第三章立体的表面交线

第三章立体的表面交线§3.1平面和回转体相交§3.2两回转体相交一、圆柱的截交线截平面—截切基本几何体的平面。截断面—立体被切后的断面。截交线—截平面与立体表面的交线。截平面截断面截交线§3.1平面和回转体相交截交线的性质：

1.共有线:截交平面和立体表面的共有线,截交线上的点也是两相交面的共有点。

2.封闭线:一般却是封闭的平面图形(封闭曲线或由直线和曲线围成)。求作截交线就是求出截面与立体表面一系列共有点,再按顺序依次连接即可。常用作求截交线的方法有:交点法:求出立体表面上已知直线与截平面的交点,连接可。表面取点法:利用立体表面的某投影面具有积聚性求解。辅助线法:在立体表面作辅助素线及辅助纬线求解。辅助平面法：借助辅助平面与立体表面胶截平面交求解，又称为三面共点法。平面立体与平面立体相交时，截交线是由直线段所组成封闭的平面多边形，其各个顶点是截平面与平面立体的棱线上的交点，多边形的每条边是截面与平面立体的棱面的交线。作图时,先分析原基本体的形状、结构及投影特点，截平面的空间位置及其与立体的相对位置，被切割后的立体表面哪些产生了交线，截交线的形状、特点，然后利用交点法求截平面与立体上各点棱线的交点，依次连接各点即可。求解平面与回转体的截交线的一般步骤：1.空间及投影分析分析回转体的形状投影特点以及截平面与回转体的相置,确定截交线的形状。

下面重点讲解平面与回转体的截交线。分析截平面的投影特点，明确截交线的投影特性（如积聚性、类似性）。找出截交线的已知投影及所求的未知投影。2.画截交线的投影先找特殊点，补充中点。依次用光滑线连接和各点，并判断交线的可见性（可见部分—粗实线，不可见部分—虚线）。(一)、圆柱的截交线根据截平面与圆轴线处于不同的相对位置，圆柱截交线有三种不同的形状。截平面平行于轴线，交线为平行于轴线的两条直线截平面垂直于轴线，交线为圆截平面倾斜于轴线，交线为椭圆例1.求作斜切圆柱截交线的投影。3”422‘(4’)33’1‘14”2”1”8”7”5”6”7‘(8’)5‘(6‘)87651'—1—1"2'—2—2"

3'—3—3"

4'—4—4"5'—5—5"6'—6—6"

7'—7—7"

8'—8—8"空间分析:截交线的已知,未知投影及矩形找特殊点作一般点光滑连接各点,判断可见性分析轮廓线的投影yyyy分析:例2.已知定位轴上有一梯形切口，试作出其余两图。RQP1“4‘(5‘)232‘(3’)11‘6‘(7’)3“2“5‘4‘5“4“76正垂面P与圆柱—椭圆,已知正面积聚线,侧面、水平投影类似形(椭圆)要求。水平面Q与圆柱—矩形,正面积聚成直线(已知),侧面也积聚成直线(要求),水平为实线(矩形要求)。侧平面R与圆柱圆,正面侧面已知,水平积聚成直线(要求)。(6“)7“8'(9')98(6)分析圆柱轮廓线的投影(5)光滑连接各点,判断可见性(4)作截平面R与圆柱的截交线(3)作截平面Q与圆柱的截交线(2)作截平面P与圆柱截交线(1)画出圆柱体的俯视图和左视图；作图:例3.求俯视图和左视图。1'5"6"1"2'(4')5‘(6‘)1356423"3'78空间分析投影分析作截交线作水平面与圆柱的截交线作正垂面与圆柱的截交线7'(8')7"8"2"4"依次光滑连接各点,并补全轮廓线截平面垂直于轴线,交线为圆截平面倾斜于轴线,交线为椭圆圆锥被平面截切时,据截平面与圆锥面轴线相对位置不同,其截交线有五种不同的形状。二、圆锥的截交线截平面倾斜于轴线或平行轴线,交线为双曲线截平面倾斜于轴线,交线为抛物线截平面通过锥顶交线为通过锥顶的两条相交直线例4.圆锥被正垂线截切,求截交线。1"2"8"7"1'2'7'(8')213'(4')5'(6')4378566"5"4"3"分析：因为截平面P倾斜于圆锥的轴线，所以截交线是椭圆，其正面投影为一直线，与截平面的正面具有积聚性的投影重合。正垂面P与圆锥的截交线前后对称，椭圆的长轴的端点在最左、最右素线上；而短轴则是通过长轴中点的正垂线，截交线的水平投影及侧面投影可用辅助素线法或辅助平面法解。作图(用辅助素线法):1）求作特殊点③作出截交线在圆锥面的侧面转向线上的点，也就是圆锥面的最前、最后素线上的点。先作出截交线和最前、最后素线的交点Ⅶ、Ⅷ、的正面投影7′、8′，由7′、8′直接作出7、8及7″、8″；2）求作一般位置点在截交线上取一般点Ⅴ、Ⅵ，利用辅助素线SC、SD由5′、6′作出5、6及5″、6″；3）依次光滑连接各点的同面投影并判别可见性，即可得到截交线的水平投影及侧面投影。因截交线的各面投影可见，均画成粗实线。②在1′2′的中点处取3′、4′，为椭圆短轴ⅢⅣ的正面投影。点Ⅲ为最前点、点Ⅳ为最后点，利用辅助素线SA、SB由3′、4′作出3、4及3″、4″。3′4′、34及3″4″就是椭圆短轴ⅢⅣ的投影；

