高数课件不定积分-d52-3公式

一、积分上限的函数及其导数二、牛顿–莱布尼兹公式第二节机动目录上页下页返回结束微积分的基本公式

第五章fundamentalformulaofcalculus

一、积分上限的函数及其导数积分上限函数的几何意义积分上限函数的几何意义曲边梯形的面积的代数和随x的位置而变化。所以，我们只需讨论积分上限函数.积分上限函数也称为变上限函数则变上限函数证:则有机动目录上页下页返回结束定理1.

若积分联结为一个有机的整体(2)连续函数f(x)一定有原函数,就是f(x)的一个原函数.(1)积分运算和微分运算的关系,它把微分和所以它是微积分学基本定理.函数—微积分,定理1指出说明:1)定理1证明了连续函数的原函数是存在的.2)变下限积分求导:同时为通过原函数计算定积分开辟了道路.机动目录上页下页返回结束定积分与积分变量的记号无关.例1.

求这是复合函数求导,你能写出它的一般形式吗?例2.

回顾复习记住！！！例3.

求解:原式说明目录上页下页返回结束例4.确定常数a,b,c

的值,使解:原式=

c≠0,故又由～,得证例4证明函数为单调增加函数.只要证为单调增加函数.故例5

解求极限

2004年考研数学(三)5分

二、牛顿–莱布尼兹公式(牛顿-莱布尼兹公式)

机动目录上页下页返回结束证:根据定理1,故因此得记作定理2.函数,则微积分基本公式表明注求定积分问题转化为求原函数的问题.一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[a,b]上的增量.仍成立.例6.

计算解:例7.

计算正弦曲线的面积.解:机动目录上页下页返回结束怎么办？

去绝对值符号(如果是分段函数，则利用积分的性质将积分分成几个部分的和的形式.)例8.解:例9.

汽车以每小时36

km的速度行驶,速停车,解:

设开始刹车时刻为则此时刻汽车速度刹车后汽车减速行驶,其速度为当汽车停住时,即得故在这段时间内汽车所走的距离为刹车,问从开始刹到某处需要减设汽车以等加速度机动目录上页下页返回结束车到停车走了多少距离?内容小结则有1.微积分基本公式积分中值定理微分中值定理牛顿–莱布尼兹公式2.变限积分求导公式公式目录上页下页返回结束作业第三节目录上页下页返回结束P2403;4;5(3);6(8),(11),(12);9(2);12备用题解：1.设求定积分为常数,设,则故应用积分法定此常数.机动目录上页下页返回结束2*.求解：的递推公式(n为正整数).由于因此所以其中机动目录上页下页返回结束二、定积分的分部积分法第三节不定积分一、定积分的换元法换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法定积分的换元法和分部积分法

第五章definiteintegralbysubstitutiondefiniteintegralbyparts

上一节的牛—莱公式将定积分的计算的形式,而不定积分可用换元法和分部积分法求积,这样定积分的计算问题已经比较完满地解决了.归结为求不定积分,如果将换元法和分部积分法写成定积分常可使得计算更简单.一、定积分的换元法

定理1.

设函数单值函数满足:1)2)在上证:

所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在,且它们的原函数也存在.是的原函数,因此有则机动目录上页下页返回结束则definiteintegralbysubstitution说明:1)当<,即区间换为定理1仍成立.2)必需注意换元换限

,原函数中的变量不必代回.3)换元公式也可反过来使用,即或配元不元不换限机动目录上页下页返回结束例1解例2解例3解例4解例5证例6证例7解二、定积分的分部积分法

定理2.

则证:机动目录上页下页返回结束definiteintegralbyparts例8.

计算解:原式=机动目录上页下页返回结束例9.

证明证:令

n

为偶数

n

为奇数则令则机动目录上页下页返回结束由此得递推公式于是而故所证结论成立.机动目录上页下页返回结束例10.解例11.解例12解内容小结

基本积分法换元积分法分部积分法换元换限不换元不换限边积边代限机动目录上页下页返回结束思考与练习1.提示:

令则2.

设解法1解法2对已知等式两边求导,思考:若改题为提示:两边求导,得机动目录上页下页返回结束得3.

设求解:(分部积分)机动目录上页下页返回结束作业P2491(4),(10),(16);6;11(4),(9),(10)习题课目录上页下页