购置的设备10年后完全失去价值）[分析]：资本价值=收益流的现值–投入资金的现值收