①点Ⅰ为截交线上的最左、最低点，点Ⅱ为截交线上的最右、最高点，由1′、2′直接作出1、2及1″、2″。1'2'、12、1″2″就是椭圆长轴ⅠⅡ的投影；例5.求作圆球被正垂面截切后的截交线的两视图。分析：因为截平面是正垂面，所以截交线是一个正垂圆。截交线圆的正面投影积聚为直线，其水平投影和侧面投影为椭圆，可用辅助平面法求解。正垂圆只有一条处于正垂线位置的直径平行于水平面，其水平投影是椭圆长轴；而与上述直径相垂直的处于正垂线位置的直径，其水平投影是椭圆短轴。平面与圆球丰交,截交线的形状都是圆。但根据平面与投影面的相对位置不同截交线可解为圆、椭圆或积聚成一条线。圆球的截交线上的点主要利用辅助圆法求解。三、圆球的截交线34212'1'3'(4')4"3"5'(6')7'(8')569'(10')11'(12')12119108"7"87Q2WQ2VQ1WQ1VRVRW6"5"作图：（1）作特殊点2"1"9"10"12"11"（4）将求得各点的同面投影分别依次光滑地连接成椭圆，并擦去圆球被截去的那部分轮廓线，判定可见性后，即完成作图。（3）求作一般点在适当位置上作一般点，如Ⅸ、Ⅹ、Ⅺ、Ⅻ，用辅助平面Q1、Q2，由正面投影求出其水平投影及侧面投影；(2)求作椭圆长、短轴的投影由于截交线圆的直径ⅠⅡ平行于正面，所以1'2'反映ⅠⅡ的实长；与ⅠⅡ垂直平分的另一截交线圆的直径ⅢⅣ是正垂线，作图时，先作直线1'2'的中点即3'(4')，再过3'，(4')作辅助平面R可求出3，4和3"，4"；

②点Ⅴ、Ⅵ为球面对H面转向线与P平面的交点；点Ⅶ、Ⅷ为球面对W面的转向线与P平面的交点。由5′、6′、7′、8′可直接求得5、6、7、8及5″、6″、7″、8″。

