高中数列知识大总结(绝对全)86208

典例精析题型一归纳、猜测法求数列通项【例1】根据以下数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式=1\*GB2⑴7，77，777，7777，…=2\*GB2⑵=3\*GB2⑶1，3，3，5，5，7，7，9，9…解析：=1\*GB2⑴将数列变形为，=2\*GB2⑵分开观察，正负号由确定，分子是偶数2，分母是，，，，故数列的通项公式可写成=3\*GB2⑶将数列变为1+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，8+1，9+0，…。可得数列的通项公式为点拨：联想与转换是由认识未知的两种有效的思维方法，观察归纳是由特殊到一般的有效手段，本例的求解关键是通过分析、比拟、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律，从而求得通项。题型二应用求数列通项例2．数列的前项和，分别求其通项公式.=1\*GB2⑴=2\*GB2⑵解析：=1\*GB2⑴当，当又不适合上式，故(2)所以所以又，可知为等差数列，公差为4所以也适合上式，故点拨：本例的关键是应用求数列的通项，特别要注意验证的值是否满足的一般性通项公式。三、利用递推关系求数列的通项【例3】根据以下各个数列的首项和递推关系，求其通项公式=1\*GB2⑴(2)，=3\*GB2⑶解析：=1\*GB2⑴因为，所以所以…，…，以上个式相加得即：=2\*GB2⑵=3\*GB2⑶方法一、又可化为方法二：∵=…方法三：点拨：在递推关系中假设求用累加法，假设求用累乘法，假设，求用待定系数法或迭代法。数学门诊是数列的前项和，且满足，其中，又，求数列的通项公式。错解：当时，由得又，所以于是两式相减得，，即于是所以两式相减得所以成等差数列，公差为6，也成等差数列，公差为6，从而成等差数列，公差为6，所以，正解：当时，由得又，所以于是，两式相减得：，即于是，所以，又又，所以那么时4.设从这三个整数中取值的数列，假设且那么中有0的个数为11解：设有个0，那么由有+2(+…++50=107,.所以在中有39个1或-1，所以在有个。5.数列满足，=1\*GB2⑴=2\*GB2⑵证明：解：(1)∵∴.=2\*GB2⑵证明：由有6.数列中，试问取何值时，取最大值？并求此最大值．解：因为当且仅当时，所以当时，即即当时，即故当或8时，最大，假设数列满足：，，那么的值为〔Ｂ〕解：，由此猜测：所以，选Ｂ二、填空题5．数列的前项和那么6．数列中，，,65解:7．数列的通项〔〕，那么数列的前30项中最大项和最小项分别是解：构造函数由函数性质可知，函数在上递减，且函数在上递增且三、解答题8．中，，前项和与的关系是，求解：由得9．在数列中，〔〕为前项和.=1\*GB2⑴求证：是以3为周期的周期函数=2\*GB2⑵求10．设数列的前项和为，点，〔〕均在函数的图像上，=1\*GB2⑴求数列的通项公式=2\*GB2⑵设是数列的前前项和，求使得对所有都成立的最小正整数。解：=1\*GB2⑴依题意得：=2\*GB2⑵由=1\*GB2⑴得：成立，当且仅当故满足要求的4．计算机执行以下程序：=1\*GB2⑴初始值=2\*GB2⑵=3\*GB2⑶=4\*GB2⑷，那么进行=5\*GB2⑸，否那么从=2\*GB2⑵继续进行=5\*GB2⑸打印=6\*GB2⑹停止那么，语句=5\*GB2⑸打印出的数值为89解：由题意知，程序每执行一次所得的值形成一个数列是等差数列，且首项为5，公差为2，相应的值恰为该数列的前项和，根据题意得：解得所以5．设，分别为等差数列与的前项和解：典例精析一、等差数列的判定与根本运算例1：=1\*GB2⑴数列前项和=1\*GB3①求证：为等差数列；=2\*GB3②记数列的前项和为，求的表达式。=2\*GB2⑵数列中，是前项和，当时，=1\*GB3①求证：是等差数列，=2\*GB3②设，求的前项和解：=1\*GB2⑴：=1\*GB3①证明：=1时，，当时，也适合该式，∴〔〕=2\*GB3②的表达式为：=2\*GB2⑵：=1\*GB3①证明：当时，所以是以为首项，2为公差的等差数列。=2\*GB3②：由=1\*GB3①得所以所以点拨：根据定义法判断数列为等差数列，灵活运用求和公式。