①点Ⅰ是截交线上的最低、最左点，点Ⅱ是最高、最右点，同时又是球面对V面的转向线与平面P的交点，由1′、2′可直接求出1、2及1″、2″；例6.求作圆球切口的俯视图和左视图分析：半圆球顶部的切口是由一个水平面和两个侧平面对称地截切而成，一般半圆头螺钉上的起子槽就是这样子。各截平面与球面的截交线为圆，各截平面相交的交线为直线。切口的正面投影与各截平面的正面投影重合，要求作的是切口的水平投影和侧面投影。作图：(1)作侧平截平面与球面的截交线,由于两侧平截平面平行于侧面，所以其截交线圆的水平投影积聚为直线，其侧面投影反映实形，该圆的半径R的大小如图3-6c所示；(2)作水平截平面与球面的截交线由于水平截平面平行于水平面，所以其截交线圆的侧面投影积聚为直线，其水平投影反映实形，该圆的半径R1大小如图3-6d所示；R（3）判别可见性侧平截平面与水平截平面的交线是正垂线，由于被左半部分的球面遮住，故该线的侧面投影为不可见，应用虚线表示；（4）加深轮廓线擦去半球被切掉的轮廓，即完成了半圆球口的投影组合曲面立体是由几个基本立体组合而成，其截交线也是由各基本体的截交线组合而成。为准确作出组合曲面立体的截交线，必须对其各组成部分进行分析，先分析由哪些基本体组成，并找出它们的分界线，然后分别作出截平面与各个基本体的截交线，并在分界点处将它们连接起来，并判别可见性。四、组合曲面立体的截交线例7.求如图所示的组合回转体的截交线投影。1'2‘(3')4‘(5')6‘(7')8‘(9')12367891"5“4"2"3"6“(8")7“(9")54分析：组合回转体是由同轴的圆锥、两个圆柱所组成，被前后对称的水平面所截，其截交线为封闭的共面的平面曲线。它是由截平面与圆锥、两个圆柱这样的三个不同的回转面交于双曲线和两个平行于轴线的二直线的组合。由于截平面平行于水平面，所以其截交线的正面投影、侧面投影积聚为一直线，已知；水平投影反映实形，需要求作。

作图：

（1）作截平面与圆锥的截交线——双曲线。先分别作出特殊点——最左点1′和最右点2′3′的侧面、水平投影2″3″、23；再作出中间点4′5′的另两投影4″5″、45；

（2）作截平面与大圆柱的截交线——直线。该截交线的正面、侧面投影都有积聚性，所以要求作的是水平投影。在大圆柱的水平投影上过2、3作轴线的平行线26、37，即为所求的截交线的水平投影；（3）作截平面与小圆柱的截交线。该截交线的正面、侧面投影都有积聚性，所以要求作的是水平投影。在小圆柱的水平投影上过6、7作轴线的平行线68、79，即为所求的截交线的水平投影；(4)依次光滑连接各点的水平投影，可见；（5）加深轮廓线，注意圆锥与圆柱、大圆柱与小圆柱的表面的交线的水平投影被截平面遮住的部分不可见，用虚线表示。一、概述：1.共有性相贯线是两立体表面的共有线，是一系列共有点的集合；也是两立体表面的分线。封闭性由于两立体表面是封闭的并占有一定空间围，所以相贯线一般是封闭的。两相交的立体为相贯体，其表面的交线称为相贯线。相贯线具有下列性质：§3.2两回转体相交1.表面取点法（积聚性法）2.辅助平面法两曲面立体的相贯线，一般情况下是封闭的空间曲线，在特殊情况下可为平面曲线或直线段。相贯线是属于两曲面立体表面的点的集合，因此求作相贯线的实质就是求两曲面立体表面上一系列共有点。一般先求出确定相贯线的投影范围、特征的特殊点（极限点、转向点、特征点和结合），然后再求出若干一般点，判别可见性，依次滑地连接各点的同面投影，即为所求相贯线的投影。连线的原则：在两曲面立体上都处于相邻两素线间的点，才能相连。判别可见性的原则：只有当相贯线同时于两立体的可见表面上时，其投影才是可见的；否则，不可见。求作相贯线常用的方法：例8.求正交两圆柱的相贯线。3"4"5"(7“)6"(8“)347865211'2'3‘(4’)5‘(6’)7‘(8’)1“(2”)一、表面取点法（积聚性法）分析：两圆柱轴线垂直相交，小圆柱全部穿进大圆柱，因此其相贯线为左右、前后对称的一条封闭的空间曲线。圆柱轴线分别垂直H面、W面，相贯线的水平投影积聚在H面的小圆柱面上，侧面投影积聚在W面的大圆柱面上，正面投影前后重影需求作。作图：

(1)求作相贯线上的特殊点在相贯线的水平投影上定出最左、最右、最前、最后的四点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的水平投影1、2、3、4，在侧面投影上相应作出1″、（2″）、3″、4″，由此两投影作出正面投影1′、2′、3′、（4′）。可以看出Ⅰ、Ⅱ为相贯线的最高点，Ⅲ、Ⅳ为相贯线上的最低点；(2)求作一般位置点在相贯线的侧面投影上定出前、后、左、右对称的四个点Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ的侧面投影5″、6″、（7″）、(8″)，在水平投影上相应作出5、6、7、8，由此两投影求出其正面投影5′、(6′)、7′、(8′)；

(3)依次光滑连接各点的同面投影按照相邻素线上的点相连的原则，依次地连接各点的正面投影，即得相贯线的正面投影；（4）判别可见性前半部分相贯线在两个圆柱的可见表面上，所以它的正面投影1′5′3′7′2′为可见；后半部分相贯线的正面投影1′(6′)(4′)(8′)2′为不可见，但与前半部分相贯线的投影重合。

假想用一个辅助平面截切相交两立体，可得到两组截交线，其交点就是相贯线上的点，适当变动辅平的位置并求出相贯线上的一系列点的法。1.选择辅助平面位置的原则：辅助平面与相交两立体表面的截交线的投影,应该是简单易画的直线或圆。圆柱：常选用平行或垂直圆柱轴线的投影面的平行平面；圆锥：常选用垂直圆锥轴线的平面或过锥顶的投影面的垂直平面作为辅助面；圆球：常选用投影面的平行平面作为辅平面。2.辅助平面的移动范围：应取在使辅助平面与两曲面的截交点的范围内。二、辅助平面法例9.求轴线正交的圆柱与圆台的相交线。2‘1‘a‘b‘(c‘)(d‘)4"3"c"(d“)a"(b“)1"(2“)43cadb3‘(4’)21分析：圆柱与圆台轴线垂直正交，其相贯线为一条前后、左右对称、上下不对称的封闭的空间曲线。由于圆柱的轴线为侧垂线，圆台的轴线为铅垂线，相贯线的侧面投影积聚在圆柱面的侧面投影圆上，因相贯线的正面及水平投影无积聚性，需求作。本题可采用水平面作为辅助平面解题。作图：（1）作出相贯线上的特殊点(转向点)；①求作相贯线上最左、最右点Ⅰ、Ⅱ点Ⅰ、Ⅱ又是圆锥体对正面转向线上的点。由1′、2′及1″、2″直接求出1、2；②求作相贯线上的最前、最后点Ⅲ、Ⅳ点Ⅲ、Ⅳ又是圆台面对侧面转向线上的点。由3″、4″先求出3′、4′，再求出3、4。（3）依次光滑连接各点的同面投影，并判别可见性相贯线的正面投影前后对称且可见，用粗实线画出。相贯线的侧面投影都积聚于圆上，不再判别。单一圆锥面的水平投影全可见，单一圆柱面上半部水平投影可见，而下半部水平投影不可见。即a3b2d4c1可见；(2)求作相贯线上的一般位置点在点Ⅰ、Ⅱ与点Ⅲ、Ⅳ之间适当位置，作一辅助水平面P，它与圆锥面交于一水平圆，与圆柱面交于两条素线，在水平投影上两者相交于a、b、c、d四点，再由a″、b″、c″、d″，求出a′、b′、c′、d′，即为所求。如图3-10c所示；（4）补全轮廓线并加粗。三个或三个以上立体相交，其表面形式成交线的总和称组合相贯线。组合相贯线为若干相贯线组合组成，这些相贯线的共有点，称为结合点，只有结合点才是组合相贯线上三个曲面的共有点，同时也是各条相贯线上的分界点。求作组合相贯线的实质是分别求出各相邻基本立体相交所产生的相贯线。例.求三个圆柱组合相交时的交线。分析:三个圆柱A、B、C相交，其中圆柱B的轴线垂直水平面，它与轴线垂直侧面的两个同轴但不等径的圆柱A、C垂相交，在三个圆柱的表面上既有相贯线又有截交线，可将其分解为求作两曲面立体的相贯线问题和求作平面与曲面立体的截交线问题，逐一求出其交线，最后再将各交线在三个表面的共有点（结合点）处连接起来，即可求得三个圆柱综全相交的线。三、组合相贯线（3）4（6）73'4'(7')(6')4"(7")(3")(6")1821'2‘(8')(5")55‘2"8"作图：(1)求作圆柱C的左端面与圆柱B的截交线圆柱B的轴线垂直于H面，圆柱C的左端面平行于圆柱