二、公式的应用例2：设等差数列的首项及公差都为整数，前项和为=1\*GB3①假设，求数列的通项公式=2\*GB3②假设，求所有可能的数列的通项公式解：=1\*GB3①所以数列的通项公式是：=2\*GB3②eq\o\ac(○,3)eq\o\ac(○,3)eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,1)由=1\*GB3①+=2\*GB3②得所以=11或=12故所有可能的数的通项公式是：〔〕点拨：准确灵活运用等差数列的通项公式及前项和公式，提高运算能力。三、性质的应用例3：等差数列中，公差>0前项和为，且满足：，=1\*GB3①求数列的通项公式；=2\*GB3②设，一个新数列，假设也是等差数列，求非零常数；=3\*GB3③求〔〕的最大值解：为等差数列，=14∴数列的通项公式为=2\*GB3②由=1\*GB3①知：因为为等差数列，所以成等差数列，所以故所求非零常数=3\*GB3③的最大值：点拨：=1\*GB3①利用等差数列的“等和性〞求出，，从而求出及通项公式；=2\*GB3②先求出的表达式，再由是等差数列列出关于的方程，解出=3\*GB3③可利用函数思想，求出的最大值。数学门诊假设数列是等差数列，数列满足〔〕，的前项和为，，试问为何值时，取得最大值？并证明你的结论。错解：因为，可知是首项为正数的递减数列。正解：总结提高1．在熟练应用根本公式的同时，还要会用变通的公式，如在等差数列中，２．在五个量中的三个量可求出其余两个量，要求选用公式要恰当，即善于减少运算量，到达快速、准确的目的。33．三个或四个数成等差数列这类问题，要善于设元，目的仍在于减少运算量，如三个数成等差数列时，除了设外，还可设；四个数成等差数列时，可设为4．在求解数列问题时，要注意函数思想，方程思想，消元及整体消元的方法的应用。课堂演练1．设是等差数列的前项和，假设〔A〕A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解：２．在等差数列中，那么等于〔B〕A．40Ｂ．42Ｃ．43Ｄ．45解：3．等差数列中，，那么前10或11项的和最大。解：∴为递减等差数列∴为最大。4．等差数列的前10项和为100，前100项和为10，那么前110项和为－110解：∵成等差数列，公差为D其首项为，前10项的和为５．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元，从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元，该船每年捕捞总收入50万元，问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？解：设捕捞年后的总盈利为万元，那么答：捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元。６．设等差数列的前项和为，=1\*GB3①求出公差的范围，=2\*GB3②指出中哪一个值最大，并说明理由。解：=1\*GB3①=2\*GB3②课外练习选择题数列是等差数列，，其前10项的和，那么其公差等于(D)等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，且，那么使为整数的所有的值的个数有〔C〕A．2个B．3个C．4个D．5个解：=要使为整数只需12能被+2整除，故=1，2，4，10，选C设等差数列的前项和为，假设等于(B)A．63B．45C解：成等差数列等差数列中，等于〔A〕A．15B．30C设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同点组成公差为的等差数列，那么的取值范围为解：椭圆的焦点F到椭圆上的点最大、最小距离分别为，由题意得：三、解答题等差数列的前项和记为，=1\*GB3①求通项；=2\*GB3②假设=242，求解：由，=242甲、乙两物体分别从相距70的两处同时相向运动，甲第一分钟走2，以后每分钟比前一分钟多走1，乙每分钟走5，=1\*GB3①甲、乙开始运动后几分钟相遇？=2\*GB3②如果甲乙到对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1，乙继续每分钟走5，那么，开始运动几分钟后第二次相遇？解：=1\*GB3①设分钟后第一次相遇，依题意有：故第一次相遇是在开始运动后7分钟。=2\*GB3②设分钟后第二次相遇，那么：故第二次相遇是在开始运动后15分钟10．数列中，前和=1\*GB3①求证：数列是等差数列=2\*GB3②求数列的通项公式=3\*GB3③设数列的前项和为，是否存在实数，使得对一切正整数都成立？假设存在，求的最小值，假设不存在，试说明理由。解：=1\*GB3①∵∴数列为等差数列。=2\*GB3②=3\*GB3③要使得对一切正整数恒成立，只要≥，所以存在实数使得对一切正整数都成立，的最小值为。例1：=1\*GB2⑴设首项为，公比为的等比数列的前项和为80，前2项的和为6560，求此数列的首项与公比。=2\*GB2⑵设数列的首项，且=1\*GB3①求=2\*GB3②判断数列是否为等比数列，并证明你的结论。解：=1\*GB2⑴∵显然≠1∴=1\*GB3①=2\*GB3②=1\*GB3①=2\*GB3②两式相除，得=3\*GB3③将代入=1\*GB3①得=－1=4\*GB3④由=3\*GB3③=4\*GB3④得=2，=3=2\*GB2⑵=1\*GB3①=2\*GB3②∵猜测：是等比数列，公比为。证明如下：∵即：，∴是首项为，公比为的等比数列。点拨：=1\*GB3①运用等比数列的根本公式，将条件转化为关于等比数列的特征量，的方程是求解等比数列问题的常用方法之一，同时应注意在使用等比数列前项和公式时，应充分讨论公比是否等于1；=2\*GB3②应用定义判断数列是否是等比数列是最直接，最有依据的方法，也是通法，假设判断一个数列是等比数列可用恒成立，也可用恒成立，假设判定一个数不是等比数列那么只需举出反例即可，也可以用反证法。二、性质运用例2：=1\*GB2⑴在等比数列中，=1\*GB3①求，=2\*GB3②假设=2\*GB2⑵在等比数列中，假设，那么有等式成立，类比上述性质，相应的在等比数列中，假设那么有等式成立。解：=1\*GB2⑴=1\*GB3①由等比数列的性质可知：=2\*GB3②由等比数列的性质可知，是等差数列，因为=2\*GB2⑵由题设可知，如果在等差数列中有成立，我们知道，如果，而对于等比数列，那么有所以可以得出结论，假设成立，在此题中点拨：历年高考对性质考查较多，主要是利用“等积性〞，题目“小而巧〞且背景不断更新，要熟练掌握。三、综合运用例3：在函数的图像上，=1\*GB3①证明数列是等比数列，=2\*GB3②设，求及数列的题项公式，=3\*GB3③记，求数列的前项和，并证明：解：=1\*GB3①由，所以，数列是公比为2的等比数列。=2\*GB3②:由=1\*GB3①知=3\*GB3③因为，点拨：本例复习了数列中的有关知识，以函数为起点，得到数列的递推关系，构造新数列进行解答，求和过程中表达了裂项求和法，这是数列中的经典方法，属于应掌握好的知识。数学门诊：等差数列的首项=1，公差>0，且第2项，第5项，第14项分别是等比数列的第2项，第3项，第4项。=1\*GB3①求数列与的通项公式；=2\*GB3②设数列对均有解：=1\*GB3①由有：=2\*GB3②错解：=2\*GB3②正解：点拨：此题易出现求得通项为的错误结论，也导致求和出现问题，因此条件≥2千万不能无视。总结提高：方程思想，即等比数列中5个量，，，，，一般可“知三求二〞，通过求和与通项两公式列方程组求解。“错位相减法〞求和是解决由等差数列和等比数列的对应项的积组成的数列求和的常用方法。对于数列递推公式与的混合关系式，利用公式，再引入辅助数列，转化为等比数列问题求解。分类讨论思想：当>0，>1或<0，0<<1时，等比数列为递增数列；当>0，0<<1或<0，>1时，为递减数列；<0时，为摆动数列；=1时，为常数列。在等比数列中，解：7．一种专门占据计算机内存的计算机病毒开始时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后45分钟，该病毒占据内存64KB〔1MB=KB〕解：设病毒自身复制了次，即有：从而复制的时间三、解答题8．有四个数成等比数列，它们的积为16，且第4个数与第2个数的比也是16，求这四个数。解：设这四个数分别为注意：如果将四个数设为将会漏解。9．数列的前项的和为()，点〔，〕在直线上，=1\*GB3①假设数列成等比数列，求常数的值；=2\*GB3②求数列的通项公式；=3\*GB3③求数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？假设存在，请求出适合条件的项，假设不存在，请说明理由。解：=1\*GB3①由题意知，=2-3=2\*GB3②由=1\*GB3①知，=3\*GB3③假设存在，因为为递增数列，故设：所以这样的三项不存在。假设公比为的等比数列的首项=1，且满=1\*GB3①求的值，=2\*GB3②求数列的前项和。解：=1\*GB3①由题设，当≥3时，=2\*GB3②：由=1\*GB3①需要分两种情况讨论当=1时，数列是一个常数列，即=1，〔〕这时，数列的前项和。当=时，数列是一个公比为的等比数列。即这时，数列的前项和=1\*GB3①=1\*GB3①式两边同乘以，得6.4数列求和知识要点求数列前项和的根本方法=1\*GB2⑴直接用等差、等比数列的求和公式求和；公比含字母时一定要讨论。为无穷递缩等比数列时，=2\*GB2⑵错位相减法求和：如为等差数列，为等比数列，求的和。=3\*GB2⑶分组求和：把数列的每一项分成假设干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。=4\*GB2⑷合并求和：如求的和。=5\*GB2⑸裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差，正负相消剩下首尾假设干项。常见拆项：=6\*GB2⑹公式法求和：=7\*GB2⑺倒序相加法求和=8\*GB2⑻其它求和法：如归纳猜测法、奇偶法等。典例精析错位相减法求和例1：求和：解：=1\*GB2⑴=2\*GB2⑵=1\*GB3①=2\*GB3②由=1\*GB3①－=2\*GB3②得：点拨：=1\*GB3①假设数列是等差数列，是等比数列，那么求数列的前项和时，可采用错位相减法；=2\*GB3②当等比数列公比为字母时，应对字母是否为1进行讨论；=3\*GB3③当将与相减合并同类项时，注意错位及未合并项的正负号。裂项相消法求和例2：数列满足=8，〔〕=1\*GB3①求数列的通项公式；=2\*GB3②设〔〕假设对任意非零自然数，恒成立，求最大的整数的值。解：=1\*GB3①由知，从而可知数列为等差数列，设其公比为，那么所以，=8＋〔－1〕×〔－2〕＝―10－2=2\*GB3②对一切恒成立。故的最大整数值为5。点拨：=1\*GB3①假设数列的通项能转化为的形式，常采用裂项相消法求和。=2\*GB3②使用裂项消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保存了哪些项。奇偶分析法求和例3：设二次函数〔〕时，的函数值的所有整数值的个数记为。=1\*GB3①求的表达式；=2\*GB3②设求解：=1\*GB3①〔〕时，函数是增函数，那么的值域为=2\*GB3②点拨：先从偶数入手，求得，而当为奇数时，那么－1为偶数，利用求解。数学门诊为数列的前项和，且=1\*GB3①求证：数列为等比数列；=2\*GB3②设，求数列的前项和。解：=1\*GB3①令=1，那么所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列。=2\*GB3②错解：由=1\*GB3①知，由于在解题过程中出现的情况，导致此种错误原因，是忽略了对的奇偶情况的讨论。正解：由=1\*GB3①知，总结提高1．常用根本求和法均对应数列通项的特殊结构特征，分析数列通项公式的特征联想相应的求和方法既是根本，也是关键。2．数列求和实质就是求数列的通项公式，它几乎含盖了数列中所有的思想策略、方法和技巧，对学生的知识和思维有很高的要求，应充分重视并系统训练。=1\*GB3①求通项公式=2\*GB3②求数列前项和解：=1\*GB3①因为由此可知，的ji奇数项和偶数项分别构成等差数列=2\*GB3②当为偶数时，当为奇数时在等差数列中，=1，前项和满足=1\*GB3①求数列的通项公式=2\*GB3②记，求数列的前项和。解：=1\*GB3①设数列的公差为，由所以==2\*GB3②由，有所以=1\*GB3①=2\*GB3②=1\*GB3①－=2\*GB3②得课外练习数列的前项和为，假设等于〔B〕７．数列的前100项的和为。解:∵∴三、解答题8．设数列满足〔〕=1\*GB3①求数列的通项公式；=2\*GB3②设，求数列的前项和解：=1\*GB3①因为=1\*GB3①当≥2时，=2\*GB3②=1\*GB3①－=2\*GB3②得：=2\*GB3②因为9．数列满足=1\*GB3①求数列的通项公式；=2\*GB3②求的值。解：=1\*GB3①因为=2\*GB3②因为〔≥2〕10.函数是函数图像上的两点，且线段。=1\*GB3①求证：点P的纵坐标是定值；=2\*GB3②假设数列的通项公式为，求数列前；=3\*GB3③假设〔>0〕恒成立，求实数的取值范围。解：=1\*GB3①因为=2\*GB3②因为由=1\*GB3①知，当=3\*GB3③由解：因为圆内过点〔5，3〕的最小的弦长为以〔5，3〕为中点的弦长为8，即=8，又最大的弦为直径，所以=10一个运算程序如下：某工厂2003年至2006年的产量和为100吨，2005年至2021年的产量和为121吨，那么该工厂从2003年到2021年平均增长率为10﹪解：设年平均增长率为，那么各年的年产量依次成等比数列，公比为1+，典例精析函数与数列的综合问题=1\*GB3①设是常数，求证：成等差数列；=2\*GB3②假设，的前项和是，当时，求解：=1\*GB3①，=2\*GB3②点拨：本例是数列与函数综合的基此题型之一，特征是以函数为载体构建数列的递推关系，通过由函数的解析式获知数列的通项公式，从而问题得到求解。二、数列模型实际应用问题例2：某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2007年底全县的绿化率已达30﹪，从2021年开始，每年将出现这样的局面：即原有沙漠面积的16﹪将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4﹪又被沙化。=1\*GB3①设全县面积为1，2007年底绿化面积为，经过年绿化面积为，求证：=2\*GB3②至少需要多少年〔取整数〕的努力，才能使全县的绿化率到达60﹪？解：=1\*GB3①证明：由可得确定后，表示如下：=(1－4﹪)＋(1－)16﹪即=2\*GB3②由∴最小整数为5，故至少需要经过5年的努力，才能使全县的绿化率到达60﹪.点拨：解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题，通过反复读题，列出有关信息，转化为数列的有关问题。三、数列中的探索性问题例3：点〔〕顺次为直线上的点，点顺次在轴上的点，其中，对于任意正整数，点为顶点的等腰三角形，=1\*GB3①求数列的通项公式，并证明它为等差数列；=2\*GB3②求证：的通项公式；=3\*GB3③上述等腰三角形中是否可能存在直角三角形，假设可能求此时的值，假设不可能，请说明理由。解：=1\*GB3①为定值，所以为等差数列。=2\*GB3②由题意得：=3\*GB3③当为奇数时，当为偶数时点拨：此题关键依据几何性质及题设获取题目信息，找出数列的递推关系式或变化规律，转化为比拟直接的数列问题来解。数学门诊从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此开展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加。=1\*GB3①设第年内〔本年度为第一年〕总投入为万元，旅游业总收入为，写出、的表达式。=2\*GB3②至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？错解：=1\*GB3①第一年投入=800=2\*GB3②所以≥3正解:=1\*GB3①第一年投入800万元，同理，第一年收入400万元，=2\*GB3②所以故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入。设，那么光线通过一块玻璃板，其强度要失掉10%，假设使光强度减弱为原来的，那么重叠以上相同的玻璃板的块数是11。某市2003年共有1万辆燃油型公交车，有关部门方案于2004年投入128辆电力型辆公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：=